初一年级奥数重点题型.docx

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初一年级奥数重点题型

初一年级奥数重点题型：

找规律运算题

【考点】平方数列的变形

如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是______

【答案】（n+1）2-1或n（n+2）

【规律】

①4-1,9-1,16-1,25-1,36-1……

②1*3=3；2*4=8；3*5=15；4*6=24……

【难度】★★★★☆

【考点】等差数列的变形

【难度】★★★☆☆

【考点】等比数列

观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有________个．

【答案】121

【规律】1+3+32+33+34

如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要________枚棋子．

【难度】★★★★☆

【考点】等差数列的变形

观察下面所给的一列数：

0，6，-6，18，-30，66，…，则第9个数是______

【答案】-510

【规律】相邻两项的差：

+6，-12，+24，-48，+96，-192……

有理数概念和计算

【难度】★★★☆

【考点】“四非”的概念、有理数的乘除法、绝对值的性质

下列说法正确的是（）

A．若a表示有理数，则-a表示非正数

B．和为零，商为-1的两个数必是互为相反数

C．一个数的绝对值必是正数

D．若|a|＞|b|，则a＜b＜0

【答案】B

【易错点】-a可以是正、负数或零，绝对值是非负数，绝对值大的数本身不一定大

【难度】★★☆☆

【考点】倒数、平方、有理数的比较

　　　　　　若0＜a＜1则a,1/a，a2从小到排列正确的是（）

　　　　　　A.a2＜a＜1/a；　　B.a＜1/a＜a2；　　C.1/a＜a＜a2；　　D.a＜a2＜1/a

【答案】A

【易错点】正数范围内，真分数倒数比本身大、平方比本身小。

【难度】★★★★

【考点】倒数、有理数的比较、科学记数法和精确位、方程的概念

下列说法：

⑴2-b的倒数是1/（2-b）；⑵+a比-a大；⑶近似乎数6.02*103精确到百分位；⑷对任意有理数a，（a+3）2的值是一个正数；⑸m+|m|是非负数；⑹一元一次方程有且只有一个解，其中正确的个数为

A．1个B．2个C．3个D．5个

【答案】B

【易错点】0没有倒数，精确数位是最后一个有效数字在原数中的所在位，平方和绝对值都是非负数。

【难度】★★★☆

【考点】正负数的概念，绝对值的性质

下列说法正确的个数有（）

①-（-a）表示正数；②|a|一定是正数，-|a|一定是负数；

③绝对值等于本身的数只有两个，是0和1；

④如果|a|>|b|，则a>b．⑤有理数a>b，则a2>b2

A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】A

【易错点】-a不一定是负数、+a不一定是正数；可以用特殊值法快速排除。

一元一次方程概念和计算

【难度】★★★☆☆

【考点】解方程、有理数乘除法法则、约数倍数

当整数k为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？

并求出正整数解．

【解析】

整理变形得：

x=17/（9-k）

有正整数解知：

9-k＞0，且9-k是17的约数（因数）

所以9-k=1，或9-k=17

解得k=8或k=-8

【答案】k=±8，整数解x=17,x=1

【难度】★★★★☆

【考点】解方程、整体思想、方程解得定义

我们规定，若x的一元一次方程ax=b的解为b-a，则称该方程的定解方程，例如：

3x=4.5的解为4.5-3=1.5，则该方程3x=4.5就是定解方程．

请根据上边规定解答下列问题

（1）若x的一元一次方程2x=m是定解方程，则m．

（2）若x的一元一次方程2x=ab+a是定解方程，它的解为a，求a，b的值．

（3）若x的一元一次方程2x=mn+m和-2x=mn+n都是定解方程，

求代数式-2（m+11）-{-4n-3[（mn+m）2-m]}-[（mn+n）2-2n]/2的值．

【解析】

（1）x=m/2=m-2解得m=4

（2）由

（1）得ab+a=4，（ab+a）/2=ab+a-2=a=2，求得b=1

（3）由

（1）得mn+m=4……①，

（mn+n）/-2=mn+n+2，整理得mn+n=-4/3……②

①-②得m-n=16/3，化简求值即可

【答案】

（1）m=4

（2）a=2，b=1

（3）原式=-14/9

【难度】★★★★☆

【考点】方程设元、列方程、有理数的比较

有一列数，按一定规律排成1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某三个相邻数的和是5103，则这三个数中最小的数是____________。

【解析】

观察知数列变化规律是：

后一个数是前一个数的-3倍

设这三个数中的第一个为x，则第2、3个为：

-3x，9x

所以x-3x+9x=5103

解得：

x=729

所以-3x=-2187

【答案】-2187

【难度】★★★★☆

【考点】解方程、分数拆分、约数（因数）倍数问题

已知a为正整数，关于x的方程的解为整数，求a的最小值。

【解析】

整理得x=（1420+10a）/9

拆分整理（1420÷9=157……7，10a=9a+a）得x=157+a+（7+a）/9

由方程有整数解，且a为整数，知a=2

【答案】a=2

探索类附加题

　　【难度】★★★★☆

　　【考点】有理数计算、分数拆分、方程思想

　　解答题：

有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能表示为3个连续的正整数的和，求这8个连续的正整数中数的最小值。

（4分）

　　【解析】

　　设这八个连续正整数为：

n，n+1……n+7;和为8n+28

　　可以表示为七个连续正整数为：

k，k+1……k+6;和为7k+21

　　所以8n+28=7k+21，k=（8n+7）/7=n+1+n/7，k是整数

　　所以n=7,14,21,28……

　　当n=7时，八数和为84=27+28+29，不符合题意，舍

　　当n=14时，八数和为140，符合题意

　　【答案】数最小值：

21

　　【难度】★★★★★

　　【考点】倒数的定义、有理数计算、分类讨论思想

　　已知x，y是两个有理数，其倒数的和、差、积、商的四个结果中，有三个是相等的，

（1）填空：

x与y的和的倒数是;

（2）说明理由.

　　【解析】

　　设x，y的倒数分别为a，b（a≠0，b≠0，a+b≠a-b），

　　则a+b，a-b，ab，a/b中若有三个相等，ab=a/b，即b2=1，b=±1

　　分类如下：

　　①当a+b=ab=a/b时：

如果b=1，无解;如果b=-1，解得a=0.5

　　②当a-b=ab=a/b时：

如果b=1，无解;如果b=-1，解得a=-0.5

　　所以x、y的倒数和为a+b=-0.5，或-1.5

　　【难度】★★★★☆

　　【考点】绝对值化简

　　将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b，代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最小值为____

　　【解析】

　　绝对值化简得：

当a≥b时，原式=b;当a

　　所以50组可得50个最小的已知自然数，即1,2,3,4……50

　　【答案】1275

　　这50个值的和的值为____

　　【解析】

　　因为本质为取小运算，所以100必须和99一组，98必须和97一组，最后留下的50组结果为：

1,3,5,7……99=2500

　　【难度】★★★★☆

　　【考点】有理数计算

　　在数1,2,3,4……1998，前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少?

（6分）

　　【解析】

　　最小的非负数为“0”，但是1998个正数中有999个奇数，999个偶数，他们的和或者差结果必为奇数，因此不可能实现“0”

　　可以实现的最小非负数为“1”，如果能实现结果“1”，则符合题意

　　相邻两数差为1，所以相邻四个数可以和为零，即n-（n+1）-（n+2）+n+3=0

　　从3，4，5，6……1998共有1996个数，可以四个连续数字一组，和为零

　　【答案】

　　-1+2+3-4-5+6+7……+1995-1996-1997+1998=1

　　在数1,2,3,4……n，前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少?

　　【解析】

　　由上面解析可知，四个数连续数一组可以实现为零

　　如果n=4k，结果为0;（四数一组，无剩余）

　　如果n=4k+1，结果为1;（四数一组，剩余首项1）

　　如果n=4k+2，结果为1;（四数一组，剩余首两项-1+2=1）

　　如果n=4k+3，结果为0;（四数一组，剩余首三项1+2-3=0）

列方程解应用题

　　【难度】★★★☆☆

　　【考点】表格阅读题，列一元一次方程解应用题

　　某校初一甲、乙两班共103人（其中甲班人数多于乙班人数，每班人数均在100以内）去游该公园，如果两班都以班为单位分别购票，则一共需付486元.

（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少钱?

（2）两班各有多少名学生?

　　【解析】

（1）节省=486-103*4=74元

（2）设甲班有x人，则乙班有（103-x）人

　　103*4.5=463.5<486，则甲班人数x>51,乙班人数103-x≤50

　　依题意列方程：

　　4.5x+5*（103-x）=486，解得x=58

　　【答案】节省74元，甲班有58人，乙班有45人

　　【难度】★★★☆☆

　　【考点】方案选择题，列一元一次方程解应用题

　　某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施。

　　方案1：

工厂污水先净化处理后再排出，每1立方米污水所用原料费为2元，且每月排污水设备耗损为30000元;

　　方案2：

工厂将污水排到污水厂统一处理每处理1立方米污水需付14元的排污费。

问：

（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水里，y与x之间的等量关系（即用含x的代数式表示y。

）（其中利润=总收入-支出）。

（2）设工厂生月生产量为6000件产品，你若做为厂长在不污染环境又节约资金的前提下应选用哪种处理污水的方案请通过计算加以说明。

　　【解析与答案】

（1）

　　方案一：

y=（50-25）x-0.5×2x-30000=24x-30000

　　方案二：

y=（50-25）x-0.5×14x=18x

（2）

　　方案一：

y=114000

　　方案二：

y=108000<114000

　　方案一更节约资金。

　　【难度】★★★☆☆

　　【考点】方案选择题，列一元一次方程解应用题

　　老师准备购买精美的练习本当作奖品，有两种购买方式：

一种是直接按定价购买，每本售价为8元;另一种是先购买会员年卡（自购买之日起，可持供卡人使用一年），每张卡40元，再持卡买这种练习本，每本5元。

（1）如果购买20本这种练习本，两种购买方式各需要多少钱?

（2）如果你只能选择一种购买方式，并且你计划一年中用100元花在购买这种练习本上，请通过计算找出可使用购买本数最多的购买方式;

　　（3）一年至少购买这种练习本超过多少本，购买会员年卡才合算?

　　【解析与答案】

（1）

　　方案一：

20×8=160元，方案二：

40+5×20=140元

（2）

　　方案一：

100÷8=12，方案二：

（100-40）÷5=12

　　即两种方案所能购买的数量一样

　　（3）

　　设购买数量为x本，则方案一总花销8x，方案二总花销：

40+5x

　　令8x=40+5x，解得x=40/3，

　　即至少购买14本，比较划算。

　　方案一：

y=（50-25）x-0.5×2x-30000=24x-30000

　　方案二：

y=（50-25）x-0.5×14x=18x

（2）

　　方案一：

y=114000

　　方案二：

y=108000<114000

　　方案一更节约资金。

　　【难度】★★★☆☆

　　【考点】方案选择题，列一元一次方程解应用题

　　某商场出售A、B两种商品，并开展优惠促销活动方案如下两种：

（1）某客户购买的A商品30件，B商品90件，选用何种活动划算?

能便宜多少钱?

（2）若某客户购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多一件，请问该客户如何选择才能获得优惠?

请说明理由。

　　【解析】

（1）

　　活动一：

30×90×（1-30%）+90×100×（1-15%）=9540

　　活动二：

（30×90+90×100）×（1-20%）=9360<9540

　　所以活动二划算，能便宜180元

（2）

　　活动一：

90×（1-30%）x+100×（1-15%）（2x+1）=233x+85

　　令x+2x+1=100，则x=33，

　　活动二：

　　若x>33，则[90x+100（2x+1）]×（1-20%）=232x+80<233x+85

　　若x≤33，则90x+100（2x+1）=290x+100>233x+85

　　【答案】

（1）活动二，更划算，节省180元

（2）若购买33件A产品以上，则活动二更划算;不超过33件，活动一划算

绝对值化简求值

【难度】★★★★★

【考点】有理数运算、绝对值化简

在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”

法则：

a#b#c=（|a-b-c|+a+b+c）/2

如：

（-1）#2#3=[|（-1-2-3）|+（-1）+2+3]/2=5

（1）计算：

3#（-2）#（-3）___________

（2）计算：

1#（-2）#（10/3）=_____________

（3）在-6/7,-5/7……-1/7,0,1/9,2/9……8/9这15个数中，①任取三个数作为a、b、c的值，进行“a#b#c”运算，求所有计算结果的值__________，②若将这十五个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的值是___________

【分析】将a#b#c=（|a-b-c|+a+b+c）/2进行取绝对值化简。

【解析&答案】

（1）原式=3

（2）原式=4/3

（3）当a＜b+c时，原式=b+c，当a≥b+c时，原式=a

①令b=7/9，c=8/9时a#b#c的值为b+c=5/3

②4（提示，将1/9,2/9……8/9分别赋予b、c同时赋予a四个负数；最后一组，a=0，b、c赋予两个负数即可）

【难度】★★★☆☆

【考点】绝对值与平方的非负性、二元一次方程组

已知：

（a+b）2+|b+5|=b+5，|2a-b-1|=0，求ab的值．

【分析】考察平方和绝对值的非负性，若干个非负数的和为零，则每个数都为零。

【解析】

由题意知b+5>0，（a+b）2+b+5=b+5，即（a+b）2=0……①

2a-b-1=0……②

解得a=1/3，b=-1/3

所以ab=-1/9

【答案】-1/9

【难度】★★★☆☆

【考点】绝对值化简，零点分段法

化简|3x+1|+|2x-1|

【分析】零点分段法，两个零点：

x=-1/3，x=1/2

【答案】原式=5x（x≥1/2）；x+2（-1/3≤x＜1/2）;-5x（x＜-1/3）

【难度】★★★★☆

【考点】有理数乘法法则、分类讨论、整体法求值

已知：

abc＜0，a+b+c=2，且求多项式ax4+bx2+c-5的值。

【分析】abc＜0，即两正一负或零正三负，由a+b+c=2知：

a、b、c两正一负;x=-1，从而代入求解

【答案】-3

【难度】★★★☆☆

【考点】绝对值的代数意义、绝对值化简

设a，b，c为实数，且化简|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|

【解析】

|a|+a=0，即|a|=-a，a≤0；

|ab|=ab，ab≥0，b≤0；

|c|-c=0，即|c|=c，c≥0

原式=-b+a+b-c+b-a+c=b

【答案】b

定义新运算和程序运算

【难度】★★☆☆☆

【考点】有理数计算，错项相消

设f（k）=k2+（k+1）2+……+（3k）2，求f（4）-f（3）=（）

A．365B．63C．356D．7

【分析】令等式中的k分别等于4、3

【答案】C

【难度】★★★☆☆

【考点】分类讨论

a为有理数，定义运算符号△：

当a＞０时，△a＝－a；当a＜0时，△a=a；a=0时，△a=0，根据这种运算，则△（1+△2）等于（）

A.3B.-3C.1D.-1

【分析】△运算的本质是：

△ａ=－|ａ|

【答案】D

【难度】★★★★☆

【考点】有理数计算，错项相消

若规定一种新运算为，如果，那么_______。

【分析】先令a=2，b=1/2，代入公式，可得A=-1；把A=-1代入，令a=2001，b=2002

【答案】1/2002000

【难度】★★★★☆

【考点】绝对值化简、等差数列求和

将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b，

代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最小值为____。

【分析】绝对值运算化简：

当a>b，原式=b；当a

【答案】1+2+3+……+49+50=1275

【难度】★★★★☆

【考点】程序运算、多次循环

按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为853，则满足条件的x的不同值最多有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

【分析】输出结果853可能是没有经过循环、经过1次或者多次循环后的结果

【答案】A

【易错点】注意题目中的x条件为正数，满足的有：

213、53、13、3、0.5五个

【难度】★★★★☆

【考点】程序运算、二元一次方程

按下面的程序计算，若开始输入的值x为1，最后输出的结果为1；若开始输入的值x为-1，，最后输出的结果为-3，则若开始输入的值x为0.5，最后输出的结果为_________.

【分析】分别将x=1和x=-1输入程序等到关于k、b的二元一次方程，求出k=2、b=-1

【答案】-3/4

代数式化简求值

【难度】★★★★☆

【考点】整体法求值、有理数加减法计算

已知（2x-1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f（a，b，c，d，e，f为常数），则b+d=_______

【解析】

令x=1得，1=a+b+c+d+e+f……①

令x=-1得，-243=-a+b-c+d-e+f……②

令x=0得，-1=f

①+②得：

2b+2d+2f=-242

b+d+f=-121

b+d=-120

【答案】-120

【难度】★★★★☆

【考点】整体法求值、二元一次方程组

如果四个有理数满足下列等式

a+bc=-1，2b-a=5，2a+b=2d，3a+bc=5，求：

abcd的值．

【解析】

a+bc=-1……①，

2b-a=5……②，

2a+b=2d……③，

3a+bc=5……④

由①、④解得：

a=3，bc=-4

把a=3代入②得：

b=4

把a=3、b=4代入③得：

d=5

所以abcd=3×（-4）×5=-60

【答案】-60

【难度】★★★☆☆

【考点】整体代入化简求值

【清华附中期中】

已知x+y=6，xy=4，代数式的值是__________。

【解析】

原式=（xy+y2+x2y+2x）/xy=[（x+y）y+（xy+2）x]/xy=（6y+6x）/4=9

【答案】9

【难度】★★★★☆

【考点】整体法求值

已知：

a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+……+a2012的值。

【解析】

已知为a的三次四项式，求a的2012次多项式的值，需要把已知升次

左右同时乘以a2009得：

a2012+a2011+a2010+a2009=0

即从高次到低次，连续四项和为零

2012÷4=503……0

原式=1

【答案】1

【难度】★★★☆☆

【考点】整体法求值、数形结合思想、加减法计算

已知a-b=3，b-c=4，c-d=5，则（a-c）（d-b）=

【解析】

方法①（代数法：

整体思想）

a-c=（a-b）+（b-c）=3+4=7；

b-d=（b-c）+（c-d）=4+5=9；d-b=-9

原式=7*（-9）=-63

方法②（几何法：

借助数轴）

如图：

易得a-c=7，d-b=-9，原式=-63

【答案】-63