通用版高考数学一轮复习210对数函数讲义文.docx

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通用版高考数学一轮复习210对数函数讲义文

第十节对数函数

一、基础知识批注——理解深一点

1．对数函数的概念

函数y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）.

y＝logax的3个特征

（1）底数a>0，且a≠1；

（2）自变量x>0；

（3）函数值域为R.

2．对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象与性质

底数

a>1

0

图象

性质

定义域：

（0，＋∞）

值域：

R

图象过定点（1,0），即恒有loga1＝0

当x>1时，恒有y>0；

当0

当x>1时，恒有y<0；

当00

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

注意

当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0

3．反函数

指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

二、常用结论汇总——规律多一点

对数函数图象的特点

（1）对数函数的图象恒过点（1,0），（a,1），，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．

（2）函数y＝logax与y＝logx（a>0，且a≠1）的图象关于x轴对称．

（3）当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0

三、基础小题强化——功底牢一点

（1）函数y＝log2（x＋1）是对数函数．（　　）

（2）当x＞1时，logax＞0.（　　）

（3）函数y＝ln与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同．（　　）

（4）若logam

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

（二）选一选

1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga（－x）的图象可能是（　　）

解析：

选B　函数y＝loga（－x）的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.

2．函数y＝lg|x|（　　）

A．是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增

B．是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减

C．是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递减

D．是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递增

解析：

选B　y＝lg|x|是偶函数，由图象知在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．

3．设a＝log23，b＝log

3，c＝3－2，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c　　　　　　　B．b＞a＞c

C．a＞c＞bD．c＞b＞a

解析：

选C　因为a＝log23＞1，b＝log

3＜0，c＝3－2＝＞0，但c＜1，所以b＜c＜a.

（三）填一填

4．函数y＝的定义域为________．

解析：

要使函数有意义，须满足

解得

答案：

5．函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过的定点是________．

解析：

当x＝2时，函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的值为2，所以图象恒过定点（2,2）．

答案：

（2,2）

[典例]　

（1）函数y＝lg|x－1|的图象是（　　）

（2）已知当0

[解析]　

（1）因为y＝lg|x－1|＝

当x＝1时，函数无意义，故排除B、D.

又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．

（2）若

由图象知

所以

解得

即实数a的取值范围是.

[答案]　

（1）A　

（2）

[变透练清]

1.若本例

（1）函数变为f（x）＝2log4（1－x），则函数f（x）的大致图象是（　　）

解析：

选C　函数f（x）＝2log4（1－x）的定义域为（－∞，1），排除A、B；函数f（x）＝2log4（1－x）在定义域上单调递减，排除D.故选C.

2．已知函数f（x）＝关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

解析：

问题等价于函数y＝f（x）与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1.

答案：

（1，＋∞）

3.若本例

（2）变为不等式x20，且a≠1）对x∈恒成立，求实数a的取值范围．

解：

设f1（x）＝x2，f2（x）＝logax，要使x∈时，不等式x2

＝x2在上的图象在f2（x）＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；

当0

要使x2

所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a<1.

即实数a的取值范围是.

[解题技法]

利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧

（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想．

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

[口诀归纳]

指对函数反函数，图象夹着对称轴；

图象均有渐进线，牢记轴上特殊点．

考法

（一）　比较对数值的大小

[典例]　（2018·天津高考）已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log

，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＞b＞c　　　　　　B．b＞a＞c

C．c＞b＞aD．c＞a＞b

[解析]　因为c＝log

＝log23>log2e＝a，

所以c＞a.

因为b＝ln2＝＜1＜log2e＝a，所以a＞b.

所以c＞a＞b.

[答案]　D

[解题技法]

比较对数值大小的常见类型及解题方法

常见类型

解题方法

底数为同一常数

可由对数函数的单调性直接进行判断

底数为同一字母

需对底数进行分类讨论

底数不同，真数相同

可以先用换底公式化为同底后，再进行比较

底数与真数都不同

常借助1,0等中间量进行比较

考法

（二）　解简单对数不等式

[典例]　已知不等式logx（2x2＋1）

[解析]　原不等式⇔①或②，解不等式组①得

[答案]　

[解题技法]　求解对数不等式的两种类型及方法

类型

方法

logax＞logab

借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论

logax＞b

需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解

[提醒]　注意对数式的真数大于零，且不等于1.

考法（三）　对数型函数性质的综合问题

[典例]　已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3），若f

（1）＝1，求f（x）的单调区间．

[解]　因为f

（1）＝1，所以log4（a＋5）＝1，

因此a＋5＝4，a＝－1，

这时f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）．

由－x2＋2x＋3>0，得－1

函数f（x）的定义域为（－1,3）．

令g（x）＝－x2＋2x＋3，

则g（x）在（－1,1）上单调递增，在（1,3）上单调递减．

又y＝log4x在（0，＋∞）上单调递增，

所以f（x）的单调递增区间是（－1,1），单调递减区间是（1,3）．

[解题技法]

求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤

一求

求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论

二判

判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况

判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性

[题组训练]

1．已知a＝2

，b＝log2，c＝log

，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a>b>cB．a>c>b

C．c>a>bD．c>b>a

解析：

选C　0

<20＝1，b＝log2

＝log23>1，∴c>a>b.

2．若定义在区间（－1,0）内的函数f（x）＝log2a（x＋1）满足f（x）>0，则实数a的取值范围是（　　）

A.B.

C.D．（0，＋∞）

解析：

选A　∵－10，∴0<2a<1，∴0

3．已知a>0，若函数f（x）＝log3（ax2－x）在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．

解析：

要使f（x）＝log3（ax2－x）在[3,4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，且y＝ax2－x>0恒成立，即解得a>.

答案：

A级——保大分专练

1．函数y＝的定义域是（　　）

A．[1,2]　　　　　　　　　B．[1,2）

C.D.

解析：

选C　由

即解得x≥.

2．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数，且f

（2）＝1，则f（x）＝（　　）

A．log2xB.

C．log

xD．2x－2

解析：

选A　由题意知f（x）＝logax（a>0，且a≠1）．

∵f

（2）＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f（x）＝log2x.

3．如果log

x

y<0，那么（　　）

A．y

C．1

解析：

选D　∵log

x

y

1，∴x>y>1.

4．（2019·海南三市联考）函数f（x）＝|loga（x＋1）|（a>0，且a≠1）的大致图象是（　　）

解析：

选C　函数f（x）＝|loga（x＋1）|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的x，均有f（x）≥0，结合对数函数的图象可知选C.

5．（2018·惠州调研）若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．b>c>aB．b>a>c

C．c>a>bD．a>b>c

解析：

选D　依题意，得a>1,01，得c<0，故a>b>c.

6．设函数f（x）＝loga|x|（a>0，且a≠1）在（－∞，0）上单调递增，则f（a＋1）与f

（2）的大小关系是（　　）

A．f（a＋1）>f

（2）B．f（a＋1）

（2）

C．f（a＋1）＝f

（2）D．不能确定

解析：

选A　由已知得0f

（2）．

7．已知a>0，且a≠1，函数y＝loga（2x－3）＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f（x）的图象上，则f（x）＝________.

解析：

设幂函数为f（x）＝xα，因为函数y＝loga（2x－3）＋的图象恒过点P（2，），则2α＝，所以α＝，故幂函数为f（x）＝x

.

答案：

x

8．已知函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的图象过两点（－1,0）和（0,1），则logba＝________.

解析：

f（x）的图象过两点（－1,0）和（0,1）．

则f（－1）＝loga（－1＋b）＝0，

且f（0）＝loga（0＋b）＝1，

所以即所以logba＝1.

答案：

1

9．（2019·武汉调研）函数f（x）＝loga（x2－4x－5）（a>1）的单调递增区间是________．

解析：

由函数f（x）＝loga（x2－4x－5），得x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.令m（x）＝x2－4x－5，则m（x）＝（x－2）2－9，m（x）在[2，＋∞）上单调递增，又由a>1及复合函数的单调性可知函数f（x）的单调递增区间为（5，＋∞）．

答案：

（5，＋∞）

10．设函数f（x）＝

若f（a）＞f（－a），则实数a的取值范围是________________．

解析：

由f（a）＞f（－a）得

或

即或

解得a＞1或－1＜a＜0.

答案：

（－1,0）∪（1，＋∞）

11．求函数f（x）＝log2·log（2x）的最小值．

解：

显然x>0，∴f（x）＝log2·log（2x）＝log2x·log2（4x2）＝log2x·（log24＋2log2x）＝log2x＋（log2x）2＝2－≥－，当且仅当x＝时，有f（x）min＝－.

12．设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f

（1）＝2.

（1）求a的值及f（x）的定义域；

（2）求f（x）在区间上的最大值．

解：

（1）∵f

（1）＝2，∴loga4＝2（a＞0，且a≠1），∴a＝2.

由得－1＜x＜3，

∴函数f（x）的定义域为（－1,3）．

（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）

＝log2[（1＋x）（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]，

∴当x∈（－1,1]时，f（x）是增函数；

当x∈（1,3）时，f（x）是减函数，

故函数f（x）在上的最大值是f

（1）＝log24＝2.

B级——创高分自选

1．已知函数f（x）＝logax（a>0，且a≠1）满足f>f，则f>0的解集为（　　）

A．（0,1）B．（－∞，1）

C．（1，＋∞）D．（0，＋∞）

解析：

选C　因为函数f（x）＝logax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上为单调函数，而<且f>f，所以f（x）＝logax在（0，＋∞）上单调递减，即00，得0<1－<1，所以x>1，故选C.

2．若函数f（x）＝loga（a>0，且a≠1）在区间内恒有f（x）>0，则f（x）的单调递增区间为________．

解析：

令M＝x2＋x，当x∈时，M∈（1，＋∞），f（x）>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，

又M＝2－，

因此M的单调递增区间为.

又x2＋x>0，所以x>0或x<－，

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）．

答案：

（0，＋∞）

3．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝log

x.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x2－1）>－2.

解：

（1）当x<0时，－x>0，则f（－x）＝log

（－x）．

因为函数f（x）是偶函数，

所以f（x）＝f（－x）＝log

（－x），

所以函数f（x）的解析式为f（x）＝

（2）因为f（4）＝log

4＝－2，f（x）是偶函数，

所以不等式f（x2－1）>－2转化为f（|x2－1|）>f（4）．

又因为函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－

即不等式的解集为（－，）．