直线与园的方程1与圆有关的最值问题.docx

1、直线与园的方程1与圆有关的最值问题二、到圆上一点距离的最值问题;三、与圆上一点的坐标有关的最值问题;四、与圆半径有关的最值问题.例L已知P是直线3x + 4y + 8 = 0上的动点，PA,PB 是圆兀2 + y2 2x 2y +1 = 0的两条切线,A, B是切点, C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。求Spa的最小值就是求q的最小值“空站332 + 41.所求面积的最小值为S = J9 _ i = 2/5 点评：求切线长时总是转化为 到圆心的距离和半径来求解。二、到圆上一点距离的最值问题:例2：已知P是圆F + y2 = 1上一点，Q是直线/:x+2y-5 = 0上一点，求|PQ|的最

2、小值。 解:圆心C（0,0）,半径r = l, 作CH丄/与H求圆上一点戶到0的距离可以转化为 圆心C到0的距离|C0|,而|C0|的最小 值就是圆心到直线的距离CH.:.PQCQ-1 CH -1点评：到圆上一点距离的最值问题 总是转化为到圆心距离的最值冋题三、与圆上一点的坐标有关的最值冋题:例3：己知定M（-1,O）,B（1,O）和圆（兀-3+（y4=4 上的动点P,求使pa|2+|pb2最值时点p的坐标。设 P(x,y)|PA|2+|PB|2 =（兀+ 1）2 + ）2 +（兀_）2 +2= 2（/ + y2+）上式中兀彳+丿2相当于在（兀一 3）2 + _ 4=4 上的点P到原点0的距离

3、的平方。作图不难知道，当0(0,0),P(s),(3,4)共线时, 川+于有最值。易求得P 时,x2 + y2最小为20(5 5丿求得耳,空时,x2 +尸最大为100U 5；(l)3x + 4y (2) x2 +5 /、丄 人 fx = cosa r解：(1)法一：令q 1，则y = l + sma出X + 13x + 4y = 3 cos or + 4 + 4 sin cr = 5sin(a + 0)+ 43x + 4j的最大值为9,最小值为-1法二：设3x + 4y = f,直线与圆相切时取最值 諏0 + 4凹 =9或J53x + 4y的最大值为9,最小值为-1(l)3x + 4y (2)

4、 x2 + y2解：(2)法一：由(1)知：(3严2X + 1x2 + y2 = cos? q + (1 +sin a)? = 2 + 2sina/. x2 +的最大值为4,最小值为0 y法二：F + y2=(Jx2+y2)2 可看作圆 /+(y 1)2 =1上的点到坐标原点距离的平方的最值，亦可求解3 + sin a1 + cos a(l)3x + 4y (2) x2 + y2解：(3)法一：由知：(3严2X +1，得 sina cosa = k_3即+ sin(a + 0)= k_3sin(a + 0)= f 3 ,贝y f 3Jl + 疋 IJ1 + /I 3.占有最小值为*无最大值法二

5、:出=丄土S可看作圆X +1 x (1)兀2 + (y _ 1)2 = 1上的点与尸(_1, _2)两点的四、与圆半径有关的最值问题:x0例4：设兀y满足yx4x+3y 2，b 2).(1)求证曲线C与直线/相切的条件是(a _ 2)(b _ 2)= 2；(2)求线段4B中点的轨迹方程；(3)求AAOB的面积的最小值。(1)证明：直线/的方程为-+- = 1 a bbx+ay-ab = O曲线C的方程为(1)2+(y-1)2 = 1圆心(1,1)到直线的距离等于1的充要条件是1 =忙凹_2)_2)= 2（2）设AB中点为M（x，y） 则由中点坐标公式得aa-lx、b 二 2yx-2. by =

6、-2代入的结论:（2兀-2）（2y-2） = 21/.（x-l）（y-l） = -这便是中点M的轨迹方程。=1 + q + Z? = (q 2)+ (b 2)+ 3 3 + 2j(a-2)(b-2)= 3 + 22 勺最小值为3 + 2血练习3：已知AABC三个顶点坐标A（0,0）, B（4,0）,C（0,3），点P是它的内切圆上一点, 求以PA，PB，PC为直径的三个圆面积之和 的最大值和最小值。解:Q AABC的三边长分别为3, 4, 5 AABC是以4为直角顶点的7?仏 内切圆的圆心(1,1),半径r = 1.内切圆的方程为(兀1+ ( y =1 即 x2 + /-2x-2y + l =

7、 0设P点坐标为(x,y)5 = (M2 + |pb|2 + |pc|2)练习4：设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两圆弧，其弧长比为3:1。 在满足条件的所有圆中，求圆心到直线= 0的距离最小的圆的方程。由已知应有圆C截x轴所得劣弧的圆心角为兰B 2故丨 b I二-rBP2/?2 = r22截y轴所得弦长为2得亍+1二厂2得“+1 = 2戻 练习4：设圆满足:截y轴所得弦长为2； (2)被兀轴分成两圆弧，其弧长比为3：1。 在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到 直线/: x_2y = 0的距离最小的圆的方程。=1 a 2b 2= a2 -4ab + 4/?25= r = a/2a2 +4/?2 _2（亍 +方2）= 2戻 _q2 二 1 当且仅当0 =耐成立，此时dmin =a2 + l = 2b2a = b所求圆方程心+ 1+（丁 + 1）2=2 或（兀-1）2+（丁_1）2=2a/5 sin - 2-5cosO由解法二同样可得令swe_迈二kcos& 0可看成单位圆亍+ j2 = 1上动点P（cos 0, sin 0） 与定点Q（0,血）连线的斜率 0二冬或匹时,P0与单位圆相切,I k I取到最小4 4mm ，此时4n=g | 所求圆方程心 + 1）2 + b + 1）2 = 2或（X _ 1）2 + （尹 _ 1）2 = 2