09 一元二次方程及其应用.docx
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09一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
一、选择题
1.(2014•海南,第10题3分)某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降价的百分率都为x,那么x满足的方程是( )
A.
100(1+x)2=81
B.
100(1﹣x)2=81
C.
100(1﹣x%)2=81
D.
100x2=81
考点:
由实际问题抽象出一元二次方程.
专题:
增长率问题.
分析:
若两次降价的百分率均是x,则第一次降价后价格为100(1﹣x)元,第二次降价后价格为100(1﹣x)(1﹣x)=100(1﹣x)2元,根据题意找出等量关系:
第二次降价后的价格=81元,由此等量关系列出方程即可.
解答:
解:
设两次降价的百分率均是x,由题意得:
x满足方程为100(1﹣x)2=81.
故选B.
点评:
本题主要考查列一元二次方程,关键在于读清楚题意,找出合适的等量关系列出方程.
2.(2014•宁夏,第3题3分)一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是( )
A.x1=x2=1B.x1=1+
,x2=﹣1﹣
C.x1=1+
,x2=1﹣
D.x1=﹣1+
,x2=﹣1﹣
考点:
解一元二次方程-配方法.
专题:
计算题.
分析:
方程变形后,配方得到结果,开方即可求出值.
解答:
解:
方程x2﹣2x﹣1=0,变形得:
x2﹣2x=1,
配方得:
x2﹣2x+1=2,即(x﹣1)2=2,
开方得:
x﹣1=±
,
解得:
x1=1+
,x2=1﹣
.
故选C.
点评:
此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
3.(2014•陕西,第8题3分)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣
ax+a2=0的一个根,则a的值为( )x_k_b_1
A.1或4B.﹣1或﹣4C.﹣1或4D.1或﹣4
考点:
一元二次方程的解.
分析:
将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣
ax+a2=0,再解关于a的一元二次方程即可.
解答:
解:
∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣
ax+a2=0的一个根,
∴4+5a+a2=0,
∴(a+1)(a+4)=0,
解得a1=﹣1,a2=﹣4,
故选B.
点评:
本题主要考查了一元二次方程的解的定义,解题关键是把x的值代入,再解关于a的方程即可.
4.(2014•湖北黄冈,第6题3分)若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根,则α2+β2=( )
A.
﹣8
B.
32
C.
16
D.
40
考点:
根与系数的关系.
专题:
计算题.
分析:
根据根与系数的关系得到α+β=﹣2,αβ=﹣6,再利用完全平方公式得到α2+β2=(α+β)2﹣2αβ,然后利用整体代入的方法计算.
解答:
解:
根据题意得α+β=﹣2,αβ=﹣6,
所以α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=(﹣2)2﹣2×(﹣6)=16.
故选C.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:
若方程两个为x1,x2,则x1+x2=﹣
,x1•x2=
.
5.(2014•湖北荆门,第5题3分)已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根,则下面对α的估计正确的是( )
A.0<α<1B.1<α<1.5C.1.5<α<2D.2<α<3
考点:
解一元二次方程-公式法;估算无理数的大小.
分析:
先求出方程的解,再求出
的范围,最后即可得出答案.
解答:
解:
解方程x2﹣x﹣1=0得:
x=
,
∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根,
∴a=
,
∵2<
<3,
∴3<1+
<4,
∴
<
<2,
故选C.
点评:
本题考查了解一元二次方程,估算无理数的大小的应用,题目是一道比较典型的题目,难度适中.
6.(2014•攀枝花,第8题3分)若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β,那么下列说法不正确的是( )
A.
α+β=﹣1
B.
αβ=﹣1
C.
α2+β2=3
D.
+
=﹣1
考点:
根与系数的关系.
专题:
计算题.
分析:
先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1,αβ=﹣1,再利用完全平方公式变形α2+β2得到(α+β)2﹣2αβ,利用通分变形
+
得到
,然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值,这样可对各选项进行判断.
解答:
解:
根据题意得α+β=﹣1,αβ=﹣1.
所以α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=(﹣1)2﹣2×(﹣1)=3;
+
=
=
=1.
故选D.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:
若方程两个为x1,x2,则x1+x2=﹣
,x1•x2=
.
二、填空题
1.(2014•湖南永州,第10题3分)方程x2﹣2x=0的解为 x1=0,x2=2 .
考点:
解一元二次方程-因式分解法;解一元一次方程..
专题:
计算题.
分析:
把方程的左边分解因式得x(x﹣2)=0,得到x=0或x﹣2=0,求出方程的解即可.
解答:
解:
x2﹣2x=0,
x(x﹣2)=0,
x=0或x﹣2=0,
x1=0或x2=2.
故答案为:
x1=0,x2=2.
点评:
本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.
2.(2014•随州,第14题3分)某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米,计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是 20% .
考点:
一元二次方程的应用
专题:
增长率问题.
分析:
本题需先设出这个增长率是x,再根据已知条件找出等量关系列出方程,求出x的值,即可得出答案.
解答:
解:
设这个增长率是x,根据题意得:
2000×(1+x)2=2880
解得:
x1=20%,x2=﹣220%(舍去)
故答案为:
20%.
点评:
本题主要考查了一元二次方程的应用,在解题时要根据已知条件找出等量关系,列出方程是本题的关键.
3、(2014•江西,第10题3分)若
是方程
的两个实数根,则
_______。
【答案】x>
。
【考点】根的判别式,根与系数的关系,完全平方公式,代数式求值.
根据一元二次方程根与系数的关系,若任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2,则x1+x2=-
x1•x2=
根据完全平方化公式对化数进行变形,代入计算即可.
【解答】解:
∵a、b是方程x2-2x-3=0的两根,
∴a+b=2,ab=-3,
a2+b2=(a+b)2--2ab=22-2×(-3)=10.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:
如果方程的两根为x1,x2,则x1+x2=-
x1•x2=
.也考查了代数式的变形能力、整体思想的运用.
4.(2014•黑龙江哈尔滨,第15题3分)若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解,则m的值为 1 .
考点:
一元二次方程的解.
专题:
计算题.
分析:
根据x=﹣1是已知方程的解,将x=﹣1代入方程即可求出m的值.
解答:
解:
将x=﹣1代入方程得:
1﹣3+m+1=0,
解得:
m=1.
故答案为:
1
点评:
此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
5.(2014•黑龙江牡丹江,第18题3分)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形,做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子,根据题意列方程,化简可得 x2﹣70x+825=0 .
考点:
由实际问题抽象出一元二次方程.
专题:
几何图形问题.
分析:
本题设小正方形边长为xcm,则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示,从而这个长方体盒子的底面的长是(80﹣2x)cm,宽是(60﹣2x)cm,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积,方程可列出.
解答:
解:
由题意得:
(80﹣2x)(60﹣2x)=1500
整理得:
x2﹣70x+825=0,
故答案为:
x2﹣70x+825=0.
点评:
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识,对于面积问题应熟记各种图形的面积公式.另外,要学会通过图形求出面积.
6.(2014•莱芜,第15题4分)若关于x的方程x2+(k﹣2)x+k2=0的两根互为倒数,则k= ﹣1 .
考点:
根与系数的关系.
分析:
根据已知和根与系数的关系x1x2=
得出k2=1,求出k的值,再根据原方程有两个实数根,求出符合题意的k的值.
解答:
解:
∵x1x2=k2,两根互为倒数,
∴k2=1,
解得k=1或﹣1;
∵方程有两个实数根,△>0,
∴当k=1时,△<0,舍去,
故k的值为﹣1.
点评:
本题考查了根与系数的关系,根据x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的两个实数根,则x1+x2=﹣
,x1x2=
进行求解.
7.(2014•丽水,第15题4分)如图,某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m2,那么通道的宽应设计成多少m?
设通道的宽为xm,由题意列得方程 (30﹣2x)(20﹣x)=6×78 .
考点:
由实际问题抽象出一元二次方程.
专题:
几何图形问题.
分析:
设道路的宽为xm,将6块草地平移为一个长方形,长为(30﹣2x)m,宽为(20﹣x)m.根据长方形面积公式即可列方程(30﹣2x)(20﹣x)=6×78.
解答:
解:
设道路的宽为xm,由题意得:
(30﹣2x)(20﹣x)=6×78,
故答案为:
(30﹣2x)(20﹣x)=6×78.
点评:
此题主要考查了一元二次方程的应用,掌握长方形的面积公式,求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.
8.(2014•广西来宾,第10题3分)已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3,则这个一元二次方程是( )
A.
x2﹣6x+8=0
B.
x2+2x﹣3=0
C.
x2﹣x﹣6=0
D.
x2+x﹣6=0
考点:
根与系数的关系.
分析:
首先设此一元二次方程为x2+px+q=0,由二次项系数为1,两根分别为2,﹣3,根据根与系数的关系可得p=﹣(2﹣3)=1,q=(﹣3)×2=﹣6,继而求得答案.
解答:
解:
设此一元二次方程为x2+px+q=0,
∵二次项系数为1,两根分别为﹣2,3,
∴p=﹣(2﹣3)=1,q=(﹣3)×2=﹣6,
∴这个方程为:
x2+x﹣6=0.
故选:
D.
点评:
此题考查了根与系数的关系.此题难度不大,注意若二次项系数为1,x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q,反过来可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2.
9.(2014年广西钦州,第7题3分)若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是( )
A.﹣10B.10C.﹣16D.16
考点:
根与系数的关系.
分析:
根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可.
解答:
解:
∵x1,x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根,
∴x1+x2=﹣10.
故选:
A.
点评:
此题考查根与系数的关系,解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系:
x1+x2=﹣,x1x2=.
三、解答题
1.(2014•湖北宜昌,第22题10分)在“文化宜昌•全民阅读”活动中,某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量(单位:
本)进行了调查,2012年全校有1000名学生,2013年全校学生人数比2012年增加10%,2014年全校学生人数比2013年增加100人.
(1)求2014年全校学生人数;
(2)2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本,阅读总量比2012年增加1700本(注:
阅读总量=人均阅读量×人数)
①求2012年全校学生人均阅读量;
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍,如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a,2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a,那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%,求a的值.
考点:
一元二次方程的应用;一元一次方程的应用.
分析:
(1)根据题意,先求出2013年全校的学生人数就可以求出2014年的学生人数;
(2)①设2012人均阅读量为x本,则2013年的人均阅读量为(x+1)本,根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论;
②由①的结论就可以求出2012年读书社的人均读书量,2014年读书社的人均读书量,全校的人均读书量,由2014年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可.
解答:
解:
(1)由题意,得
2013年全校学生人数为:
1000×(1+10%)=1100人,
∴2014年全校学生人数为:
1100+100=1200人;
(2)①设2012人均阅读量为x本,则2013年的人均阅读量为(x+1)本,由题意,得
1100(x+1)=1000x+1700,
解得:
x=6.
答:
2012年全校学生人均阅读量为6本;
②由题意,得
2012年读书社的人均读书量为:
2.5×6=15本,
2014年读书社人均读书量为15(1+a)2本,
2014年全校学生的读书量为6(1+a)本,
80×15(1+a)2=1200×6(1+a)×25%
2(1+a)2=3(1+a),
∴a1=﹣1(舍去),a2=0.5.
答:
a的值为0.5.
点评:
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,增长率问题的数量关系的运用,解答时根据阅读总量之间的关系建立方程是关键.
2.(2014•湖南衡阳,第24题6分)学校去年年底的绿化面积为5000平方米,预计到明年年底增加到7200平方米,求这两年的年平均增长率.
考点:
一元二次方程的应用.
专题:
增长率问题.
分析:
设这两年的年平均增长率为x,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果.
解答:
解:
设这两年的年平均增长率为x,
根据题意得:
5000(1+x)2=7200,即(1+x)2=1.44,
开方得:
1+x=1.2或x+1=﹣1.2,
解得:
x=0.2=20%,或x=﹣2.2(舍去).
答:
这两年的年平均增长率为20%.
点评:
考查了一元二次方程的应用,本题为增长率问题,一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量.
3.(2014•河北,第21题10分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2﹣4ac>0的情况,她是这样做的:
由于a≠0,方程ax2++bx+c=0变形为:
x2+
x=﹣
,…第一步
x2+
x+(
)2=﹣
+(
)2,…第二步
(x+
)2=
,…第三步
x+
=
(b2﹣4ac>0),…第四步
x=
,…第五步
嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误;事实上,当b2﹣4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠O)的求根公式是 x=
.
用配方法解方程:
x2﹣2x﹣24=0.
考点:
解一元二次方程-配方法
专题:
阅读型.
分析:
第四步,开方时出错;把常数项24移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方.
解答:
解:
在第四步中,开方应该是x+
=±
.所以求根公式为:
x=
.
故答案是:
四;x=
;
用配方法解方程:
x2﹣2x﹣24=0
解:
移项,得
x2﹣2x=24,
配方,得
x2﹣2x+1=24+1,
即(x﹣1)2=25,
开方得x﹣1=±5,
∴x1=6,x2=﹣4.
点评:
本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法.
用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)形如x2+px+q=0型:
第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.
(2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.
4、(2014•随州,第23题8分)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为30万元/辆,若当月销售量超过5辆时,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查,月销售量不会突破30台.
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30,且x为正整数),实际进价为y万元/辆,求y与x的函数关系式;
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆,公司计划当月销售利润25万元,那么月需售出多少辆汽车?
(注:
销售利润=销售价﹣进价)
考点:
一元二次方程的应用;分段函数
分析:
(1)根据分段函数可以表示出当0<x≤5,5<x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论;
(2)由销售利润=销售价﹣进价,由
(1)的解析式建立方程就可以求出结论.
解答:
解:
(1)由题意,得
当0<x≤5时
y=30.
当5<x≤30时,
y=30﹣0.1(x﹣5)=﹣0.1x+30.5.
∴y=
;
(2)当0<x≤5时,
(32﹣30)×5=10<25,不符合题意,
当5<x≤30时,
[32﹣(﹣0.1x+30.5)]x=25,
解得:
x1=﹣25(舍去),x2=10.
答:
该月需售出10辆汽车.
点评:
本题考查了分段函数的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时求出分段函数的解析式是关键.
5、(2014衡阳,第24题6分)
已知某校去年年底的绿化面积为
平方米,预计到明年年底的绿化面积将会增加到
平方米,求这两年的年平均增长率。
【考点】一元二次方程、直接开方法解方程
【点评】本题考查一元二次方程增长率问题,一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量,同类型的问题还有降低的问题,根据题意去列方程即可.
6、(2014•无锡第20题8分)
(1)解方程:
x2﹣5x﹣6=0;
(2)解不等式组:
.
考点:
解一元二次方程-因式分解法;解一元一次不等式组.
专题:
计算题.
分析:
(1)方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
解答:
解:
(1)方程变形得:
(x﹣6)(x+1)=0,
解得:
x1=6,x2=﹣1;
(2)
,
由①得:
x≥3;
由②得:
x>5,
则不等式组的解集为x>5.
点评:
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,以及一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
7.(2014•四川成都,第26题8分)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.
(1)若花园的面积为192m2,求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
考点:
二次函数的应用;一元二次方程的应用.
专题:
几何图形问题.
分析:
(1)根据题意得出长×宽=192,进而得出答案;
(2)由题意可得出:
S=x(28﹣x)=﹣x2+28x=﹣(x﹣14)2+196,再利用二次函数增减性得出答案.
解答:
解:
(1)∵AB=xm,则BC=(28﹣x)m,
∴x(28﹣x)=192,
解得:
x1=12,x2=16,
答:
x的值为12m或16m;
(2)由题意可得出:
S=x(28﹣x)=﹣x2+28x=﹣(x﹣14)2+196,
∵在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,
∴x=15时,S取到最大值为:
S=﹣(15﹣14)2+196=195,
答:
花园面积S的最大值为195平方米.
点评:
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法,得出S与x的函数关系式是解题关键.
8.(2014•重庆A,第23题10分)为丰富居民业余生活,某居民区组建筹委会,该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算,一共需要筹资30000元,其中一部分用于购买书桌、书架等设施,另一部分用于购买书刊.
(1)筹委会计划,购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍,问最多用多少资金购买书桌、书架等设施?
(2)经初步统计,有200户居民自愿参与集资,那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后,赠送了一批阅览室设施和书籍,这样,只需参与户共集资20000元.经筹委会进一步宣传,自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0).则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了
a%,求a的值.
考点:
一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用
分析:
(1)设用于购买书桌、书架等设施的为x元,则购买书籍的有(30000﹣x)元,利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”,列出不等式求解即可;
(2)根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0).则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了
a%,且总集资额为20000元”列出方程求解即可.
解答:
解:
(1)设用于购买书桌、书架等设施的为x元,则购买书籍的有(30000﹣x)元,
根据题意得:
30000﹣x≥3x,
解得:
x≤7500.
答:
最多用7500元购买书桌、书架等设施;
(2)根据题意得:
200(1+a%)×150(1﹣
a%)=20000
整理得:
a2+10a﹣3000=0,
解得:
a=50或a=﹣60(舍去),
所以a的值是50.
点评:
本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用,解题的关键是从题目中整理出等量关系和不等关系,难度不大.
9.(2014•莱芜,第22题10分)某市为打造“绿色城市”,积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2013年投资1000万元,预计2015年投资1210万元.若这两年内平均每年投资增长的百分率相同.
(1)求平均每年投资增长的百分率;
(2)已知河道治污每平方需投入400元,园林绿化每平方米需投入200元,若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米,且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍,那么园林绿化的费用应在什么范围内?
考点:
一元二次方程的应用;一元一次不等式组的应用.
分析: