数学10大思维doc.docx

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数学10大思维doc

以下是我结合数学学科的特点，从众多的思维中归纳总结和提炼出来的10种数学思维，希望对家长在指导孩子学习时有所助益：

第一种转化思维第二种逻辑思维

第三种逆向思维第四种对应思维

第五种假设思维第六种类比思维

第七种创新思维第八种系统思维

第九种形象思维第十种灵感思维

转化思维——他山之石可以攻玉

●转化思维的现状

在小学数学教材中，以章和节形式出现的数学知识是明线，连接所有章和节的数学思想方法是暗线。

数数知识是学生学习的主要目标，也是评价学习好坏的重要依据。

数学思想方法是学生学习的调味品，由于不系统，老师水平参差不齐，学生学完后的感觉如同只见树木，不见森林，没有全局观。

小学阶段的数学知识点涵盖了计算、图形和实际应用三大类问题。

这三种问题中应用题最棘手。

其中一步应用题是属于最直白类型的，直接列算式写得数，而多步应用题往往不是直接通向问题的，它需要我们从给出的条件中得到新的信息，再逐步转化得到问题的最终答案。

很多学生失败也就在这里，看到陌生问题就放弃或直接求助于家长。

实际上，转化思维出了问题。

【例】：

用简便方法计算19×27＋190×5＋19×23

分析：

这题可看成是由3个小算式构成的大算式，且每个小算式中都是两个数相乘的形式，这种特点比较适用于乘法分配律的逆用。

要想逆用乘法分配律，3个算式中得有相同的数，而这个题中没有，所以先要转化。

解：

原式＝19×27＋19×10×5＋19×23

＝19×27＋19×50＋19×23

＝19×（27＋50＋23）

＝19×100

＝1900

●转化思维的定义

转化思维，是指在解决问题的过程中遇到障碍时，通过改变问题的方向，从不同的角度，在分析理解题意的基础上把问题转化成与它相近或对等的问题，寻求最佳方法，使问题变得更简单、更清晰。

【例】有黑白两种棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆，其中只有1枚白子的共27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆；有3枚白子与有3枚黑子的堆数相等。

那么在全部棋子中，白子共有多少枚？

分析：

（1）只有一枚白子的堆数＝有2枚黑子的堆数＝27

（2）有2枚或3枚黑子一共的堆数＝只有一枚白子与有0枚白子一共的堆数＝42，有0枚白子的堆数＝有3枚黑子的堆数＝42－27＝15

（3）有3枚白子的堆数＝有3枚黑子的堆数＝15

解：

有0枚白子的堆数＋有1枚白子的堆数＋有2枚白子的堆数＋有3枚白子的堆数＝100

有2枚白子的堆数＝100－15－27－15＝43（堆）

白子的枚数＝15×0＋27×1＋43×2＋15×3＝158（枚）

●转化思维的几个方面

1、要素与要素的转化

①数与数的转化：

这种转化方法在计算类型的题目中比较常见。

如在进行加减法巧算时，会用到一种看成整数的方法，这种方法只改变了原数的形式，在结果上面却是对等的。

在高年级，分数、小数的四则混合运算及巧算中，通常会出现分数与小数互化的情况。

【例】9999×2222＋3334×3333

题意理解：

（1）算式中没有相同的数，无法直接使用乘法分配律

（2）算式中9999与3333是3倍的关系

巧妙求解：

 原式＝3333×3×2222＋3334×3333

＝3333×6666＋3334×3333

＝3333×（6666＋3334）

＝3333×10000

＝33330000

②形与形的转化：

这种转化方法在解决图形问题时比较常见。

一般形与形的转化会涉及到的方法有：

三角形等底等高的性质，四边形中的等积变形、蝴蝶定理、燕尾定理的方法，圆形中的重叠法、旋转法、割补法等。

通过这些方法，能够很直观地把原来的图形转化成容易求的图形。

【例】如下图，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD的对角线相交于O，三角形AOE的面积比三角形BOD的面积小16平方厘米，梯形AEBD的面积是多少平方厘米？

题意理解：

（1）S正方形ABCD＝8×8＝64cm²AE∥BD

（2）S△BOD－S△AOE=16cm²

S△BOD＋S△AOD－（S△AOE＋S△AOD）＝16cm²

（3）S梯形AEBD＝S△AEB＋S△ABD

（4）通过分析，问题转化成求△AED与△ABD的面积和。

巧妙求解：

S△BOD－S△AOE=16cm²

S△ABD－S△AED=16cm²

S△ABD=8×8÷2=32cm²

S△AED=16cm²=S△AEB

S梯形AEBD=16+32=48cm²

③数与形的转化：

这种转化方法在解决行程问题时比较常见。

通过图形展示复杂的条件，通过数据进行周密的推理，最终达到解决问题的目的。

【例】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。

求A、B两地间的路程。

换个角度想一想：

画图把甲乙两车的运动过程形象化，求出甲车走的路程。

巧妙求解：

8×3＝240（千米）

240－60＝180（千米）

答：

A、B两地间的路程是180千米。

2、知识与知识的转化

①横向转化：

即知识点之间的迁移，这种转化方法在解决角度问题、按比例分配问题中较为常见。

【例】在下图中，∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F和∠G的度数和是多少？

题意理解：

（1）∠1＋∠2＋∠E＝∠3＋∠4＋∠F＝∠5＋∠6＋∠G＝∠7＋∠8＋∠A＝∠9＋∠10＋∠B＝∠11＋∠12＋∠C＝∠13＋∠14＋∠D＝180

（2）七边形QRSTMNP的内角和为：

180°×（7－2）＝900°

（3）∠1＝∠14∠2＝∠3∠4＝∠5∠6＝∠7∠8＝∠9∠10＝∠11∠12＝∠13

（4）∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝180°×7－（∠1＋……＋∠14）＝180°×7－2×（∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＋∠10＋∠12）

（5）通过分析，问题就转化成求∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＋∠10＋∠12的角度和。

巧妙求解：

七边形QRSTMNP的内角和＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠4＋180°－∠6＋180°－∠8＋180°－∠10＋180°－∠12＝180°×7－（∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＋∠10＋∠12）＝900° 即∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＋∠10＋∠12＝180°×7－900°＝360°

所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝180°×7－2×（∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＋∠10＋∠12）＝180°×7－2×360°＝540°

②纵向转化：

即对已知的条件进行深度分析，找出隐藏的信息。

这种转化方法在解决和差倍问题、盈亏问题、数论问题、物体的体积、抽屉问题、分数应用题方面比较常见。

【例】某校有20个班，平均每个班46人，老师让每个同学用1991这4个数字中的1个或几个任意写出一个自然数。

那么，至少有多少人写的数相同？

题意理解：

（1）学校一共有20×46＝920人。

（2）所有写出的自然数可以分成一位数、两位数、三位数和四位数

（3）通过分析，可以把列举出的自然数的个数看做抽屉，再根据抽屉原理进行解答。

巧妙求解：

用1991中的一个或几个任意写出的自然数可以分类为：

①一位数：

1、92个

②二位数：

11、99、19、914个

③三位数：

111、999、119、991、191、9196个

④四位数：

1991、1919、1199、9911、9191、91196个

不同的写法一共：

2＋4＋6＋6＝18（个）

把18种不同的写法看成18个抽屉，又920＝18×51＋2

所以，至少有52人写的数相同。

3、知识与实际的转化

①生活问题数学化：

即在生活问题的基础上建立一个数学模型，再用数学对应的方法去解决。

【例】某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售。

该公司加工该种蔬菜的能力是：

每天可以精加工4吨或粗加工8吨。

现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工？

题意理解：

（1）精加工天数＋粗加工天数＝16

（2）精加工吨数＋粗加工吨数＝104

巧妙求解：

设该公司安排X天粗加工，安排Y天精加工。

则：

X＋Y＝16

8X＋4Y＝104解得：

X＝10，Y＝6

答：

该公司安排10天粗加工，安排6天精加工。

②数学问题生活化：

即在生活中找到数学知识的源头，在生活中体验数学问题和道理的本质。

【例】解释什么是相遇问题。

①相遇问题的情境导入：

一个同学将同桌的作业不小心带回家了，怎么办？

贴近标题的解决方案：

打电话约好，两人同时从家出发。

②相遇问题的要素引入：

两位同学现场表演，说开始后，同时出发，最后相遇。

根据演示过程引导学生说出相遇路程是什么，两人行走的时间有什么关系。

③相遇路程的求法导入：

在线段图上标上两人的速度，引导先分步后综合求相遇路程，最后再总结相遇路程的公式。