③若加丄a,加丄”，则n||a；④若加丄丄0,则a//0；
其中真命题的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
例19:
如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是（）
A、AC丄SBB、AB〃平面SCD
C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
例20:
已知为不同的平面，A、B、M、N为不同的点，。
为直线，下列推理错误的是（
B.
A.卩》nciu卩
C.二＞aA0=A
Mga.Me队Nwa、Nw卩、naa/3=MN
D.A.B、MgaA-B、Mw風且A、B、M不共线=＞&、0重合
真题：
[2016年浙江高考】已知互相垂直的平面交于直线/•若直线〃，/7满足m//a,〃丄〃，则（）
〃///n丄/丄/?
【答案】C
[2015高考浙江，文4】设a,0是两个不同的平面、I、m是两条不同的直线，且Iua、mu/3（）
A.若/丄0,则&丄0B.若a丄0,贝％丄加
C.若〃/0,则G//0D.若Q//0,贝|J1//1H
（2015高考广东，文6】若直线人和人是异面直线，人在平面a内，人在平面0内，/是平面a与平面0的交线，则下列命题正确的是（）
A./至少与lit12中的一条相交B./与人，人都相交
C./至多与/1?
12中的一条相交D./与/1?
12都不相交
【2015高考湖北，文5】厶,/‘表示空间中的两条直线，若P：
—是异面直线；q：
也不相交，则（）
A.Q是g的充分条件，但不是g的必要条件
B.q是g的必要条件，但不是g的充分条件
C.q是g的充分必要条件
D.Q既不是g的充分条件，也不是g的必要条件
题型三：
直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
证明平行的方法：
线线平行：
相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）。
线面平行：
（1）根据定理证明（线〃线二＞线〃面）；
（2）通过面面平行的性质定理（面〃面=＞线〃面）
面面平行：
（D平面a中分别有两条相交线与平面0的两条相交线平行
（2）平面a的法向量与平面”的
法向量平行
例21：
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形,
侧面阳D丄底面ABCD,且=PD=—AD.若。
尸分别2
为PC、3D的中点.
（1）求证：
EF〃平面PAD；
（2）求证：
平面PDC丄平面PAD.
例22：
如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，M,N分别是GC,BC的中点，求证:
MN||平面AED.
例27：
已知四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为平行四边形•点M、N、Q分别在PA、BD、PD上.且PM：
MA=BN：
ND=PQ：
QD.求证：
平面MNQ〃平面PBC.
题型四：
线与面、面与面的垂直的证明方法
三垂线定理：
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。
三垂线逆定理：
如果：
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。
例28：
直三棱柱ABC-ABG中，人疗丄BC.E是A£的中点，ED1AQ且交AC于D,
（I）证明：
B&JI平面A^C；（II）证明：
丄平面ED3.
例29：
如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形;
PA丄平面ABCD,
PA=AD=AC，点尸为PC的中点.
（I）求证：
PA//平面BFD；
（II）求证面P4C丄BFD.
A/GP中，E、F、G分另IJ
例30：
如图，在棱长为。
的正方体ABCD-是CB、CD、CC］的中点。
（1）求证：
平面AB\D』平面EFG；
（2）求证：
EF丄平面AA.C
例3仁如图，在三棱柱ABC-A^C,中，侧面ABB^,ACC^均为正方形，zBAC=90°，点D是棱B&
B、
的中点.
（I）求证：
人£＞丄平面BB"；
（II）求证：
ABJ!
平面AftC；
例32：
如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB丄AD,CD1AD,PA丄底面ABCD,PA二AD二CD二2AB二2,
M为PC的中点。
⑴求证：
BM〃平面PAD；
（2）在侧面PAD内找一点N,使MN丄平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
例33：
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA丄平ffifABCD,PD//MA,E.G、F分别为
ME、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA.
（I）求证：
平面EFG丄平面PDC;
（ID求三棱锥P-MAS与四棱锥P-ABCD的体积之比.
例34：
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。
（1）求证：
BCJI平面C44
（2）求证：
平面CA{D丄平面AA^B
例35：
如图所示，已知矩形ABCD中,AB=1OSBC=6,将矩形沿对角线BD把AABD折起，使A移到人点，且人在平面BCD上的射影0恰好在CD上.
（I）求证：
BC丄Afi；
（II）求证：
平面A{BC丄平面A{BD；
（III）求三棱锥A-BCD的体积.
真题：
（2016年上海高考】如图，在正方体ABCD-A、BGD\中，E、F分别为3G阳的中点，则下列直线中与直线矿
相交的是（）
（A）直线M（B）直线4B、（C）直线4B（D）直线B\Q
[2017年新课标I卷第6题】如图，在下列四个正方体中，九8为正方体的两个顶点，饥M。
为所在棱的中
点，则在这四个正方体中，直接力3与平面她不平行的是（）
[2017年新课标III卷第10题】在正方体ABCD-^C^中，F为棱〃的中点，则
A.人丘丄DC；B.AE丄BD
[2015高考山东，文18】如图，三棱台DEF-ABC中，AB=IDE,G,H分别为AG的中点.
（I）求证：
BD//平面FGH；
（II）若CF丄BC,43丄求证：
平面BCD丄平面EGH.
题型五：
空间中的夹角
知识点：
夹角的分类：
线线夹角、线面夹角、面面夹角
三者在计算或证明时的转换关系：
面面►线面►线线
计算三种夹角的方法：
勾股定理、向量'坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤:
①找角，②证明所找的角，
③#算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计算〉
异面直线的夹角问题:
例36：
在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形,
ZBAD=90\AD//BC,AB=BC=aAD=2a,PA丄底而ABCDPD与底面成30°
（1）若4E丄PD、E为垂足，求证：
BE丄PD；
（2）在
（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的正切值;
例37：
如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中占
MNMN=BC=4PA=4书
ABC-A.B.C.AABCBCABCC———-ABCD-AB'C'D'E,FAB、BCMBBEMF111114444
ABCDEFADABC-AlBlClAB丄丄BCC】
（1）证明：
AB=AC
（2）设二面角A-BD-C为60°,求坊C与平面BCD所成的角的大小
真题：
（2016年全国I卷高考】如平面过正方体ABCD-AAGD的顶点则％门所成角的正弦值为
（A）（B）（C）（D）
[2015高考浙江，文18】如图，在三棱锥ABC-A^C,中，ZABC=90,AB=AC=2,AA】=4,A】在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.
（1）证明：
AD丄平面AJBC；
（2）求直线AQ和平面BQCG所成的角的正弦值.
【2014高考，文18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，Q4丄底面ABCD,AC=2近,
P4=2,E是PC上的一点，PE=2EC。
（I）证明：
PC丄平面FED；
（II）设二面角A-PB-C为90,求PD与平面PBC所成角的大小。
（2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4,直三棱柱ABC-A^C,的底面是边长为2的正三角形,
分别是BCg的中点。
（I）证明：
平面AEF丄平面BfiCC,；
（II）若直线AC与平面A.ABB,所成的角为45',求三棱锥F-AEC的体积。
题型六：
距离问题：
点线距离（定义法、等体积法、向■法、空间坐标法〉;线面距离；面面距為
例47：
已知正四棱柱ABCD-A^Cfi,的地面边长为1,则棱场为2,点E为CC】的中点，求点0到平面BDE的距离。
例，。
中，AB=2,CC严2迈,E为Cq的中点，则直线AC】与平面BED
的卫
AC.>/2D.1
例49：
在AABC中，AB二15,Z3C4=120。
，若MBC所在平面&外一点P到A、B、C的距离都是14,贝ijP到a的距离是（）
例50：
如图，在四棱锥O—4BCQ中，底面ABCD四边长为1的菱形，ZABC=~,04丄底^ABCD.
4
OA=2,M为04的中点，N为BC的中点
（I）证明：
直线〃平面OCD；
（II）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（III）求点B到平面0CD的距离。
例51：
a和卩为平面，ac卩=卩,AB二5,A.B在棱I上的射影分别为A，,B‘,AAZ=3,BBZ=
2•若二面角a-/-卩的大小为#,求，点B到平面a的距离为
例52：
P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA丄平面ABCD,P到B,C,D三点的距离分别是运，J帀，疔，则P到A点的距离是（）
C.V3
例53：
如图，在四棱锥O—4BCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ZABC=~,04丄底^ABCD,
4
OA=2,M为04的中点，N为BC的中点
（I）证明：
直线MN//平面OCD；
（II）求异面直线AB与MD所成角的大小；（III）求点B到平面OCD的距离
例54：
如图，直四棱柱ABCD-ABCD
中，ABCA=CB=CD=BD=2,AB=AD=忑.40丄ABEDFCABEDACFD0ADOA=l
OD=2BC//EFF-OBED
例59:
如图，三棱柱ABC-AiBC,中，侧棱垂直底面，ZACB二90°,AC=BC=jAAi,D是棱AA,的中点
（I）证明：
平面BDG丄平面BDC
（II）平面BDG分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
真题：
8[2017年新课标I卷第18题】如图，在四棱锥宀的〃中，ABZBAP=ZCDP=90ZAPD=90-
【2017年新课标II第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,
AB二BC二丄AD,ZBAD二ZABC二90°。
2
（1）证明：
直线BC〃平面PAD;
（2）若APAD面积为2石,求四棱锥P-ABCD的体积。
（2017年新课标III卷第19题】如图，四面体力3〃中，是正三角形，AACD.
（1）证明：
AC丄BD；
（2）已知是直角三角形，AB-BD.若F为棱勿上与Z?
不重合的点，且AE丄EC,求四面体肋防与四面体的体积比.
（2016年全国I卷高考】如图，已知正三棱锥宀力％的侧面是直角三角形，处6,顶点P在平面S3C内的正投影为点2。
在平面刊3内的正投影为点F,连结PF并延长交S3于点G.
（I）证明：
G是朋的中点；
（II）在图中作出点F在平面刊力内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体戶妙的体积.
[2016年全国II卷高考】如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，，
交于点，将沿折到的位置.
（I）证明：
；
（II）若，求五棱锥体积.
[2016年全国III卷高考】如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点.
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
（2015高考新课标1,文18】（本小题满分12分）如图四边形处〃为菱形，G为加与助交点，BE丄平而4BCD,
（I）证明：
平面4EC丄平面BED；
（II）若ZABC=120,AE丄EC,三棱锥E-ACD
的体积为当，求该三棱锥的侧面积.
【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB丄平面ABC,AVAB为等边三角形，
AC丄BC且AC=BC=V2,O,M分别为AB,VA的中点.
（I）求证：
VB〃平面MOC；（II）求证：
平面WIOC丄平面VAB；（III）求三棱锥V-ABC的体积.
【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC丄平面ABC,ZABC=-，点D、E在线段
2
AC上，且AD=DE=EC=2,PD二PC二4，点F在线段AB上，且EF（I）证明：
AB丄平面PFE.（II）若四
棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.
题型八：
翻折与展开问题及探索问题
例60：
如图所示，等腰△ABC的底边AB=6来,高C£>=3,点E是线段上异于点3,£）的动点，点尸在疗C边上，且矿丄现沿EF将折起到尸的位置，使PE■丄AE,记BE=x,V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积.
（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，U（x）取得最大值P
（3）当U（x）取得最大值时，求异面直线4C与PF所成角的余弦值.
例6仁在直角梯形中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形沿折起，使平面平面，连结部分线段后围成一个空间几何体，
（I）求证：
平面；
（II）求三棱锥的体积.
例62：
正方形ABCD的边长为1,分别取边BC、CD的中点E、F,连接AE、EF、AF•以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P,得到一个四面体，如图
（2）所示.
C1）求证:
AP丄EF；
（2）求证：
平面APE丄平面APF.
例63：
如图4在边长为1的等边三角形ABC中.分别是AB.AC边上的点.AD=AE.尸是BC的中
点.AF与DE交于点G,将AABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥A-BCF，其中BC=—.
2
2
（1）证明：
DEBCFCF丄ABFAD=-F-DEGVF_DEG
例68：
如图甲，在直角梯形PBCD中，PB//CD,CD丄BC,BC=PB=2CD,A是的中点•现沿
AD把平面P4D折起，使得FA丄4〃（如图乙所示），E、尸分别为BC、AF边的中点.
（1）求证：
PA丄平面ABCD；
（2）求证：
平面PAE丄平面PDE；
（3）试探究在阳上是否存在一点G,使得尸G//平面
PDE,
并说明理由.
图甲
图乙
真题:
[2015高考陕西，文18】如图1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,ABAD=-^AB=BC=-AD=a,E
22
是的中点，O是OC与3E的交点，将^ABE沿BE折起到图2中\A,BE的位置，得到四棱锥人-BCDE.
（I）证明：
CD丄平面AflC；
（II）当平面40E丄平面BCDE时，四棱锥A-BCDE的体积为36JI,求d的值.
（2014高考，文19】如图所示:
边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE二
EDIPA=lyAB=l,AC=2,ZBAC=6Q（I）求三棱锥P-ABC的体积
PM
（II）证明：
在线段〃上存在点航使得"丄巩并求——的值.
MC
（2015高考福建，文20】如图，43是圆O的直径，点C是圆O上异于
面，且PO=OB=1.
（1）若D为线段AC的中点，求证AC丄平面PDO；（II）求三棱锥
（III）若BC=yf2，点E在线段阳上，求CE+OE的最小值.
题型九：
球类问题专项练习
-：
外接球的有关问题
梭锥的内切、外接球问题
例69：
正四面体的外接球和内切球的半径是多少
例70：
设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA=MD,MA丄如果AAMD的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
例71：
一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为
例72：
已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）
A.B.C・D.
例73:
—个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱
9
柱的体积为-，底面周长为3,则这个球的体积为
8
例74：
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球
的体积为•
例75：
表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上
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