现代信号处理教程胡广书清华.docx
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现代信号处理教程胡广书清华
现代信号处理教程-胡广书（清华）
jt
t2gt，g，edqt2q
（4.4.2）
式中gt，由（4.3.7）式定义。
由（4.3.8）和（4.3.9）及上式结果，有Cxt，2
1
j
xu2xu2qtu2qtu2dued
，则上式变成
令
u2，u2
Cxt，
1jxxqtqtedd2
1jj
xqtedxqted（4.4.3）2
21
Xq
2
于是结论得证。
式中Xq是xt乘上窗函数qt后的傅立叶变换。
该式说明，如果
g，是某一函数的模糊函数，那么用此g，所得到的Cxt，等效于谱图。
因此，
谱图也是Cohen类成员。
2．P1，实值性，即Cx
t，R，t，，
Q１：
g，g，
证明：
由（4.1.1）式，
t，Cx
1
2
jtuxu2xu2g，eddud
令
，，则上式变为
t，Cx
1
2
jtu
xu2xu2g，eddud
显然，如要求
t，Cxt，，必有g，g，Cx
3、时移：
P2：
若
stxtt0，则Cst，Cxtt0，
111
Q2：
g，不决定于t
证明：
因为g4、频移：
，处于，域，和t无关，所以它不影响分布的时移性质；
若s
P3：
txtejt，则Cst，Cxt，0
Q3：
g，与无关
性质P2与P3称为Cohen类时－频分布的“移不变”性质，它包含了时移和频移。
5、时间边缘条件，即
12
Ct，dxtP4：
x
2
Q4：
g，01
证明：
将（4.1.1）式两边对积分，有
Cxt，d
1
2
jtu
xu2xu2g，eduddd
xu2xu2g，ejtududd xug，0ejtudud
2
欲使上式的积分等于
xt
2
，必有
欲使该式成立，必有
j（tu）
g（,0）ed2（tu）
01，也就是说，为保证Ct，具有WVD的边界性质，g，
x
g，在轴上始终为1。
6、频率边缘条件，即
P5：
Q5：
Cxt，dtX
g0，1
2
其证明请读者自己完成。
112
前已述及，为了有限的抑制AF中远离
，0， 0的互项，希望g，应为
，平面上的2－D低通函数。
但Q4和Q5要求g，在和轴上应为１。
这样，
如果AF中的互项正好落在轴或轴上，将得不到抑制。
7、瞬时频率与Cx
t，的关系，即
x
P6：
Ct，dt
Ct，d
i
x
Q6：
g，0Q4及
0
8、群延迟与Cx
t，的关系，即
x
P7：
g
tCt，dtCt，dt
x
Q7：
g，0 Q5及
0
我们已在3.2节证明了WVD和瞬时频率与群延迟的关系，此处的证明从略。
有关瞬时频率
定义的解释及瞬时频率的估计可参看文献[27,28]。
这是两篇详细讨论瞬时频率的论文。
9、时域支撑范围，即
P8：
Q8：
P9：
Q9：
若
ttc时，xt0，希望Cxt，0，对ttc
jt
g，ed02t
10、频域支撑范围，即
若
c时，X0，希望Cxt，0c
jg，ed02
现对P9和Q9作一简单的解释。
给定一个信号x
t，记其时－频分布为TFxt，。
假定xt在tt1和tt2的范围
113
内为零，若TFx
t，在tt1和tt2的范围内也为零，则称TFxt，具有弱有限时间
在1，2之外为零，若TFxt，在1，2也为零，
支撑性质。
同理，假定X则称TFx
t，具有弱有限频率支撑性质。
P8和P9指的是弱有限支撑。
t分段为零，TFxt，在xt为零的区间内也为零，则称TFxt，具有
t为零，在所对应的时间段内TFxt，
若信号x
强有限时间支撑性质。
强有限支撑的含义是：
只要x恒为零。
同理可定义强有限频率支撑。
由（4.3.7）式，Q8的要求是：
式中g
jt
g，edtgt，0，
对
2t
。
t，是时间域的核函数。
当该核函数在t，平面上在2t这一范围内为零
时，Cx
t，即具有弱有限时间支撑性质。
有关2t的由来见下一节的讨论。
Q10：
g，是，平面上的2－D低通函数。
10、P10：
减少交叉项干扰
减少交叉项干扰分布（ReducedInterferenceDistribution，RID）又称RID分布。
其核
函数有着其它的特殊性质，我们将在下一节进一步讨论。
4.5核函数对时－频分布中交叉项的抑制
我们在1.5节已给出了单分量信号和多分量信号的概念。
其区别是在任意固定的时刻，该信号的瞬时频率i
t是单值的还是多值的。
一个多分量信号又可表为单分量的和，即：
xtxkt
k1n
式中xi
（4.5.1）
t， k1，2，，n都是单分量信号，因此
xt2xt2
114
xkt2xt2xit2xjt2（4.5.2）
k1
i1j1
nnn
相应的时－频分布
Cxt，
Ct，Ct，（4.5.3）
k1
xk,xk
i1j1
xi,xj
nnn
同样也由自项和互项所组成。
互项即是交叉项，它是对真正时－频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。
减轻Cxt，中交叉项的一个有效途径是通过xt的模糊函数来实现。
由4.2节的讨论，xt的广义模糊函数：
Mx，式中
ju
Mxk,xk，g，xku2xku2edu（4.5.5）
M
k1
n
xk,xk
，Mx,x，
i1j1
i
j
nn
（4.5.4）
ju
Mxi,xj，g，xiu2xju2edu（4.5.6）
分别是AF的自项和互项。
我们在本章第二节的讨论中已指出，模糊函数的自项通过，平面的原点，互项远离，平面的原点，而AF中的互项又对应了时－频分布中的交叉项，这就为我们去除或抑制时－频分布中的交叉项提供了一个有效的途径。
即令核函数g，取，平面上的2-D低通函数。
由上节的讨论可知，为保证Cxt，具有时间及频率边缘条件性质，核函数g，应满足Q4和Q5，即在和轴上应恒为1，这也是设计核函数时必须考虑的要求。
当然，除了Q0难于满足外，Q1～Q10应尽量满足。
现举例说明核函数g，对交叉项的效果。
Choi－Willarms于文献[37]提出了一个指数核，即g，e
22
（4.5.7）
115
其相应的T－F分布称为指数分布（ED），由表4.3.1，它属于Cohen类。
显然，g0，01，
g0，g，01，且当和同时不为零时g，1。
式中为常数。
越大，自
项的分辨率越高，越小，对交叉项的抑制越大。
因此，的取值应在自项分辨率和交叉项的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。
若信号的幅度和频率变化得快，那应取较大的，反之取较小的。
的取值推荐在0.1～10之间。
当时，g，1，ED变成WVD，在这种情况下ED（即WVD）具有最好的分辨率，但交叉项也变得很大。
ED可以有效地抑制交叉项，但不能保证性质P8和P9。
ED对应的时域的核为
［13］
jt
gt，g
，e
d
22
t4（4.5.8）相应的时－频分布是CWxt，
t2
exp2xu2xu2ejdud（4.5.9）2
44
例4.5.1令xt由三个时－频“原子”组成，x1t和x2t具有相同的归一化频率（0.4），但具有不同的时间位置（分别是32和96）。
令x3t和x2t具有相同的时间位置，但归一化频率为0.1。
xt的时域波形如图4.5.1a所示，其理想的时－频分布如图4.5.1b所示。
其WVD如图4.5.1c所示。
可以看到，图c中存在着由这三个“原子”两两产生的共三个交叉项。
图4.5.1d是xt的模糊函数。
由该图可以看出，AF的自项位于中心，在轴和轴上各有两个互项，在第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的AF共有6个互项。
图4.5.1e是指数核g，exp
2
2的等高线图，它在原点最大，在轴和轴上恒为1。
改
变，可调节坐标轴两边两个等高线的距离。
越大，距离越大，反之距离越小。
g，的作用是抑制AF中的互项。
将图（d）和图（e）对应相乘，即g，Ax，，其结果示于图（f）。
显然，在第二和第四两个象限的互项已被去除，在轴和轴上的四个
互项在图中体现出来，但实际上也被抑制。
图4.5.1g是用ED求出的xt的时－频分布。
可以看出，这时的交叉项较之图4.5.1b的WVD，已大大减轻。
116
117
图4.5.1核函数g，对交叉项抑制的说明，该图由上及下分别为a~gCohen类分布的其它成员，所用g，对交叉项抑制的原理和上述过程大致相同。
4.6减少交叉项干扰的核的设计
除了我们在前面几节提到的Cohen类的各种时－频分布外，人们还希望能设计出其它更好的时－频分布。
为此，文献［76］给出了一个核设计的方法，现给以简单地介绍。
如果g，可以写成变量，的积的函数，即g，g
那么该核函数称为“积核”，在表4.3.1中，cos2，e核。
如果g，可以写成,各自函数的积，即g，g1g2（）
那么g，称为可分离的核。
对这一类核，其计步骤如下：
j2
，sinca及ED核都是积
118
步骤1设计一个基本函数ht，使之满足下述条件：
（a）ht有单位面积，即htdt1；
（b）ht为偶对称，即htht；（c）ht是时限的，即当t2时ht0。
（d）ht以t=0为中心向边际平滑减少，以保证ht含有较少的高频分量。
步骤2取ht的傅立叶变换，即Hhte
jt
dt
步骤3用代替H（）中的，得到积核函数
g，H（4.6.1）按照这种原则设计出的核g，，所对应的分布称为减少干扰分布，即RID。
RID主要强调如何抑制交叉项干扰，但同时也兼顾时－频分布的其它性质。
现考察一下这类核对表4.4.1的Q0～Q10的满足情况。
这类核对Q0无法保证满足，但对Q2，Q３是满足的。
这是因为由于（4.6.1）的g，中的和以乘积的形式出现，所以Q4g，同样和t，无关。
和Q5满足，因此条件（a）对应Q4和Q5。
由于由H得到的g，是实函数（ht偶对称），所以Q1满足，即条件（b）保证了Q1。
此外，若dHd存在，条件（b）也保证了Q6和Q7。
现在考察条件（c）。
现将（4.6.1）两边相对作傅立叶变换，即
g，e
jt
dgt，
jt
He
d
（4.6.2）
式中gt，即是（4.3.7）式的时域核。
按（4.6.2）式，H的傅立叶反变换对应的是
2ht。
按傅立叶变换的变量加权性质，有
119
jt
Hed
2t2thh（4.6.3）
t
2时，（4.6.2）式恒为零，也即2t时
条件（c）要求t2时ht0，即是当
jt
g，ed0。
这正是Q8，同理，条件（c）意味着Q9满足。
条件（d）的目的是用以减少交叉项干扰，即令g，是，平面的2－D低通函数，因此条件（d）满足Q10。
文献[74]考察了不同ht所对应的T－F分布形式，如果：
（1）若htt，那么g，1，对应的分布是WVD。
ht满足条件（a）、（b）和（c），但不满足（d），因此WVD不具备性质P10及相应的制约Q10
（2）若htt2t22，则g，cos2，对应Re［Rihaczek］分布，ht也只满足条件（a）～（c），不满足（d），所以该分布也和WVD一样，满足P1～P9，不满足P10及相应的制约Q10。
（3）若htt2，则g，e
j，此为复数核形式的Rihaczek分布，ht
满足条件（a）和（c），不满足条件（b）和（d），因此该分布只满足性质P2～P5和P8～P9。
（4）若ht1对t2，则g，g
2sin2
，对应Born－Jordn分布，
，所以该分布满足性质Pht满足条件（a）～（d）1～P10。
（5）若ht
2expt222，此ht对应Choi－Willams分布，ht满足
条件（a），（b）和（d），所以相应的T－F分布有性质P1～P7和P10。
由于（4）和（5）的ht对应的分布满足性质P10，所以它们属于减少干扰类（RID）分布。
现以Born－Jodan分布为例，说明这一设计方法的思路及所得到的核在四个域内的形状。
120
Born－Jodan（BJ）分布对应的ht1，对t2。
该ht满足上述（a）～（d）的四个条件。
由
Hhtejtdtsin22
sin2（4.6.4）2用代替，得BJ分布的核，即g，H
这是模糊域，的核函数。
其形状如图4.6.1（a）所示。
对应t，域，有
gt，g，ejtdHejtd
令，，则，利用傅立叶变换的定标性质，有
sin2jt12tedh2gt，
因为ht的存在区间是（2～2），所以上式中的取值范围是2t，考虑到ht是偶函数，有
2thtgt，（4.6.5）
02t
同理可得gt，在，域的表示形式，即
42
hG，（4.6.1）
02
gt，和G，的形状如图4.6.1（c）和（d）所示。
在各自的平面上它们的存在范围有着“蝴蝶结”似的形状。
由于（4.6.5）和（4.6.6）式的对称性。
二者的形状几乎相同。
由上面的导出过程可知，给定的ht只要满足条件（c）的时限性质，其在t，和121
，域的核的自变量的取值范围必然要受到（4.6.5）和（4.6.6）式的制约。
这也就是表
4.4.1中的制约Q8和Q9。
最后，g，在t，域的表示形式应是g，的2－D傅立叶变换，即
Gt，g，ejtdd
21
htejd（4.6.7）
其形状如图4.6.1（b）所示。
由于BJ分布使用的ht是在（2～12）内的矩形窗，所以g，是，平面的2－Dsinc函数，但在轴和轴上始终为1，因此可有效地抑制除、轴以外的交叉项。
对于其它属于RID的分布，其核函数在四个域内有着类似的形状。
122
图4.6.1BJ分布核函数在四个域内的形状
（a），域，（b）t，域，（c）t，域，（d），域
上面的讨论揭示了不同形式时－频分布的内在联系，给我们指出了一个设计较好的时－频分布的总的原则。
有关核的分析与设计还可参考文献[121]，有关时－频分布应用的例子请参考文献［2］。
前已述及，对性质P0，即时－频分布的恒正性，除谱图以外，目前对能否构造出既具有时频分布的意义（如性质P，同时又是恒正的分布，目前尚不知道，这一问题仍有待1～P10）
研究。
123
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