二次函数在闭区间的最值问题.docx

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二次函数在闭区间的最值问题

闭区间上二次函数的最值问题

一.定二次函数在定区间上的最值

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：

函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。

函数的最大值为，最小值为。

图1

例2.已知，求函数的最值。

解：

由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。

函数的最小值为，最大值为。

图2

解后反思：

已知二次函数（不妨设），它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。

由数形结合可得在[m，n]上的最大值或最小值：

（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。

（2）当时

若，由在上是增函数

则的最小值是，最大值是

若，由在上是减函数

则的最大值是，最小值是

二.动二次函数在定区间上的最值

二次函数随着参数a的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例3.已知，且，求函数的最值。

解：

由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：

二次函数的对称轴方程是

顶点坐标为，图象开口向上

由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。

函数的最小值是，最大值是。

图3

例4.已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a的值。

解：

将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a决定。

很明显，其顶点横坐标在区间上。

若，函数图象开口向下，如图4所示，当时，函数取得最大值5

即解得故

图4

若时，函数图象开口向上，如图5所示，当时，函数取得最大值5

即解得故

图5

综上讨论，函数在区间上取得最大值5时，

解后反思：

例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。

三.定二次函数在动区间上的最值

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例5.如果函数定义在区间上，求的最小值。

解：

函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图6所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有。

当时，函数取得最小值

。

图6

如图7所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。

当时，函数取得最小值：

。

图7

如图8所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。

当时，函数取得最小值

综上讨论，

图8

例6.设函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式。

解：

将二次函数配方得：

其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上

若顶点横坐标在区间左侧，则，即。

当时，函数取得最小值：

若顶点横坐标在区间上，则，即。

当时，函数取得最小值：

若顶点横坐标在区间右侧，则，即。

当时，函数取得最小值：

综上讨论，得

四.动二次函数在动区间上的最值

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

例7.已知，且当时，的最小值为4，求参数a的值。

解：

将代入S中，得

则S是x的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上。

若，即，则当时，，此时，，或

若，即，则当时，

此时，，或（因舍去）

综上讨论，参变数a的取值为，或，或

例8.已知，且当时，的最小值为1，求参变数a的值。

解：

将代入P中，得

则P是x的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上。

若，即

则当时，，此时，

若，即，则当时，

此时，，或（因舍去）

综上讨论，

解后反思：

例7中，二次函数的对称轴是变化的；例8中，二次函数的对称轴是固定的。

另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。

二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。