4第17讲应急设施的优化选址问题数学建模.docx

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4第17讲应急设施的优化选址问题数学建模

第17讲应急设施的优化选址问题

问题（AMCM-86B题）里奥兰翘镇迄今还没有自己的应急设施。

1986年该镇得到了建立两个应急设施的拨款，每个设施都把救护站、消防队和警察所合在一起。

图17-1指出了1985年每个长方形街区发生应急事件的次数。

在北边的形状的区域是一个障碍，而在南边的长方形区域是一个有浅水池塘的公园。

应急车辆驶过一条南北向的街道平均要花15秒，而通过一条东西向的街道平均花20秒。

你的任务是确定这两个应急设施的位置，使得总响应时间最少。

图17-11985年里奥兰翘每个长方街区应急事件的数目

（I）假定需求集中在每个街区的中心，而应急设施位于街角处。

（II）假定需求是沿包围每个街区的街道上平均分布的，而应急设施可位于街道的任何地方。

§1若干假设

1、图17-1所标出的1985年每个长方形街区应急事件的次数具有典型代表性，能够反映该街区应急事件出现的概率的大小。

2、应急车辆的响应时间只考虑在街道上行驶时间，其他因纱（如转弯时间等）可以忽略不计。

3、两个应急设施的功能完全相同。

在应急事件出现时，只要从离事件发生地点最近的应急设施派出应急车辆即可。

4、执行任何一次应急任务的车辆都从某一个应急设施出发，完成任务后回到原设施。

不出现从一个应急事件点直接到另一事件点的情况。

（这是因为，每一个地点发生事件的概率都很小，两个地点同时发生事故的概率就更是小得可以忽略不计）。

§2假定（I）下的模

在假定（I）下，应急需求集中在每个街区中心。

我们可以进一步假定应急车辆只要到达该街区四个街角中最近的一个，就认为到达了该街区，可以开始工作了。

按假定（I），每个应急设施选在街角处，可能的位置只有6×11=66个。

两个应急设施的位置的可能的组合至多只有66×65/2=2145个。

这个数目对计算机来说并不大，可用计算机进行穷举，对每种组合一一算出所对应的总响应时间，依次比较得出最小的响应时间及对应的选址方案。

具体算法是：

建立直角坐标系，以该镇的西北角为原点，从北到南为-轴正方向，从西到东为-轴正方向，在南北、东西方向上分别以一个街区的长作为单位长，则街角的坐标是满足条件的整数。

而每个街区中心的坐标具有形式，其中是满足条件：

的整数。

如果不考虑障碍和水塘的影响，同应急车辆从设在点的应急设施到以为中心的街区的行驶时间等于

秒

记为以为中心的街区的事故发生频率（即在图上该街区所标的数字）。

如果应急设施设在这两点，总不妨设，则该设置方案的总响应时间为

让取遍0—10，取遍，分别独立地取遍0—4。

依次对四数组的每一个值算出对应的总响应时间的最小值及对应的四数组。

以上算法不难用计算机编程实现。

由于数组的个数不算多（只有两千多个），计算机可很快得出答案。

答案是：

两个应急设施分别设在点（2，3），（6，3）时最优。

这是在不考虑形障碍区域和水塘的影响的假定下得出的最优解，但从这两个点到任何街区都可避开形障碍区域和水塘，故它们也就是原题所需的最优选址。

§2假定（II）下的模型

在假定（II）下，由于允许应急设施设在街道上任何位置，这就有无穷多种可能位置，不能直接用计算机穷举。

不过，我们可证明：

应急设施仍应设在街角处，才能使总响应时间最少。

对已选定的两个应急设施的位置和，我们先来看总响应时间怎样计算。

首先，我们将街道上所有的点的集合划分成两个责任区，分别由进行救助：

街道上的点如果由点去救助比由点去救助的路程更近，就将划进的责任区，反之就划进，为叙述方便，我们将每个长方形街区的四条边中的每一条称为一条“街道”，街道的一段称为“街段”。

每条街道中属于的点与属于的点各组成一个街段，分别称为的或的“责任段”。

一条街道最多被分成两个责任段（也有可能整条街道属于同一个责任区，因而本身就是一个责任段），责任地段只有有限多条，对每个应急设施，我们分别算出它的每个责任段的总响应时间，将这些总响应时间求和就得到这个设施的责任区的总响应时间。

将两个责任区各自的总响应时间相加就得到这一选址方案的总响应时间。

下面需要知道：

任一设施到它的一个责任段的总响应时间怎样计算。

按假定（II），街区出现事故的频率平均分布在它周围的四条街道上，每条街段的事故发生频率与它的长度成正比。

将应急车辆每秒钟行驶的路程作为长度单位，则当街区事故频率为、街段的长度为时，这一街段的事故频率为是街区的周长，即车辆绕街区行驶一周需70秒。

在大多数情况下，一条街段同时与两个街区相邻，两个街区的事故它都有份，它的事故频率应为分别是两个街区的事故的总频率（即原题图上标出的数）。

当然可以用积分的方法。

即插入分点将责任段分成许多微小街段，对每一小段按其长度计算出它的事故发生频率，其中是的长度，是与无关（但与的选取有关）的常数。

取应急车辆人到中任意一点的行驶时间作为到的时间，则微小街段的响应时间近似地等于。

对这些微小的响应时间求和即得到的总响应时间的近似值。

让每个，求和变成求积分即可。

但在这里，问题比较简单，可以不用积分。

事实上，由于的每一小段的事故发生频率只与这一小段的长度有关，换句话说：

频率密度是常数，只要求出到的平均行驶时间，再乘以的总的事故频率就行了。

当设在街角处时，平均行驶时间也就是到的中点的行驶时间秒，这里分别是的坐标，而且不考虑障碍和水塘的影响。

将乘以的事故频率，就得到的总响应时间。

换句话说，就是将的事故频率集中到点，认为按频率发生事故，而的其他点都不发生事故。

这样不会改变的总响应时间，却便于计算，如果应急设施不是设在街角处，而是设在某条街道的两个端点之间，则可能出现这样的情况：

从出发到中的某些点的最短救助路线应向方向行驶，崦到另一些点去则应向方向行驶。

这时，平均时间就不等于到中点的时间，而是比小。

在这样的情况下可以分成两段，从到其中一段（比如）上的所有的点的最短救助路线应向方向行驶，而到另一段（比如）上的所有的点的点则应向方向行驶。

分别计算的事故发生频率，将这两个频率分别集中在各自的中点，就可分别算出的总响应时间，再将它们相加就得到的总响应时间。

下面证明：

最短的总响应时间必可由设在街角处的应急设施来实现。

假定已选择两个应急设施的位置使总响应时间最短，且至少有一个设施（比如）不是设在街角处，而是设在某一条街道的两个端点之间。

我们证明：

可以把这个设施从移到或，使总响应时间不增加，（而且很可能减少）。

证明的主要想法是：

将设施迁移到街角后，它到某些街段缩短了一段路程，同时到另外某些街段增加同样长的一段路程。

如果路程缩短的那些街段的事故总频率大于路程增加的那些街段的事故总频率，则总响应时间缩短了，设施位置得到优化，说明原来的位置不是最优。

先考虑与街道相邻的街区，也就是与急救站相邻的街区。

要使总响应时间最少，两个急救站的位置显然不应当靠得太近。

因此，可以假定与相邻的街区周界上所有的点到的路程都小于它们到的路程，因而都应当由负责救助。

这个街区的事故频率均匀分布在街区的周界上。

我们指出：

救助这个街区的事故频率均匀分布在街区的周界上。

我们指出：

救助这个街区的事故的总响应时间与在上的位置选取无关。

事实上，无论处于街道上哪一个位置，总存在一点将街区周界分成路程相等的两段，第一段由经到，第二段由经到，每一段的总行驶时间是7/2=35秒，事故总频率是。

由出发去救助每一段上各点的平均行驶时间等于35/2秒，因而两段的总响应时间为秒，确实与点位置的选取无关。

因此，在讨论在上的位置选取时，不需考虑到相邻的街区的事故的影响，不妨暂时假定这样的街区的事故频率为0，特别是街道上不发生事故，不需要救助。

设是的责任区内需要救助的任一点，从出发到，有两种可能的最短救助路线：

一种是沿、经由点到，另一种是沿、经由点到。

凡是属于前一种情况的，这样的点组成的集合记作；凡是属于后一种情况的，这样的点组成的集合记作。

这样就将的责任区按最短救助路线出发时的两个不同方向分成了两个区域（各由一些街段组成）。

比较这两个区域各自的事故总频率的大小。

如果比大，我们就将设施从移到，向靠拢（同时远离）；反之，当比大时，将设施由迁到去靠近（同时远离）；当时将设施任意迁到或都可以。

我们证明：

将设施经过这样的迁移后，总响应时间只可能减少，不可能增加。

因此，假如迁移前的方案最优，迁移后一定还是最优（事实上，当时，迁移后的方案一定比原来更优，说明原来不可能最优）。

不妨先假定，设施从迁到点。

（的情况同理）。

为了便于比较迁移前后的总响应时间的变化情况，我们先作下面两个假设（其中所说的“旧”是指设施迁移前的情况，而“新”则是指迁移后的情况）：

（1）应急设施从搬透到后，两个旧的责任区先仍分别由和负责救助，暂不改变。

如果在这样不改变责任区的情况下都能证明总响应时间不增加，则再进一步合理调整、的责任区还可能进一步缩短（至少不会增加）总响应时间，更加说明搬迁方案的优越。

（2）搬迁后从新设施到旧区域中的任何一点的救助路线为：

从出发离开，沿原先的的旧的救助路线到。

从到旧区域的任何一点的救助路线为：

从出发沿（经过）到，再沿原先的旧的救助路线到。

设应急车辆从到的行驶时间为。

则按

（2）的行驶路线，的点到设施的路程都减少了，行驶时间减少，总响应时间减少的点则相反，路程都增加，行驶时间都增加，总响应时间增加。

由于，总响应时间减少量超过（或等于）增加量，总的效果是减少了（或不改变）总响应时间，设施搬迁后的位置比原来更优，至少同样优。

假设

（2）的路线不一定是最短路线。

如果再进一步选择最短路线，则还有可能进一步缩短新设施方案的总响应时间，更加说明其优越性，假设

（1）的责任区的贡分不一定是合理的，可以再进行调整，将街道上的每一点划给离它最近的设施的责任区，这样又可能再减少新设施方案的总响应时间，再一次增加它的优越程度，这样就证明了新设施比旧设施更优，或同样优。

因此，在假定（II）下，仍可设应急设施设在街角处。

于是与假定（I）的情况类似地可用计算机穷举算出答案来，对任一对候选的应急设施位置，（坐标为整数），求出每一条街道的总响应时间，将所有街道的总响应时间相加就得到这一选址方案的总响应时间。

进行比较就可得出最短的总响应时间及对应的选址方案。

的总响应时间的计算方法已在前面讲过。

并且由于设施都设在街角处，只要将分成两个责任段（在多数情形下实际上只有一个责任段），将这两个责任段的事故频率分别集中在它们各自的中点计算就可以了。

计算结果：

应急设施以设在点（2,3）,（7,3）时最优。

在假定（II）之下本题还有一种更简单一些的近似算法。

按照这个算法，假定（II）和假定（I）下得出同样的答案。

我们将假定（I）和假定（II）进行比较。

首先，既然已经证明在假定（II）下应急设施仍应设在街角处，这就与假定

（1）相同了，只是对每一对候选位置计算总响应时间时的算法不同。

我们考虑每一个街区和它周围的四条街道在两种不同假设下算出的总响应时间有何不同。

注意大部分街道都是街区的分界线，属于两个街区共同所有，分担两个街区的事故频率。

但我们可以把这样的街道顺着街道方向剖开成为两部分（左半部分和右半部分），认为每半部分各只属于一个街区，只承担这一个街区的事故发生频率，不用再将两个相邻街区的频率相加。

求出所有这些“半边街道”的总响应时间之和，也就是整个城镇的总响应时间了。

现在我们来看在假设（II）下围成每个街区的四条边（“半边街道”）的总响应时间。

如果这四条边处在同一个责任区中，我们称这个街区为非边界街区。

在计算非边界街区的四条边的总响应时间时把它们所分担的事故频率各自集中在它们的中点。

相对的两条边分担的事故频率相等，在求它们的响应时间之和时可以用这两条边各自的中点到应急设施的行驶时间的平均值乘上它们的事故频率之和（即每一个的事故频率的两倍）来计算。

但这个平均值就是街区中心到应急设施的行驶时间，（想象有穿过街区中心的东西方向南北方向的道路供行驶）。

因此，可以把相对两边的事故频率集中在街区的中心，从而把整个街区的事故频率集中到街区中心。

设这个街区的中心的坐标为，，而这个街区