讲义2初中函数回顾1.docx

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讲义2初中函数回顾1

久久教育辅导讲义

学员编号：

990001年级：

新高一课时进度及课时数：

2/40

学员姓名：

杨凡辅导科目：

数学教师:

张老师

课题

初中函数回顾

授课时间：

2012/7/312：

30-4：

30

备课时间：

2012/7/30

教学目标

熟练掌握一次函数、反比例函数

重点、难点

函数的概念、特性及实际应用

考点及考试要求

本讲是对初中函数的回顾，为高中函数作铺垫。

教学内容

一、变量、常量、自变量、因变量、函数图象

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

有些量的数值是始终不变的，我们称他们为常量。

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量、y是因变量，y是x的函数。

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

表示函数的方法分别有列表法、解析式法和图象法。

二、函数

一次函数

表达式为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）的函数，叫做y是x的一次函数。

当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。

函数性质：

1．当k>0时，y的变化值随x的变化值增大而增大，反之，y的变化值随x的变化值减小而减小，当k<0时，y的变化值随x的变化值增大而减小，反之，y的变化值随x的变化值减小而增大。

在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。

2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为（0，b）。

3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。

4．在两个一次函数表达式中：

当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；

当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

当两个一次函数表达不相同时，则这两个式中的k不相同，b一次函数的图像相交；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

图象性质：

1．作法：

通过如下3个步骤：

（1）列表；取满足一次函数表达式的两个点的坐标。

（2）描点；一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一般地，y=kx+b（k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。

正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。

（3）连线；一次函数的图象是一条直线，因此，作一次函数的图象只需知道两个点，并作出直线即可。

2．性质：

（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：

y=kx+b（k≠0）。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总交于（-b/k，0）。

正比例函数的图像都经过原点。

3．k，b决定函数图像的位置：

y=kx时，y与x成正比例：

当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当k>0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、三象限；

当k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；

当k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；

当k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

当b>0时，直线必通过第一、二象限；

当b<0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。

这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。

当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

4、特殊位置关系：

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）。

5、一次函数的解析式：

①点斜式：

y-y1=k（x-x1）（k为直线斜率，（x1，y1）为该直线所过的一个点）；

②两点式：

（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点），

③截距式：

x/a+y/b=1（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）。

解析式表达的局限性：

①所需条件较多（2个点，因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组）；

②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线）

倾斜角的概念

x轴的正半轴逆时针旋转到直线所成的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。

设一直线的倾斜角为α，则该直线的斜率k=tanα。

倾斜角的范围为[0,π）。

待定系数法求一次函数解析式

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；

（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式。

注意：

求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值。

例1.已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（）

A.x1>x2B.x1

解：

根据题意，知k=3>0，且y1>y2。

根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。

故选A。

例2.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解：

由kb>0，知k、b同号。

因为y随x的增大而减小，所以k<0，从而b<0。

故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。

故选A.

例3.一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。

如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.

分析：

此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.

　　解：

由题意设所求函数为y=kx+12

　　则13.5=3k+12，得k=0.5

　　∴所求函数解析式为y=0.5x+12

　　由23=0.5x+12得：

x=22

　　∴自变量x的取值范围是0≤x≤22

例4.某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？

　　此题要考虑X的范围

　　解:

设总费用为Y元，刻录X张

　　电脑公司：

Y1=8X

　　学校：

Y2=4X+120

　　当X=30时，Y1=Y2

　　当X>30时，Y1>Y2

当X<30时，Y1

反比例函数

形如函数y=k/x（k为常数且k≠0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

自变量的取值范围：

①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；②函数y的取值范围也是任意非零实数。

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

k的意义及应用：

过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|。

反比例函数性质

单调性

　　当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；

　　当k<0时，图象分别位于第二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

　　k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

相交性

　　因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

面积

　　在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|，反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

图像

　　反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

　　反比例函数图像不与x轴和y轴相交。

y=k/x的渐近线：

x轴与y轴。

　　k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

　　k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

对称性

反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。

反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。

【例1】反比例函数的图象上有一点P（m,n）其坐标是关于t的一元二次方程t2+3t+k=0的两根双曲线，且P到原点的距离为√13，求该反比例函数的解析式．

　　分析：

　　要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．

　　解：

∵m,n是关于t的方程t^2+3t+k=0的两根双曲线

　　∴m+n=-3，mn=k,

　　又PO=根号13，

　　∴m^2+n^2=13，

　　∴（m+n^2-2mn=13，

　　∴9-2k=13．

　　∴k=-2

　　当k=-2时，△=9+2>0，

　　∴k=-2符合条件，

【例2】直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求双曲线的解析式

　　分析：

矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，

　　设A点坐标为（m,n），则AB=|n|,AC=|m|，

根据矩形的面积公式知|m·n|=6.

【例3】已知一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k≠0）

（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？

（2）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？

说明理由。

　　解

（1）一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k不等于零）有两个交点，即

　　-x+6=k/x化简的x^2-6x+k=0有两个交点则方程有两个不同的解

　　即6^2-4k>0所以k<9且k不等于0

（2）当0

【例4】已知函数y=（m-1）x^（m^2-m-1）.

（1）当m为何值时，y是x的正比例函数?

（2）当m为何值时，y是x的反比例函数？

　　解

（1）正比例函数则x次数是1

　　m^2-m-1=1

　　（m-2）（m+1）=0

　　m=2,m=-1

　　系数不等于0

　　m-1≠0

　　所以m=2,m=-1

（2）反比例函数则x次数是-1

　　m^2-m-1=-1

　　m（m-1）=0

　　m=0,m=1

　　系数不等于0

　　m-1≠0

　　所以m=0

【例5】一矩形的面积为24cm^2，则该矩形的长xcm与宽ycm之间的关系是什么?

请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。

　　解面积x*y=24

　　函数表达式y=24/x（x>0）

　　矩形的各边长均为整数

　　可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24

三、家庭作业

一、选择题

1、一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，写出挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（）

Ａ．y＝1.5（x+12）（0≤x≤10）Ｂ．y＝1.5x+12（0≤x≤10）

Ｃ．y＝1.5x+10（0≤x）Ｄ．y＝1.5（x－12）（0≤x≤10）

2、无论m为何实数，直线

与

的交点不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3、已知函数

当-1＜x≤1时，y的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

4、点A（－2，y1）与点B（－1，y2）都在反比例函数y＝－

的图像上，则y1与y2的大小关系为（　　）

A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1＝y2D.无法确定

5、若点（3，4）是反比例函数y＝

图象上一点，则此函数图象必经过点（　　）

A.（2，6）B.（2，－6）C.（4，－3）D.（3，－4）

6、在函数y＝

，y＝x+5，y＝－5x的图像中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图像的个数有（　　）

A.0　　　　　B.1　　　　　　C.2　　　　　　D.3

7、已知函数y＝

（k＜0），又x1，x2对应的函数值分别是y1，y2，若x2＞x1＞0对，则有（）

A.y1＞y2＞0B.y2＞y1＞0C.y1＜y2＜0D.y2＜y1＜0

8、如图1，函数y＝a（x－3）与y＝

，在同一坐标系中的大致图象是（）

9、如图2是三个反比例函数y＝

，y＝

，y＝

在x轴上方的图象，由此观察k1、k2、k3得到的大小关系为（　　）　

A.k1＞k2＞k3B.k2＞k3＞k1　C.k3＞k2＞k1D.k3＞k1＞k2

二、填空题

1、直线

与x轴交点的坐标是________,与y轴交点的坐标是_______.

2、如果直线

经过一、二、三象限，那么

____0（“＜”、“＞”或“＝”）.

3、若直线

和直线

的交点在第三象限,则m的取值范围是________.

4、函数y=-x+2的图象与x轴，y轴围成的三角形面积为_________________.

5、已知反比例函数y＝

（k≠0）与一次函数y＝x的图象有交点，则k的范围是______.

6、已知反比例函数y＝

，当m＿＿＿时，其图象的两个分支在第二、四象限内；当m＿＿＿时，其图象在每个象限内y随x的增大而减小.

7、若反比例函数y＝

的图象位于一、三象限内，正比例函数y＝（2k－9）x过二、四象限，则k的整数值是______.

8、已知点P（1，a）在反比例函数y＝

（k≠0）的图象上，其中a＝m2+2m+3（m为实数），则这个函数的图象在第______象限.

9、写出一个反比例函数，使它的图象在第二、四象限，这个函数的解析式是_____.

10、已知反比例函数y＝

（k≠0），当x＞0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y＝kx－k的图像过象限.

三、解答题

1、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.

（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标;

（2）求两直线交点C的坐标;

（3）求△ABC的面积.

2、反比例函数的图象过点（2，－2），求函数y与自变量x之间的关系式，它的图象在第几象限内？

y随x的减小如何变化？

请画出函数图象，并判断点（－3，0），（－3，－3）是否在图象上？

3、若反比例函数y＝

的图象经过第二、四象限，求函数的解析式.

4、如图3所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，若S△AOM＝3，求该反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围.

5、点P，Q在y＝－

的图象上.

（1）若P（1，a），Q（2，b），比较a，b的大小；

（2）若P（－1，a），Q（－2，b），比较a，b的大小；

（3）你能从中发现y随x增大时的变化规律吗？

（4）若P（x1，y1），Q（x2，y2），x1＜x2，你能比较y1与y2的大小吗？

四、学生对于本次课的评价：

○特别满意○满意○一般○差

学生签字：

五、教师评定：

1、学生上次作业评价：

○好○较好○一般○差

2、学生本次上课情况评价：

○好○较好○一般○差

教师签字：

久久教育教务处