第二章 二阶线性偏微分方程的分类汇编.docx

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第二章二阶线性偏微分方程的分类汇编

第二章二阶线性偏微分方程的分类

1．把下列方程化为标准形式：

（1）

解：

因为

所以该方程是抛物型方程，其特征方程为

。

它只有一族实的特征线

在这种情况下，我们设，（或令，总之，此处是与无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式或）。

方法一：

用抛物型方程的标准形式

先算出：

∴

即

方法二：

应用特征方程，作自变量变换，求出

代入原方程得，

（2），

解：

因为，所以该方程是双曲型的其特征方程为

，

特征线为和。

故可令，，在双曲型方程的标准型式，

中，先算出，

∴

即

，

（3）

解：

因为

所以该方程是椭圆型的，其特征方程为

特征线为：

和，

故可令

，

为计算方便，又令

在椭圆型方程的标准形式：

中，先算出，

∴

即

。

改变自变量、的记号为、，则

（4）

解：

（i）如，则，该方程为双曲型。

其特征方程为：

，和

其特征线为：

和

故可令：

，

在双曲型方程的标准形式

中，先算出

所以原方程化为

（ii）如，则，该方程为椭圆型。

其特征方程为

和

特征线为

和

故可令

，

为方便计，又令

，或

则

，,,

原方程为

即

。

把符号换成，就有。

（5）。

解：

，所以特征方程为。

（i）如，则，所以方程是双曲型的。

特征线：

和

或改写为及

令

，

（1）

，

（2）

，

，

，，

（3）

将

（1）减

（2）式得

∴

代入（3）就代成标准形

。

（ii）如，则，则，

则此方程为椭圆型。

特征方程为：

，

特征线为：

和

令，

则，，

，

，

方程为

，

即

。

（6）。

解：

故方程是椭圆型，

特征方程：

，

特征线为：

，，

令

则有

，，

，，

原方程变为

，

。

（7）。

解：

，故方程为双曲型。

特征方程：

，

特征线：

，。

令，

（1）

，

（2）

则，

，

，

，

方程成为

，

即

，

（3）

（1）+

（2）有

代入

（1）由

2．简化下列常系数方程：

（1）。

解：

试作函数变换，其中和是待定常数，于是

以此代入原方程，约去公共因子后得：

令，，即，则一阶偏导数和的项消去，方程简化为：

（2）

解：

与

（1）题一样，试作函数变换，并以，，，及代入原方程，约去公共因子后得：

如令则项被消去，如要项也被消去，则必须

，

即，即，即该常微分方程简化为

（3）

解：

作函数变换，并以，，及代入原方程，约去公共因子后得

如令，则项消失；如要项也消去，则必须，即才可能。

所以，作出函数变换后，方程简化为

（4）。

解：

作函数变换，并以，，及代入原方程，约去公共因子后得：

如令，，即则方程简化为

（5）

解：

如直接作函数变换，该方程不能化简，所以，必须先作自变量的变换先消去项，然后再作函数变换，消去，项才行。

（i）因为，该方程为椭圆型，其特征方程是：

，

即和

特征线为：

，

令，，，

则，

，，

方程成为

即。

（ii）对上式作进一步化简，令，

，，

，，

取，代入上式，则原方程简化为：

，

其中，

代回原来变量

∴