直线与园的方程1与圆有关的最值问题.docx
《直线与园的方程1与圆有关的最值问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线与园的方程1与圆有关的最值问题.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
直线与园的方程1与圆有关的最值问题
■
二、到圆上一点距离的最值问题;
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题;
四、与圆半径有关的最值问题.
例L已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆兀2+y2—2x—2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
求Spa"的最小值就是求『q的最小值'
“空站3
^32+41
.••所求面积的最小值为
S=J9_i=2^/5点评：
求切线长时总是转化为到圆心的距离和半径来求解。
二、到圆上一点距离的最值问题:
例2：
已知P是圆F+y2=1上一点，Q是直线
/:
x+2y-5=0上一点，求|PQ|的最小值。
解:
圆心C（0,0）,半径r=l,作CH丄/与H
・••求圆上一点戶到0的距离可以转化为圆心C到0的距离|C0|,而|C0|的最小值就是圆心到直线的距离\CH\.
:
.\PQ\>\CQ\-1>CH-1
点评：
到圆上一点距离的最值问题总是转化为到圆心距离的最值冋题°
三、与圆上一点的坐标有关的最值冋题:
例3：
己知定M（-1,O）,B（1,O）和圆（兀-3『+（y—4『=4上的动点P,求使pa|2+|pb2最值时点p的坐标。
设P（x,y）
|PA|2+|PB|2=（兀+1）2+）2+（兀_］）2+『2
=2（/+y2+］）
上式中兀彳+丿2相当于在（兀一3）2+©_4『=4上的点P到原点0的距离的平方。
作图不难知道，当0（0,0）,P（s）,（3,4）共线时,川+于有最值。
易求得P时,x2+y2最小为20
（55丿
求得耳,空］时,x2+尸最大为100
U5；
（l）3x+4y
（2）x2+
5/、、丄人fx=cosa「r
解：
（1）法一：
令q1・，则
[y=l+sma
⑶出
X+1
3x+4y=3cosor+4+4sincr=5sin（a+0）+4
3x+4j的最大值为9,最小值为-1
法二：
设3x+4y=f,直线与圆相切时取最值諏0+4凹=9或J
5
3x+4y的最大值为9,最小值为-1
（l）3x+4y
（2）x2+y2
解：
（2）法一：
由
（1）知：
（3严2
X+1
x2+y2=cos?
q+（1+sina）?
=2+2sina
/.x2+的最大值为4,最小值为0y
法二：
F+y2=（Jx2+y2）2可看作圆/+（y—1）2=1上的点到坐标原点距离
的平方的最值，亦可求解
3+sina
1+cosa
（l）3x+4y
（2）x2+y2
解：
（3）法一：
由⑴知：
（3严2
X+1
，得sina—£cosa=k_3
即+sin（a+0）=k_3
sin（a+0）=f3,贝yf3
Jl+疋IJ1+/I3
.••占有最小值为*无最大值
法二:
出=丄土S可看作圆
X+1x—（—1）
兀2+（y_1）2=1上的点与尸（_1,_2）两点的
四、与圆半径有关的最值问题:
x>0
例4：
设兀y满足］y>x
4x+3y<12
解：
设（兀_1）2+（y_3『
则圆心C（l,3）,半径为匕
求（兀-1『+（丁-3『的最小值。
4x+3y=12
由图观察知，当圆与直线4x+3y-12=0相切是，半径厂最小，即厂2最小。
由圆心到直线的距离等于半径，得:
4+9-1211
a/42+325
25
/.（x-l）2+（y-3）2的最小值右
点评：
在线性规划中，求形如（兀-d『+（y-妙的最值问题，总是转化为求圆（x-6i）2+（y-fe）2=r2半径平方的最值问题。
练习2：
已矢口圆C：
x2+y2+2x-4y+3=0
（1）.若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
（2）•从圆C外一点P（x,y）向圆引切线PM,M为切点，0为坐标原点，^\PM\=\PO\,求使\PM|最小的点戶的坐标。
解:
⑴•圆C可化为心+l『+（y—2）2=2
・•・圆心C（—1,2）,半径r=^/2
设圆C的切线在x轴和y轴上的截距分别为°、b当。
—b—0时，切线方程可设为y=kx即也_y=0
由点到直线的距离公式得：
••・切线方程为y=（2土&）
当q=b主0时，切线方程可设为—+—=1
ab
即兀+y=0由点到直线的距离公式得：
a=—1或q=3
「・切线方程为x+y+1=0或r+y-3=0总之，所求切线方程为丁=（2±齿）兀
x+y+1=+y—3=0
（2）.连^MCjlJ|PM|2=|PC|2-|MC|2
Q\PM\=\P0\/.|PC|2-|MC|2=\POf艮叹（x+l『+（y-2『—2"+y2
•••PM
‘Q\2
*厂
=^5y2-6y+-当y=-冷=£时,|FM|最小,
33宀'
x=2x
52
33、
Ilow丿
例5：
已知与曲线C：
x2+y2-2x-2y+1=0
相切的直线/交兀轴』轴于4,3两点，0为原点,0A\=€z,|（?
5|=b（a>2，b>2）.
（1）•求证曲线C与直线/相切的条件是
（a_2）（b_2）=2；
（2）•求线段4B中点的轨迹方程；
（3）•求AAOB的面积的最小值。
（1）证明：
直线/的方程为-+-=1ab
^bx+ay-ab=O
曲线C的方程为（—1）2+（y-1）2=1
圆心（1,1）到直线的距离等于1的
充要条件是1=忙凹
・・・@_2）@_2）=2
（2）•设AB中点为M（x，y）则由中点坐标公式得
a
a-lx
、b二2y
x--
2.
••
b
y=-
[2
代入⑴的结论:
（2兀-2）（2y-2）=2
1
/.（x-l）（y-l）=-
这便是中点M的轨迹方程。
=—1+q+Z?
=（q—2）+（b—2）+3\3+2j（a-2）・（b-2）=3+2^2・•・勺最小值为3+2血
练习3：
已知AABC三个顶点坐标A（0,0）,B（4,0）,C（0,3），点P是它的内切圆上一点,求以PA，PB，PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
解:
QAABC的三边长分别为3,4,5・•・AABC是以4为直角顶点的7?
仏内切圆的圆心（1,1）,半径r=1
.•.内切圆的方程为（兀—1『+（y—=1即x2+/-2x-2y+l=0
设P点坐标为（x,y）
•••5=^（M2+|pb|2+|pc|2）
练习4：
设圆满足：
（1）截y轴所得弦长为2；
（2）被x轴分成两圆弧，其弧长比为3:
1。
在满足条件⑴⑵的所有圆中，求圆心到
直线=0的距离最小的圆的方程。
由已知应有圆C截x轴所得劣弧的圆心角为兰
B2
故丨bI二-——rBP2/?
2=r2
2
截y轴所得弦长为2得亍+1二厂2得“+1=2戻
练习4：
设圆满足:
⑴截y轴所得弦长为2；
（2）被兀轴分成两圆弧，其弧长比为3：
1。
在满足条件
（1）
（2）的所有圆中，求圆心到直线/:
x_2y=0的距离最小的圆的方程。
=1a—2b\2=a2-4ab+4/?
2
5
=>r=a/2
>a2+4/?
2_2（亍+方2）=2戻_q2二1当且仅当0=耐成立，此时dmin=
a2+l=2b2
\a=b
•••所求圆方程心+1『+（丁+1）2=2或（兀-1）2+（丁_1）2=2
a/5sin-^2
-5
cosO
由解法二同样可得〃
令swe_迈二k
cos&—0
£可看成单位圆亍+j2=1上动点P（cos0,sin0）与定点Q（0,血）连线的斜率0二冬或匹时,P0与单位圆相切,IkI取到最小
44
mm「，此时
•4n=g|
•••所求圆方程心+1）2+b+1）2=2或（X_1）2+（尹_1）2=2
升级会员 