人教版九年级上册 圆 全章教案.docx

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人教版九年级上册圆全章教案

24.1.1圆

（综合课）

一、教学目标

1、知识技能

探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别．2、情感态度

在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．

3、重点圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．

难点圆的运动式定义方法

二、【教学过程】

1、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动1：

如图1，观察下列图形，从中找出共同特点．

学生活动设计：

学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．

2、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神

活动2：

如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

（课件：

画圆）

学生活动设计：

学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆．

圆：

在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆；

圆心：

固定的端点叫作圆心；

半径：

线段OA的长度叫作这个圆的半径．

圆的表示方法：

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

同时从圆的定义中归纳：

（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

于是得到圆的第二定义：

所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．

活动3：

讨论圆中相关元素的定义．如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？

学生活动设计：

学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．

教师活动设计：

在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决．

弦：

连接圆上任意两点的线段叫作弦；

直径：

经过圆心的弦叫作直径；

弧：

圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；

弧的表示方法：

以A、B为端点的弧记作

，读作“圆弧AB”或“弧AB”；

半圆：

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．

优弧：

大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的

；

劣弧：

小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的

．

活动4：

讨论，车轮为什么做成圆形？

如果做成正方形会有什么结果？

（课件：

车轮；课件：

方形车轮）

学生活动设计：

学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨论，最后进行交流．

活动5：

如何在操场上画一个半径是5m的圆？

说出你的理由

师生活动设计：

教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所要的圆．

活动6：

从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，这棵红杉树平均每年半径增加多少？

师生活动设计：

首先求出半径，然后除以20即可．解答〕树干的半径是23÷2＝11．5（cm）．平均每年半径增加11．5÷20＝0．575（cm）．

4、归纳小结、布置作业

小结：

圆的两种定义以及相关概念．

作业：

请做一个正方形的车轮，体会在车轮滚动的过程中车身的情况．

24．1．2垂直于弦的直径

（综合课）

一、教学目标

1、知识技能

探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；

能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．

2、情感态度

使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是科学态度和积极参与的主动精神．

3、重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．

难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．

二、教学过程设计

（一）创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动1：

用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？

由此你能得到什么结论？

（课件：

探究圆的性质）

学生活动设计：

学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

教师活动设计：

在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．

二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神

活动2：

按下面的步骤做一做：

第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；

第二步，得到一条折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；

第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．

在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?

为什么？

（课件：

探究垂径定理）

学生活动设计：

如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，

与

重合．因此AM=BM，

=

，同理得到

．

教师活动设计：

在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：

（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

活动3：

如图3，

所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4m，弦AB=16m，求此圆的半径．

学生活动设计：

学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．

教师活动设计：

在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：

弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．

〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R－4，AD=8，在Rt△ADO中，

，

即

．解得R＝10（m）．答：

此圆的半径是10m．

活动4：

如图4，已知

，请你利用尺规作图的方法作出

的中点，说出你的作法．

师生活动设计：

根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．

〔解答〕1．连接AB；2．作AB的中垂线，交

于点C，点C就是所求的点．

三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识．

活动5解决下列问题

1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：

这艘船是否能够通过这座拱桥？

说明理由．

学生活动：

学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．

〔解答〕如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到

OC⊥AB，OC⊥GF，根据勾股定理容易计算OE=1．5米，OM=3．6米．

所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥．

2．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

师生活动设计：

让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．

如图8所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，

则AE=

AB=30cm．令⊙O的半径为R，则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．

在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+（R-10）2．解得R=50cm．

修理人员应准备内径为100cm的管道．

四、归纳小结、布置作业

小结：

垂直于弦的直径的性质，圆对称性．

作业：

第88页练习，习题24．1第1题，第8题，第9题．

24．1．3弧、弦、圆心角

一、教学目标

知识技能

通过探索理解并掌握:

（1）圆的旋转不变性；

（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理；

情感态度

培养学生积极探索数学问题的态度及方法．

教学重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．

教学难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

二、教学过程设计

（一）、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动11.按下面的步骤做一做：

（1）在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；

（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．

注意：

在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

（3）将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?

同学们互相交流一下，说一说你的理由．

师生活动设计：

教师叙述步骤，同学们一起动手操作．由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知

．

在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以

和

重合，弦AB与弦A′B′重合，即

，AB=A′B′．进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：

在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．

师生活动设计：

本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．

二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理．

活动2：

1．如图2，在⊙O中，

，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC．

学生活动设计：

学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由

，得到

，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．

教师活动设计：

这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法．

〔证明〕∵

∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．

又∠ACB＝60°，

∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA．

∴∠AOB=∠AOC=∠BOC．

2．如图3，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．

图3

学生活动设计：

学生分析，由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到∠BOD＝

×180°＝120°．

教师活动设计：

此问题的解决方式和活动3类似，不过要注意学生对辅助线OC的理解，添加辅助线OC的原因．

三、拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力

活动3：

定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？

为什么？

师生活动设计：

小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．

图4

如图4所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．

教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．

四、归纳小结、布置作业活动4：

小结：

弦、圆心角、弧三量关系．

作业：

课本第90页练习2．习题24．1第2、3题，第10题

24.1.4圆周角

一、教学目标

知识技能

1．了解圆周角与圆心角的关系．

2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．

3．能运用圆周角的性质解决问题．

情感态度

引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．

教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．

教学难点发现并论证圆周角定理．

二、教学过程：

（一）情景引入

问题1如图：

同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（

和

）有什么关系？

问题2如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（

和

）和同学乙的视角相同吗？

［活动2］问题1同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？

问题2同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？

［活动3］

问题1在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？

（课件：

折痕与圆周角的关系）

问题2当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？

问题3另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？

［活动4］问题1半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？

（课件：

圆周角定理推论）

问题290°的圆周角所对的弦是什么?

问题3在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？

∠ABC=30°∠A’B’C’=30°

问题4在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？

为什么？

问题5

如图，点

、

、

、

在同一个圆上，四边形

的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？

问题6如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．

［活动5］问题通过本节课的学习你有哪些收获？

布置作业．

1．阅读作业：

阅读教科书90页至93页的内容．

2．巩固作业：

教科书94页习题24．1第2、3、4、5题．

24.2.2直线和圆的位置关系

一、教学目标

知识技能

1.探索并了解直线和圆的位置关系．

2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系．

3．能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系．

情感态度

学生经过观察、实验、发现、确认等数学活动，在探索直线和圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感．

重点探索并了解直线和圆的位置关系．

难点掌握识别直线和圆的位置关系的方法．

二、教学过程

问题与情境

活动1

（1）“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？

（2）观察用钢锯切割钢管的过程，抽象成几何图形间的位置关系.

活动2请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？

公共点个数最少时有几个？

最多时有几个？

活动3问题：

（1）能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？

（2）是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系？

活动4

（1）应用例已知：

如图所示，∠AOB=30°，P为OB上一点，且OP=5cm，以P为圆心，以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？

为什么？

①R=2cm；②R=2.5cm；③R=4cm．

（2）练习

活动5小结这节课我们主要研究了直线和圆的三种位置关系和识别直线和圆的位置关系的方法，你有哪些收获？

24.2.3圆和圆的位置关系

一、教学目标

知识技能

1．探索并了解圆和圆的位置关系．

2．探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系．

3．能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题．

情感态度

学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索两圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感．

重点探索并了解圆和圆的位置关系．

难点探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系．

二、教学过程设计

问题与情境

活动1问题

（1）点和圆有几种位置关系？

如何识别？

（2）直线和圆有几种位置关系？

如何识别？

（3）两个圆的位置关系又如何呢？

活动2观察两个半径不同的⊙O1、⊙O2，固定其中一个而移动另一个的过程中，会出现的几种不同位置关系．

（1）根据观察，请你摆出⊙O1和⊙O2的几种不同的位置关系；

（2）你能否根据两圆公共点的个数类比直线和圆的位置关系定义，给出两圆位置关系的定义？

活动3探究

（1）请你根据圆和圆的位置关系，猜测出两圆的圆心距与两圆半径之间的数量关系，利用刻度尺进行测量，验证你的猜想．

（2）圆是轴对称图形，两个圆是否也组成轴对称图形呢？

如果能组成轴对图形，那么对称轴是什么？

活动4问题1

（1）教科书图24.2-16，⊙O的半径5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm，以P为圆心作一个圆与⊙O外切，这个圆的半径是多少？

以P为圆心作一个圆与⊙O内切呢？

（2）⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，设d=O1O2，

①当d=9时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___；

②当d=8时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___；

③当d=5时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___；

④当d=2时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___；

⑤当d=1时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___；

⑥当d=0时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___.

（3）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4和5，如果⊙O1与⊙O2外切，那么O1O2=.

（4）已知两圆半径分别为3和7，如果两圆相交，则圆心距d的取值范围是_______；如果两圆外离，则圆心距d的取值范围是______.

（5）在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是.

活动5小结这节课我们主要研究了圆和圆的位置关系，你有哪些收获？

布置作业教科书习题14.3第1、4、6题．

24．3正多边形和圆

一、教学目标

知识技能

1．了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．

2．在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．

情感态度

学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的．

重点探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．

难点探索正多边形与圆的关系．

[教学过程设计]

问题与情境

[活动1]观看下列美丽的图案．

问题1这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？

问题2你知道正多边形和圆有什么关系吗？

你能借助圆做出一个正多边形吗？

[活动2]问题1将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？

如果是请你证明这个结论．

问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？

问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？

各角相等的圆内接多边形呢？

如果是，说明为什么？

如果不是，举出反例．

[活动3]学生观看课件，理解概念．

例题1有一个亭子（如图）它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m2）．

例题2完成教材第117页习题24．3第1题．

[活动4]小节学完这节课你有哪些收获？

布置作业1．教科书第117页习题24．3第3、5、6题．

2：

正n边形的一个内角的度数是多少？

中心角呢？

正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

问题2正n边形的半径，边心距，边长又有什么关系？

24.4弧长和扇形面积

一、教学目标

1、理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算；

2、经历用类比、联想的方法探索公式推导过程，培养学生的数学应用意识，分析问题和解决问题的能力。

3、通过联系和运动发展的观点，渗透辩证唯物主义思想方法。

二、教学重难点

重点：

弧长公式和扇形面积公式的推导及公式的应用。

难点：

运用公式计算组合图形面积。

3、教学过程

（一）、温故知新:

1.圆的周长公式是。

2.圆的面积公式是。

3.什么叫弧长?

（二）、自主学习:

自学教材P120----P121,思考下列内容:

1、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧.

1°的圆心角所对的弧长是_______。

2°的圆心角所对的弧长是_______。

4°的圆心角所对的弧长是_______。

n°的圆心角所对的弧长是_______。

2、什么叫扇形?

3、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积;

设圆的半径为R,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

设圆的半径为R,2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

设圆的半径为R,5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

设圆的半径为R,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

4、比较扇形面积公式和弧长公式,如何用弧长表示扇形的面积?

（三）、典型例题:

例1、（教材121页例1）

例2:

如图,已知扇形AOB的半径为10,∠AOB=60°,求的长（结果精确到0.1）和扇形AOB的面积结果精确到0.1）

（四）、巩固练习:

1、教材122页练习第1题,2、教材122页练习第2题,3、习题24.4第1题填空。

（答案写在教材上）

五、【拓展创新】

1、（2008临沂）如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,以A为圆心,AD为半径的圆与BC切于点M,与AB交于点E,若AD=2,BC=6,则的长为（）

A.B.C.D.

2、（2008江西南昌）如图,为的直径,于点,交于点,于点.

（1）请写出三条与有关的正确结论;

（2）当,时,求圆中阴影部分的面积.

【布置作业】:

教材124--125页,习题24.4第3、7题。

24.4圆锥的侧面积和全面积

一、教学目标