普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷题及答案.docx

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普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷题及答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷

理科数学

注意事项：

1・答卷前,考生勢必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡±o

2•作答时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3・考试结束后,将本试卷和答题卡一并交

一、选择题:

本题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的

四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

43一+—i

55

4

+-i

5

解析：

选D

2・已知集合A={（xry）|x2+y2<3/xeZ/yeZ}，则A中元素的个数为

（）

解析：

选A问题为确定圆面内整点个数

解析：

选Bf（x）为奇函数,排除A,x>0zf（x）>0,排除D,取x=2,f⑵二e2-e-2

~7~>t故选B

44.已知向量a,b满足|a|=l,a-b=-l,则a-（2a-b）=（）

A・4B・3C・2D・0

解析：

选Ba*（2a-b）=2a2-a*b=2+l=3=l（a>0,b>0）的离心率为卡，则其渐近线方程为

C3

解析：

选AcosC=2cos2--1=-~

AB2=AC2+BC2-2AB-BC-cosC=32AB=4羽

11111

7・为计算S=1--+・才+……+騙・iqqI设计了右侧的程序框

图,则在空白框中应填入（）

A・i=i+lB・i=i+2C・i二i+3D・i=i+4

解析：

选B

8•我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果•哥德巴赫猜想是''每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23•在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是（）

1111

A•石B.打D云

解析：

选c不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个其和为30的为7+23,11+19,13+17,

31

=^/3,则异面直线

共3种情形，所求概率为P二需=占

9•在长方体ABCD・AiBiCiDi中fAB=BC=1fAAi

ADi与DBi所成角的余弦值为（）

解析：

选C建立空间坐标系,利用向量夹角公式可得。

3ti

10•若f（x）二cosx・sinx在卜a,a］是减函数,则a的最大值是（）

TT

4

解析:

选A

f（x）=羽cos（x+p依据f（x）=cosx与f（x）二aJ2cos（x+-）

n

的图象关系知a的最大值为/

4

・已知f（x）是定义域为（・8,+OO）的奇函数,满足f⑴X）二f（l+x）•若

f（l）=2,则f（l）+f

（2）+f（3）+

・・・+f（50）=（

A・-50

）

B・0C・2D・50

解析:

选C由f（l-x）=f（l+x）得f（x+2）=・f（x）,所以f（x）是以4为周期的奇函数，且

f（-l）=-f（l）=-2J（0）=0J（l）=2J

（2）=f（0）=0zf（3）=f（-l）=-2rf（4）=f（0）=0;f（l）+f

（2）+f（3）+・・・+f（50）=f（l）+f

（2）=2

x2y2

12・已知F2是椭圆C:

-+-=l（a>b>0）的左，右焦点，A是C

的左顶点,点P在过A且斜率为十的直线上,APF1F2为等腰三角形,

6

zF1F2P=120°,则C的离心率为（）

解析：

选D

AP的方程为y=¥（x+a）,・・AP为等腰三角形/.

|F2P|=|FiF2|=2cz

过P作PH丄x轴■则zPF2H=60°z/.|F2H|=cjPH|=^f3c//.P（2czJc）,

代入AP方程得4c=a二、填空题：

本题共4小题，每小题5分•共20分。

13・曲线y=2ln（x+l）在点（0,0）处的切线方程为・

解析:

y=2x

x+2y-5>0

14・若x,y满足约束条件^x-2y+3>0，则z=x+y的最大值为

x-5<0

解析：

9

15・已知sina+cosp=l,coscc+sinp=0,则sin（a+p）=

1

解析：

・§两式平方相加可得

16・已知圆锥的顶点为S,母线SA.SB所成角的余弦值为§,SA与圆

锥的侧面积为

锥底面所成角为45。

若ASAB的面积为5^/15,则该

解析:

设圆锥底面圆半径为r,依题SA=^2rr又SA.SB所成角的正弦

J151J15/—

值为&,R!

l2x2r2x&=5^/15

.•.「2=40,S=nxrxAj2r=40^2

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17・（12分）

记Sn为等差数列佃啲前n项和,已知ai=-7,S3=-15・

（1）求｛an啲通项公式；

（2）求并求Sn的最小值.

解：

（1）设｛a“的公差为d•由题意得3ai+3d=・15由a1=-7得d=2・所以｛a“｝的通项公式为an=2n-9.

（2）由

（1）得Sn=n2-8n=（n-4）2-16.所以当n二4时,S.取得最小值最小值为一16.

18・（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：

亿元）的折线图・

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型・根据2000年至2016年的数据（时间变量t的

值依次为1,2“17）建立模型①：

y=-30.4+13.5t;根据2010年至

2016年的数据（时间变量t的值依次为1,27）建立模型②：

y

=99+17.5t・

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额

的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？

并说明理由・

解：

（1）利用模型①■该地区2018年的环境基础设施投资额的预测

值为

y=-30.4+13.5xl9=226.1（亿元）.

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

卜99+17.5x9=256.5（亿元）.

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（i）从折线图可以看岀,2000年至2016年的数据对应的点没有随

2k2+4

A=16k2+16>0,故X1+X2二~

2k2+4

所以|AB|=x1+x2+2=-—+2=8.解得k=-l（舍去），k=l.

因此I的方程为y=x-l.

（2）由

（1）得AB的中点坐标为（3,2）,所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3）,即y=-x+5.

yo=-xo+5

设所求圆的圆心坐标为（xo,yo）,则丫

附氓呼红6解得

因此所求圆的方程为（x・3）2+（y・2）2“6或（x-ll）2+（y+6）2=144.

20・（12分）

如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2^/2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点・

（1）证明：

PO丄平面ABC;

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30。

，求PC与平面PAM所成角的正弦值■

解：

（1）因为AP=CP=AC=4.0为AC的中点,所以0P丄AC,且

OP=2yfi・连结0B•因为AB=BC=^AC,所以AABC为等腰直角三角形,

1

且0B丄AC,0B=-AC=2.

由OP2+OB2二PB?

知OP丄0B・

由OP丄OB,OP丄AC知OP丄平面ABC.

（2）如图■以O为坐标原点,建立如图空间直角坐标系.

由已知得0（000）,B（2O0）,A（0,20）,C（020）P（0O2\传），AP二（0。

2\丘）取平面PAC的法向量06=（200）.

设M（az2-a/0）（0

21・（12分）

已知函数f（x）=ex-ax2・

（1）若a",证明：

当x“时，f（x）>l；

（2）若f（x）在（0,+8）只有一个零点■求a・

【解析】

（1）当a“时.f（x）>l等价于・

设函数g（x）（x2+l）ex-l,则g（x）=-（x-l）2ex・当x#l时,g（x）<0,所以g（x）在（0,+8）单调递减.

而9（0）=0,故当x>0时,g（x）<0,即f（x）>l・

（2）设函数h（x）=l-ax2e-x・

f（x）在（0,+8）只有一个零点当且仅当h（x）在（0,+8）只有一个零点.

（i）当aS时,h（x）>0,h（x）没有零点;

（ii）当a>0时,h（x）=ax（x-2）e-x・

当XG（OZ2）时，hf（x）<0;当xW（2,+8）时.hr（x）>0.所以h（x）在（0,2）单调递减,在（2,+oo）单调递増・

4a

故h

（2）=l-&是h（x）在［0,+co）的最小值.

e2

1若h

（2）>0,即a<—,h（x）在（0,+8）没有零点；

4

e2

2若h

（2）=0,即a=-,h（x）在（0,+8）只有一个零点;

4e2

3若h

（2）<0,即3>?

‘由于h（0）=l,所以h（x）在（。

2）有—个零点,

16a316a31

由

（1）知，当x>0时,ex=x2,所以h（4a）=l-（e^>l-（^=l-a>0

故h（x）在（2,4a）有一个零点,因此h（x）在（0,+8）有两个零点.

e2综上，f（x）在（0,+8）只有一个零点时,a=—・

4

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

22・［选修4-4:

坐标系与参数方程］（10分）

x=2cos0

（1）求C和I的直角坐标方程;

（2）若曲线C截直线I所得线段的中点坐标为（1,2）,求I的斜率・

当cosa#0时,I的直角坐标方程为y=tancxx+2-tana,

当cosa=0时,I的直角坐标方程为・

（2）将I的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程（l+3cos2a）t2+4（2cosa+sina）t-8=0・①

因为曲线C截直线I所得线段的中点⑺2）在C内,所以①有两个解,设为ti,t2,则ti+t2=0・23・［选修4-5:

不等式选讲］（10分）设函数f（x）=5-|x-a|-|x-2|・

（1）当a=l时,求不等式f（x）>0的解集;

（2）若f（x）

2x+4xGl

【解析】

（1）当时”2-l0的解集为

-2x+6x>2

{x|-2

（2）f（x）«l等价于|x+a|+|x・2|n4・

而|x+a|+|x・2|n|a+2|,且当x=2时等号成立・故f（x）

>4・得a<-6或aoc2,

所以a的取值范围是（・8,・6]U[2,+8）.