中考数学复习指导分式运算中常见误区归纳doc.docx
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分式运算中常见误区归纳
分式是在整式运算、多项式因式分解、i元一次方程的解法基础上学习的。
分式的运算与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂，解法更加灵活；因而更容易出现这样或那样的错误，为帮助同学们弄清分式运算中的错误所在，本文归纳小结儿种错误原因如下，供同学们学习时参考.
一、忽视隐含条件
兀2_4
例1当*=时，分式一的值为零。
无2+5兀—14
错解：
当x2-4=0,即沪±2时，上述分式的值为零.
评析：
由于x=2时，分母x2+5x—14=0,因此分式无意义.故正确答案为：
x=—2.
二、轻易约分
a?
—a—2
例2.。
为何值时，分式一无意义？
+4ci+3
错解：
因为：
2_d_2=（d_2）@+l）=口,由a+3=o得a=—3,・••当a=—3时/+4g+3（a+3）（d+1）g+3
分式没有意义.
评析：
分析：
讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式.误解的原因是轻易的约掉分子、分母中的公因式（a+1）,相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的取值范围，即放宽了分式成立的条件。
正确答案应为：
a=—3或a=—1・
三、符号上的错误:
41
例3化简一+——的结果是（）
nr-42-m
评析：
错误的原因是由于把（2m）变形为（im2）时没有改变分式的符号。
正解应为——4=45+2）=竺辺
（加+2）（m一2）m一2（m+2）（加+2）-4
故应选Ao
4.通分时误去分母
例4•计第右-宀―
错解:
原式=—_（x2-x-l）=x3-（x-l）（x2+x+l）=x3-（x3-l）=l
x-1
评析：
错解把分式的化简与解方程去分母混同一体，分式化简的每一步变形的依据都是
依靠分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母；
正解应为：
原式j）=丄
x~\x~\
5.违背运算顺序
例5•计算:
a1-b1a2-2ab+b21
2X
a3+b3a2-ab+b2（b-a）2
错解：
原式
（a4-b）（a-/?
）（a-h）2、，1
•/\
（a+b）（a2-ab+b2）a2-ab^b2（a-b）2
=a-b.
评析：
乘除法是同级运算，谁在前先作谁，而不应违反运算顺序。
六、结果不是最简分式
5a-a2一6
1十1
a2-3a+2a2-5a+6
11
（a-l）（a-2）+（a-2）（a-3）
@_3）+（a_l）_2a_4
（a-l）（a-2）（a-3）（a-1）（a-2）（a-3）
分析：
本题错在分式化简的结果不是最简分式，应在分式
"）—）（-3）的分子分母约去相同的因式（宀）°
正确答案为:
学习分式概念三注意
学习分式时，正确地理解分式概念是学好分式的关键，希望同学们在学习中应注意以下三个方面.以防出现一些错误。
注意一、加强对分式概念的理解
x+1
例1判断0是分式还是整式，其中龙是圆周率.
7t
错解：
因为出含有分母，所以出是分式.
兀兀
分析：
错解的原因是対分式的概念理解不透彻.要判断一个式子是否为分式，就是要看分母中是否含有字母•，所谓字母是指用来表示数的26个英文字母，这个字母是可取不同值
+1
的.而龙是常数不是一个字母，所以一是整式而不是分式.
71
兀+1
正解：
=不是分式.
71
注意二、分式有意义的条件
护一9
例2：
例2：
当。
取什么值时，分式有意义？
（a+3）（a+4）
错解:
ci~—9（a+3）（d—3）ci—3
（d+3）（d+4）（q+3）（q+4）q+4
（a+3）（。
+4）有忌义°
分析:
错误原因是当对分式一纟二^—约分后成为口，这样d的収值范围扩大了,
（a+3）（a+4）a+4
从而出现了只有4这种错误，像这种题目，既不要对原式进行化简，也不要对它进行约分。
正解:
由（a+3）（°+4）H0,a+3H0且a+4H0
当a^-3且GM—4时，分式有意义。
（67+3）（6/+4）
注意三、分式的值为零满足的条件
Y—1
例3：
当*=时，分式一的值为零。
x+1
x—1错解：
当X—1=0时，即“±1时，分式——的值为零。
兀+1
分析：
分式的值为0,必须具备两个条件，一是分式的分母不等于0,二是分式的分子为0,二者缺一不可.只有同时具备这两条，才能确定分式的值为0•错解就忽略了分式的分母不能为0的条件。
x—I
正解：
当兀一1=0时，即x=±l,又因为X+1M0,即x#l,所以当x=l时，分式的
兀+1
值为零。
学习分式方程四注意
分式方程是一种非常重要的方程类型，在初中数学中占有重要的地位，一直以来都是中考的必考内容，因此学好分式方程对同学们来说至关重要。
那么如何才能学好分式方程呢？
同学们应注意以下儿点。
一、熟知分式方程的概念
o2ann4只0
分母中含有未知数的方程叫做分式方程，如.己兰-空=4都是分式方程,
x1-xx2%
XX—1
而送=「就不是分式方程。
从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：
一是32
含有分母，二是分母中含有未知数。
因此分式方程和整式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数。
二、掌握分式方程的解法
解分式方程的具体过程如下：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原分式方程的根,使最简公分母等于零的根是原分式方程的增根，必须舍去。
第三步的实质是验根，这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误；还可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原分式方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误。
zr、工口兀+1x+8兀+2x+7„
例1方程+=+的解是o
x+2兀+9兀+3x+8
山才k亠工口一r/i丄兀+1x+2x+7x4-8
解析原万程可化为=o
兀+2x+3x+8x+9
-1-1
两边各自通分，得-—=——-——。
X*"4-5x4-6x4-17%+72
所以x2+5%+6=x2+17%+72,即x=-—。
检验：
x=-—是原方程的解。
22
三、理解分式方程的增根
解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方稈来获得原分式方程的解。
由于去分母吋，方程两边要同乘以最简公分母，如果最简公分母的值不为0.那么原分式方程的解与所求的整式方程的解相同，此时没有增根。
如果最简公分母的值为0,那么原分式方程的解与所求的整式方程的解就不相同，也就是说此时整式方程的某个根会使原分式方程的分母为0,从而失去意义，此时整式方程的这个根就是原分式方程的增根。
这便是增根产牛•的原因，因此解分式方程必须验根。
例2分式方程亠+=0有增根，则£的值为
X-1X-1X+1
解析把原方程化为整式方程，整理后得2兀+尬+£二0。
因为原方程有增根，增根只能是戸1或a—I,将它们代人化简后的整式方程。
当戸1吋，k=~i；当％=—1吋，无解。
故答案应填一1。
四、灵活运用分式方程解决实际问题
例3华联超市用50000元从外地采购一批T恤衫，南于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购比上一次多2倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元，商场在出售时统一按每件80元的标价出售，为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完。
求商场在这笔生意上盈利多少元？
解析本题是一个和销售盈利有关的实际问题，涉及的数量关系较多，但解决问题的关键仍然是找出相等关系。
要求商场盈利多少元，必须求出两次采购T恤衫的数暈。
本题的等量关系是：
第二次每件的进价一第一次的进价=12元。
设第一次购进兀件T恤衫，则
186000
50000=]2,解得liooo。
经检验^-1000是方程的解。
所以盈利为（1000x4-400）x80+400x80x65%-（186000+50000）=72800（元）。
所以商场在这笔生意上盈利72800元。
找错纠错远离错
——解分式方程中的错误
在解方程方程时，常见的错误有哪些呢,下面就让我们一起看看吧！
一、去分母时漏乘不含分母的项
2-x2
例1解方程：
一+3=——.
x—33—x
错解:
去分母，得2・x+3=2,
解得x=3,
经检验知原方程无解.
分析：
上面的求解过程中有两处错误,一是去分母时3这一项没有乘以最简公分母x-3,
二是去分母后右边2没有变为・2.
正解:
去分母得：
2・x+3（x・3）二2,
化简得2x=5,解得x=—f
2
经检验，x是原方程的根.
2
所以原方程的根是x=-.
2
二、方程变形出现符号错误
3-Y1
例2解分式方程：
—+_=1.
x-44-x
3-r1
错解：
方程化为「+—匚=1,
兀一4X-4
方程两边同乘以十4,得3・x+l=x・4,
解这个方程，得x=4
检验：
当x=4时，X—4=0,
所以原方程无解.
分析:
在方程变形时，分母4-x直接变成x・4,实际上,4・x=・（x・4）.错解在符号上。
正解:
去分母，得3-x-l=x-4,
解得x=3,
经检验x=3是原方程的解，
所以原方程的解为x=3.
三、解分式方程忘记检验
5r—44尢4-10
例3解分式方程：
竺上=竺士一1
x—23x—6
错解：
去分母，得3（5兀一4）=4兀+10-3（兀一2）.
解这个方程，得x=2.
所以这个方程的解为x=2.
分析：
错解在没有检验,实际上，当x=2时，原方程的分母等于0,x=2不是原方程的根.
正解：
去分母，得3（5兀一4）=4兀+10—3（兀一2）.
解这个方程，得x=2.
检验：
当x=2时，3（%-2）=0,所以兀=2是增根，原方程无解.
解分式方程谨防“三漏”
大家都知道在解可化为一元一次方程的分式方程吋，当遇到分式方程的结构较为“复杂”，解题步骤较为“繁多”时，在求解的过程中，稍不留神就会发生形形色色的错误，下面从以下三个个方面剖析一下，供同学们学习时参考.
易漏点一:
解分式方程“漏检验”
例1.解方程：
二一+丄=¥-
兀+1X—1X—1
误解：
方程两边同乘以（x+l）（x・l）得2x・l+3（x+l）=6,整理得：
5x=5,x=l,所以原方程的根为x=l.
剖析：
解分式方程是通过转化为整式方程来解的，其中有可能产生增根，因此必须检验.
正解：
方程两边同乘以（x+l）（x・l）得2x・l+3（x+l）=6,整理得：
5x=5,x=l
检验：
当x=l时，（x+l）（x-l）=O,所以x=l是增根，所以原方程无解.
易漏点二：
解分式方程“漏根”
例2.解方程：
———=—
兀一4x—3x—5x—1
3兀+1_3x4-1
（兀一4）（x—3）（x—5）（%—1）
所以（x-4）（x-3）=（x-5）（x-1）,即X2—7x+12=X2—6x+5,
1_1（%-4）（%-3）（%-5）（x-1）
所以x=7,经检验x=7是原方程的根.
剖析：
上述解法错在两边同除以（3x+l）造成了失误，注意解方程不能同除以含未知数
正解：
方程两边分别通分得:
3兀+1
3兀+1
（x-4）（x-3）（x-5）（x-l）
的整式.
⑴若卄即T原方程显然成立.
⑵若3W0,即无冷时，两边同除以（3x+l）得（-4）：
一3）°一5；（-1）所以（x-4）（x-3）=（x-5）（x-1）,即x=7,经检验x=—或x=7都是原方程的根.
易漏点三：
解分式方程易“漏乘”
X+11
例3・解方程：
=4
X—55—x
误解：
去分母，得（x+l）+l=4,解之得x=2
检验：
当x=2时，公分母x・5=・3tK）,所以x=2是原方程的根.
剖析：
以上解法，去分母时，右边的整式项“0漏乘公分母（x・5）因此导致错误.
…22正解：
去分母,得（x+l）+l=4（x・5）,整理得：
3x=22,所以兀=—,
22
经检验x=—是原方程的根.
3
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