概率论与数理统计课后习题及答案高等教育出版社.docx
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概率论与数理统计课后习题及答案高等教育出版社
概率论与数理统计课后习题答案
高等教育出版社
习题解答
1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次岀现正面”，“两
次岀现同一面"，“至少有一次岀现正面"。
试写岀样本空间及事件A,B,C中的样本
点。
解：
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）
A（正，正），（正，反）；B（正，正），（反，反）
C（正，正），（正，反），（反，正）
2.在掷两颗骰子的试验中，事件代B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点
数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写岀样本空间及事件AB,AB,AC,BC,ABCD中的样本点
解：
（1,1）,（1,2）,,（1,6）,（2,1）,（2,2）,,（2,6）,,（6,1）,（6,2）,,（6,6）；
AB（1,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）;
AB（1,1）,（1,3）,（1,5）,,（6,2）,（6,4）,（6,6）,（1,2）,（2,1）；
AC;BC（1,1）,（2,2）;
ABCD（1,5）,（2,4）,（2,6）,（4,2）,（4,6）,（5,1）,（6,2）,（6,4）
3.以代B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用A,B,C表示以下
事件:
（1）只订阅日报；
（3）只订一种报；
（5）至少订阅一种报；
（7）至多订阅一种报；
（9）三种报纸不全订阅
（2）只订日报和晚报;
（4）正好订两种报；
（6）不订阅任何报；
（8）三种报纸都订阅;
解：
（1）ABC;
（2）ABC;
（3）ABCABCABC；
（4）ABCABCABC;
（5）ABC;
（6）
ABC;
（7）ABC
ABCABCABC或ABACBC
（8）
ABC；
（9）AB
4.
甲、乙、丙三人各射击一次，事件
Ai,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。
试说
明下列事件所表示的结果：
a2,a2
A3>A1A2>AlA2，A1A2A3>
A.AA2A3a1a3.
解：
甲未击中；乙和丙至少一人击中;
甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有
一人未击中;
甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有
两人击中。
5.设事件
A,B,C满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的
和：
AB
C，ABC，BAC.
解：
如图:
A
BCABCABC
ABC
ABC
ABC
ABCABC;
AB
CABCC;
B
ACABCABC
Abc
BAABC
BCABC
6.
若事件A,B,C满足
ACB
C,
试问A
B是否成立举例说明
解
:
不一定成立。
例如：
A3,4,5，B
3，C
4,5，
那么，ACBC，但AB。
7.
对于事件A,B,C，试问A（BC）
（AB）
C是否成立举例说明
解：
不一定成立。
例如：
A3,4,5，B
4,5,6，
C6,7，
那么
A（BC）3，但是（AB）C
3,6,7。
8.
设P（A）1，P（B）2，试就以下三种情况分别求
32
P（BA）:
（1）AB，
（2）AB，
（3）P（AB）1.
解:
（1）
p（bA）
P（B
AB）
P（B）
P（AB）
1
2；
（2）
P（BA）
P（B
A）
P（B）
1
P（A）-
6
；
（3）
P（BA）
P（B
AB）
P（B）
P（AB）
113
288
9.已知P（A）P（B）P（C）4,P（AC）P（BC）16,P（AB）0求事件
A,B,C全不发生的概率。
解：
P（ABC）PABC1P（ABC）
=1P（A）P（B）P（C）P（AB）P（AC）P（BC）P（ABC）
1
1
1小
丄
1小
1-
-0
0
4
4
4
16
16
3
8
10.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。
一个人骑
车经过三个路口，试求下列事件的概率:
A“三个都是红灯”
=“全红”；B
“全绿”；
C“全黄”；
“无红”；E“无绿”；
F“三次颜色相
同”；G
解：
“颜色全不相同”
“颜色不全相同”。
P（A）
P（B）P（C）
1
27；P（D）
P（E）
8
27；
P（F）
2727
27
1
；P（G）
3!
333
P（H）
1P（F）
11.设一批产品共
100件,
其中98件正品，2件次品，从中任意抽取
3件（分三
种情况：
一次拿3件;
每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求:
（1）取岀的3件中恰有1件是次品的概率；
（2）取岀的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件:
（1）P0.0588；
C100
（2）
c2c98c©
0.0594；
每次拿一件，取后放回，拿3次:
每次拿一件，取后不放回,
（1）
29897
（2）
12.
0.0576；
3次:
（2）
竺0.0588；
1003
3
1009998
989796
1-
1009998
从0,1,2,,9中任意选岀
0.0588；
0.0594
3个不同的数字,
试求下列事件的概率:
A三个数字中不含0与5，A2三个数字中不含0或5
解:
P（A）
c；7
d15
P（A2）
2c3C83
3
10
14或p（A2）1C
15C10
14
15
13.从0,1,2,,9中任意选岀4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的
概率。
解：
P
5P934P82
P14
41
90
14.一个宿舍中住有
6位同学，计算下列事件的概率:
（1）6人中至少有1人生日在10月份;
（2）6人中恰有4人生日在10月份;
（3）6人中恰有4人生日在同一月份;
解：
（1）P
116
126
0.41；
c6112
0.00061；
142
（3）P習丽3
15.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取岀的3张牌中至少有2
张花色相同的概率。
解：
13121
C4C13C4C13C39
0.602或P1
C3111
4C13C13C13
c52
0.602
习题解答
1.假设一批产品中一、二、三等品各占
60%30%10%,从中任取一件，结果不
是三等品，求取到的是一等品的概率。
解:
令Ai“取到的是i等品”，i1,2,3
P（AAs）
P^）p®0.6
P（A3）P（As）09
2.
设10件产品中有4件不合格品，从中任取
2件，已知所取2件产品中有1件
不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解:
令A“两件中至少有一件不合格”，B
“两件都不合格”
P（B|A）
P（AB）
P（A）
P（B）_
1P（A）
3.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统
I和II。
两种报警系统单独使
用时，系统I和II有效的概率分别和，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为，求
（1）两种报警系统I和II都有效的概率；
（2）系统II失灵而系统I有效的概率；
（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。
解：
令A“系统（I）有效”，B“系统（n）有效”
则P（A）0.92,P（B）0.93,P（B|A）0.85
（1）P（AB）P（BAB）P（B）P（AB）
:
A与B独立，
P（B|A）
P（B|A）
0P（A）1
又P（B|A）
A与B也独立。
P（B）,P（B|A）P（B）
P（B|A）
0P（A）1
P（AB）
P（A）
（2）P（BA）
P（AAB）
P（A）
P（AB）0.920.862
P（AB）
0.058
（3）
P（A|B）
0.8286
P（B）
10.93
4.
设0P（A）1，证明事件A与B独立的充要条件是
P（B）P（A）P（B|A）0.93（10.92）0.850.862
证：
P（B|A）P（B|A）
0.058
而由题设P（B|A）P（B|A）P（AB）P（AB）P（A）P（A）
即[1P（A）]P（AB）P（A）[P（B）P（AB）]
P（AB）P（A）P（B），故A与B独立。
B发生的概率
5.设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有
都是1，求P（A）和P（B）.
4
1
解：
P（AB）P（AB），又A与B独立
4
1P（AB）P（A）P（B）[1P（A）]P（B）-
4
1
P（AB）P（A）P（B）P（A）[1P（B）]-
4
21
P（A）P（B）,P（A）P（A）-
4
1
即P（A）P（B）
2
6.证明若P（A）>0,P（B）>0,则有
（1）当A与B独立时，A与B相容；
（2）当A与B不相容时，A与B不独立。
证明：
P（A）0,P（B）0
（1）因为A与B独立，所以
P（AB）P（A）P（B）0，A与B相容。
（2）因为P（AB）0,而P（A）P（B）0，
P（AB）P（A）P（B），A与B不独立。
7.已知事件A,B,C相互独立，求证AB与C也独立。
证明：
因为A、B、C相互独立，
P[（AB）C]P（ACBC）
P（AC）P（BC）P（ABC）
P（A）P（C）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）
[P（A）P（B）P（AB）]P（C）P（AB）P（C）
AB与C独立。
8.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分
别为，和，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
解：
令人，民，人3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，
那么P（A1）0.7,P（A2）0.8,P（A3）0.9
令B表示最多有一台机床需要工人照顾，
那么P（B）P（A1A2A3A,a2a3a,a2a3a1a2a3）
P（AA2A3）P（AA2A3）p（aA2A3）p（AA2A3）
0.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80.1
0.902
9.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p（0p1）,（称为元件的
系统I
可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。
系统II
解：
令A“系统（I）正常工作”B“系统（n）正
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