07第七节 利用三角形全等测距离.docx

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07第七节利用三角形全等测距离

第七节利用三角形全等测距离

第十二课时

●课题

§5.7利用三角形全等测距离

●教学目标

（一）教学知识点

利用三角形全等解决实际问题.

（二）能力训练要求

1.能利用三角形全等解决实际问题.体会数学与实际生活的联系.

2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.

（三）情感与价值观要求

1.通过生动、有趣、现实的例子来激发学生的学习兴趣.

2.在活动中让学生体会数学来源于实际，又服务于实际.

●教学重点

三角形全等的应用.

●教学难点

三角形全等的应用.

●教学方法

分组讨论法.

●教具准备

投影片三张

第一张：

故事及问题（记作投影片§5.7A）

第二张：

想一想（记作投影片§5.7B）

第三张：

叔叔的主意（记作投影片§5.7C）

●教学过程

Ⅰ.巧设现实情景，引入新课

［师］前面我们学习了全等三角形的性质及判定条件.现在大家来回忆一下：

（1）全等三角形的性质有哪些？

（2）全等三角形的判定条件有哪些？

［生甲］全等三角形的对应边、对应角相等.

［生乙］全等三角形的判定条件有：

边边边、角边角、角角边、边角边.即：

三边对应相等的两个三角形全等.

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

［师］很好，在生活中也经常应用全等三角形来解决一些问题.下面是一位经历过战争的老人讲述的一个故事.（出示投影片§5.7A）

在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出这样一个办法.他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.

简易图如下：

图5－155

（1）按这个战士的方法，找出教室中与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.

（2）你能解释其中的道理吗？

［师］现在我们来分组活动：

按这位战士的方法，找出教室中与你距离相等的两个点.

在活动时，可用一张纸或一个本代替帽檐，先确定好一个目标，再调整“帽檐”，使视线通过“帽檐”望去时恰好落在目标上，然后保持“帽檐”不动，转过一个角度再望出去，视线所落的位置即为第二个目标.最后大家利用步测等方法测出两个目标与你的距离.验证这位战士做法的合理性.

（学生分组活动，教师指导）

［师］同学们找到与你距离相等的两个点了吗？

［生齐声］找到了.

［师］很好，你能解释其中的道理吗？

［生甲］在这里实际应用了三角形的全等的条件及性质.

［生乙］这个问题可用图5－156来表示:

图5－156

AC、A′C′表示某一个人站的位置，点B、点B′分别表示第一目标、第二目标.则：

△ABC≌△A′B′C′

BC=B′C′

［师］很好，由此可以看到：

这位战士测距离时用到了三角形全等.三角形全等在实际生活中应用较广泛.我们这节课就来研究利用三角形全等测距离.

Ⅱ.讲授新课

［师］下面我们来想一想，做一做（出示投影片§5.7B）

图5－157

如图5－157，A、B两点分别位于一个池塘的两端.小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，你能帮他想个办法吗？

［师］大家分组来讨论一下.

……

［师］好，看看一位叔叔帮他出的主意（出示投影片§5.7C）

图5－158

如图5－158，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B间的距离.

［师］你能说明其中的道理吗？

［生甲］因为AD与BE相交于点C，所以∠ACB与∠DCE是对顶角.从而有∠ACB=∠DCE.又因为CD=AC、CE=CB，所以由“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”可得：

△ABC≌△DEC.由“全等三角形的对应边相等”可以得到：

AB=DE即DE的长度就是A、B间的距离.

［生乙］还可以用下列格式表明：

△ABC≌△DEC

AB=DE.

［生丙］如图5－159所示因为有两边及其夹角对应相等，所以：

△ABC与△DEC全等，这样AB就等于DE.

图5－159

［师］同学们解释的理由很清楚.由此我们了解到：

要测量无法直接得到的两个点之间的距离时，常常来构造三角形全等.从而得到所要的距离.下面我们来做一练习，以进一步熟悉掌握三角形全等的性质及判定条件.

Ⅲ.课堂练习

（一）课本P152习题5.122

2.我们还有另一种方法可以解决本节的“想一想”中的问题：

如图5－160所示：

图5－160

要测量A、B间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再过D点作出BF的垂线DG，并在DG上找一点E，使A，C，E在一条直线上.这时测得的DE的长就是A、B间的距离，你能说出这是为什么吗？

小颖是这样思考的：

△ABC≌△EDC

AB=ED.

你知道每一步的理由吗？

答案：

（学生用自己的语言叙述理由.）

小颖思考过程每一步的依据是：

两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

全等三角形的对应边相等.

（二）看课本P150~151，然后小结.

Ⅳ.课时小结

本节课我们主要利用了三角形的全等解决了实际问题，从中知道了数学与实际生活的联系.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P152习题5.121

（二）1.预习内容：

P153~155

2.预习提纲

（1）直角三角形全等的条件是什么？

（2）总结直角三角形全等的条件.

Ⅵ.活动与探究

请你找两个被建筑物隔开的物体，然后想办法测量这两个物体之间的距离.并说明利用什么数学知识.

［过程］通过室外活动，使学生进一步了解利用数学知识来解决实际问题.体会数学与实际生活的联系.

［结果］主要是利用构造三角形全等来测量距离.

●板书设计

§5.7利用三角形全等测距离

一、想一想：

△ABC≌△DEC

AB=DE

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

四、作三角形与利用三角形全等测距离

班级：

姓名：

作业导航

利用基本作图法作符合某种条件的三角形，根据全等三角形的性质测算距离.

一、填空题

1.我们可以用尺规作出符合下列条件的三角形（任举三例）

①__________

②__________

③__________

2.利用全等三角形测距离，其理论依据是.

3.如图1，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，若BD=2，DE=3，则DC=_____.

图1

4.在△ABC和△ADC中，给出下列三个论断，①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，将其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，构成一个命题，请按要求写出一个正确的命题.

二、选择题

5.已知△ABC，M为AB的中点，下列基本作图的叙述中正确的是（）

A.过A作AD∥BC交CM的延长线于N点

B.过点C作AB的垂直平分线

C.连结CM使CM⊥AB

D.连结CM使CM平分∠ACB

三、解答题

6.先用目测的方法画出草图，再用工具作出符合下列条件的三角形.

①画△ABC，使∠B=60°，AB=3cm，BC=4cm;

②画等腰△ABC，使底边BC=3cm，高AD=4cm.

7.按要求作出下列三角形

①已知一腰和一顶角；

②已知一直角边与斜边作等腰直角三角形；

③已知两条直角边作直角三角形；

④已知锐角α、线段a，求作△ABC使∠A=α，∠C=90°，AB=a;

⑤已知线段a,h，求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.

*8.如图2，A、B两点被一座小山隔开，现有皮尺若干，请你用所学过的几何知识设计一种方法，求出A、B两点之间的距离（简要说明设计方法和理由）.

图2

参考答案

一、1.①已知三角形的两边及其夹角②已知三角形的两角及其夹边③已知三角形的三条边

2.全等三角形的对应边相等3.5

4.由AB=AD，∠BAC=∠DAC得BC=DC

二、5.A

三、6.略7.略*8.略

●备课资料

参考练习

1.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图5－161）.判定△EDC≌△ABC的理由是

图5－161

A.边角边公理B.角边角公理

C.边边边公理D.斜边直角边公理

答案：

B

2.如图5－162，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？

图5－162

答案：

要测量A、B间的距离，可用如下方法：

（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，根据“角边角公理”可知：

△EDC≌△ABC.因此：

DE=AB.即测出DE的长就是A、B之间的距离.（如图5－163）

图5－163

图5－164

（2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过点D作DE∥AB，使A、C、E在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则DE=AB.即DE的长就是A、B间的距离.（如图5－164）

7.利用三角形全等测距离（5分钟练习）

某单位为了丰富职工的业余文化生活，决定在广场放映露天电影，小明和小强吃过晚饭手拉手来到广场，准备看电影，可小明非要在背面看，于是小强在正面，小明在背面，如图，如果他俩眼睛在同一水平面上，而且看同一点时视线与水平线夹角相等.利用三角形全等，能判断他俩距屏幕一样远吗？

思考：

结果为：

___________.

证明：

如图：

∠OAC=∠OBC

∵OC⊥AB

∴∠ACO=______=90°

在△OAC和△OBC中：

∠OAC=∠OBC

∠ACO=______

OC=______

∴△OAC≌△OBC，理由（）.

因此判断他们距屏幕的距离_________.

7.利用三角形全等测距离

一样远∠BCO∠BCOOCAAS一样远

7.利用三角形全等测距离（15分钟练习）

一、教室里有几盆花，要想测这几盆花两旁的点A、B的距离不方便，因此，选一点A、B都能达到的点O，连结BO并延长BO到C，作CO=BO，连结AO并延长AO到D，使DO=AO.那么CD的距离就是A、B两点间的距离.

∴△COD≌△BOA（）

∴CD=_________.

∴只要测出CD两点间的距离就可知AB两点间距离.

图1

二、某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头A、B间的距离，于是工作人员在岸边A、B的垂线AF上取两点E、D，使ED=AE.再过D点作出AF的垂线OD，并在OD上找一点C，使B、E、C在同一直线上，这时测得CD长就是AB的距离.

图2

∴△ABE≌△DCE（）

∴AB=CD

三、有一个工厂制造一种工件，要想保证质量，必须测量工件内横的宽度.工件如图，因为直接测量非常难，因此工人师傅用一种内卡钳就可以测出工件内径，你能说出内卡钳是如何制作的吗？

它应满足的条件是_________.

这种工具测量原理是利用三角形全等，把不能直接度量的物件“移”到可以直接度量的位置来度量，请根据你所填的条件证明它的正确.

图3

7.利用三角形全等测距离

一、SASAB

二、∠CDEASA

三、CO=BODO=AO