概率论与数理统计课后习题及答案高等教育出版社.docx

1、概率论与数理统计课后习题及答案高等教育出版社概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社习题解答1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件 A, B,C分别表示“第一次岀现正面”，“两次岀现同一面，“至少有一次岀现正面。试写岀样本空间及事件 A,B,C中的样本点。解： （正，正），（正，反），（反，正），（反，反）A （正，正），（正，反） ；B （正，正），（反，反）C （正，正），（正，反），（反，正）2.在掷两颗骰子的试验中，事件 代B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写岀样本空间 及事件AB, A B, AC,BC, A B C

2、 D中的样本点解： (1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1);A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；AC ; BC (1,1),(2,2);A B C D (1,5), (2,4),(2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4)3.以代B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 A, B, C表示以下事件:（1）只订阅日报；（3）只订一种报；（5）

3、至少订阅一种报；（7）至多订阅一种报；（9）三种报纸不全订阅（2）只订日报和晚报;（4）正好订两种报；（6）不订阅任何报；（8）三种报纸都订阅;解：(1) ABC ; (2) ABC ;(3) ABC ABC ABC ；(4) ABC ABC ABC ;(5) ABC ;(6)ABC ;(7) ABCABC ABC ABC 或 AB AC BC(8)ABC ；(9) A B4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件Ai, A2, A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果： a2, a2A3 A1 A2 Al A2，A1 A2 A3 A.A A2A3 a1a3.解：甲未击中；乙和丙至少一人

4、击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5.设事件A, B,C满足ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：A BC，AB C，B AC.解：如图:AB C ABC ABCABCABCABCABC ABC;ABC ABC C;BAC ABC ABCAbcBA ABCBC ABC6.若事件A,B,C满足A C BC ,试问AB是否成立举例说明解:不一定成立。例如： A 3,4,5，B3，C4,5，那么，A C B C，但A B。7.对于事件A, B,C，试问A (B C)(A B)C是否成立举例说明解：不一

5、定成立。例如：A 3,4,5，B4,5,6，C 6,7，那么A (B C) 3，但是(A B) C3,6,7。8.设P( A) 1， P( B) 2，试就以下三种情况分别求3 2P(BA):(1)AB ， ( 2)A B，(3)P(AB) 1.解:(1)p(bA)P(BAB)P(B)P(AB)12 ；(2)P(BA)P(BA)P(B)1P(A)-6；(3)P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)11 328 89.已知 P(A) P(B) P(C) 4 , P(AC) P(BC) 16, P(AB) 0 求事件A, B,C全不发生的概率。解：P(ABC) P ABC 1 P(A B C)=1

6、P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC), 111 小丄1 小1 -0044416163810.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率:A “三个都是红灯”=“全红”；B“全绿”；C “全黄”；“无红”；E “无绿”；F “三次颜色相同”；G解：“颜色全不相同”“颜色不全相同”。P(A)P(B) P(C)127 ； P(D)P(E)827 ；P(F)27 27271；P(G)3!3 3 3P(H)1 P(F)11.设一批产品共100 件,其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：

7、一次拿 3件;每次拿1件，取后放回拿 3次；每次拿1件，取后不放回拿 3 次），试求:（1） 取岀的3件中恰有1件是次品的概率；（2） 取岀的3件中至少有1件是次品的概率。 解：一次拿3件:(1) P 0.0588；C100(2)c2c98 c0.0594 ；每次拿一件，取后放回，拿 3次:每次拿一件，取后不放回,(1)2 98 97(2)12.0.0576 ；3 次:(2)竺 0.0588 ；10033100 99 9898 97 961 -100 99 98从0,1,2, ,9中任意选岀0.0588 ；0.05943个不同的数字,试求下列事件的概率:A 三个数字中不含0与 5，A2 三个数

8、字中不含0或 5解:P(A)c； 7d 15P(A2)2c3 C8331014或 p(A2)1 C15C10141513.从0,1,2, ,9中任意选岀4个不同的数字，计算它们能组成一个 4位偶数的概率。解：P5P93 4P82P14419014. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率:（1） 6人中至少有1人生日在10月份;（2） 6人中恰有4人生日在10月份;（3）6人中恰有4人生日在同一月份;解：(1) P1161260.41 ；c6 1120.00061 ；1 4 2（3）P習丽315.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取岀的 3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：1

9、 3 12 1C4C13 C4C13C390.602 或 P 1C3 1 1 14 C13C13C13c520.602习题解答1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 30% 10%,从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解:令Ai “取到的是i等品”，i 1,2,3P(A As)P) p 0.6P(A3) P(As) 092.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解:令A “两件中至少有一件不合格”， B“两件都不合格”P(B| A)P(AB)P(A)P(B)_1 P(A)3.为了防止意外，在矿内同时装有

10、两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别和，在系统 I失灵的条件下，系统 II仍有效的概 率为，求（1） 两种报警系统I和II都有效的概率；（2） 系统II失灵而系统I有效的概率；（3） 在系统II失灵的条件下，系统 I仍有效的概率。解：令A “系统（I）有效” ，B “系统（n）有效”则 P(A) 0.92, P(B) 0.93, P(B| A) 0.85(1)P(AB) P(B AB) P(B) P(AB): A与B独立，P(B| A)P(B| A)0 P(A) 1又 P(B | A)A与B也独立。P(B), P(B|A) P(B)P(B|A)0 P(A)

11、1P(AB)P(A)(2) P(BA)P(A AB)P(A)P(AB) 0.92 0.862P(AB)0.058(3)P(A|B)0.8286P(B)1 0.934.设0 P(A) 1，证明事件 A 与 B独立的充要条件是P(B) P(A)P(B | A) 0.93 (1 0.92) 0.85 0.862证：P(B| A) P(B | A)0.058而由题设 P(B| A) P(B | A) P(AB) P(AB) P(A) P(A)即1 P(A)P(AB) P(A)P(B) P(AB)P(AB) P(A)P(B)，故 A与 B独立。B发生的概率5.设事件A与B相互独立，两个事件只有 A发生的

12、概率与只有都是1，求P(A)和P(B).41解： P(AB) P(AB) ，又 A与B独立41 P(AB) P(A)P(B) 1 P(A)P(B)-41P(AB) P(A)P(B) P(A)1 P(B)-42 1P(A) P(B),P(A) P (A) -41即 P(A) P(B)26.证明 若 P(A)0, P(B)0,则有(1) 当A与B独立时，A与B相容；(2) 当A与B不相容时， A与B不独立。证明：P(A) 0,P(B) 0(1)因为A与B独立，所以P(AB) P(A)P(B) 0，A与 B 相容。(2)因为 P(AB) 0,而 P(A)P(B) 0，P(AB) P(A)P(B)，A

13、与 B不独立。7.已知事件 A,B,C相互独立，求证 A B与C也独立。证明：因为A、B、C相互独立，P( A B) C P(AC BC)P(AC) P(BC) P(ABC)P(A)P(C) P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)P(A) P(B) P(AB)P(C) P(A B)P(C)A B与C独立。8.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为，和，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令人，民，人3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么 P(A1) 0.7,P(A2) 0.8, P(A3) 0.9令B表示最多有一台机床需要工人照顾，那么 P(B) P(A1A2A3 A, a2a3 a, a2a3 a1a2a3)P(AA2A3)P(AA2A3)p(aA2A3)p(AA2A3)0.7 0.8 0.9 0.3 0.8 0.9 0.7 0.2 0.8 0.7 0.8 0.10.9029.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 p（0 p 1）,（称为元件的系统I可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。系统II解：令A “系统（I）正常工作” B “系统（n）正