构件的承载能力分析轴向拉伸与压缩.docx

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构件的承载能力分析轴向拉伸与压缩

直梁的弯曲

7.1　梁的类型及计算简图

7.1.1直梁平面弯曲的概念Concepts

弯曲变形：

杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。

梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。

弯曲bending

平面弯曲planebending

7.1.2梁的计算简图

载荷：

（1）集中力　concentratedloads

（2）集中力偶　force-couple

（3）分布载荷distributedloads

7.1.3梁的类型

（1）简支梁simplesupportedbeam　上图

（2）外伸梁overhangingbeam

（3）悬臂梁cantileverbeam

7.2　梁弯曲时的内力

7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearingforce和弯矩bendingmoment

问题：

∙任截面处有何内力？

∙该内力正负如何规定？

例7－1　图示的悬臂梁AB，长为l，受均布载荷q的作用，求梁各横截面上的内力。

求内力的方法——截面法

截面法的核心——截开、代替、平衡

内力与外力平衡

解：

为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开。

梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。

剪力——作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。

弯矩——位于纵向对称面内。

剪切弯曲——横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。

纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

   工程上一般梁（跨度L与横截面高度h之比L/h＞5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。

规定：

使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。

7.2.2弯矩图bendingmomentdiagrams

弯矩图：

以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。

例7－2　试作出例7－1中悬臂梁的弯矩图。

解

（1）建立弯矩方程由例7－1知弯矩方程为

（2）画弯矩图

   弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。

求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。

例7－3　图示的简支梁AB，在C点处受到集中力F作用，尺寸a、b和l均为已知，试作出梁的弯矩图。

解

（1）求约束反力

（2）建立弯矩方程上例中梁受连续均布载荷作用，各横截面上的弯矩为x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。

例7－4　图示的简支梁AB，在C点处受到集中力偶M0作用，尺寸a、b和l均为已知，试作出梁的弯矩图。

解

（1）求约束反力

（2）建立弯矩方程由于梁在C点处有集中力偶M作用，所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。

（3）画弯矩图

两个弯矩方程均为直线方程

总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律：

（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。

（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。

（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。

7.3　梁纯弯曲时的强度条件

7.3.1梁纯弯曲（purebending）的概念Concepts

纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

Q=0，M=常数。

7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 NormalStressesinBeams

1．梁纯弯曲时的变形特点GeometryofDeformation:

平面假设：

1）变形前为平面变形后仍为平面 

2）始终垂直与轴线 

中性层NeutralSurface：

既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。

中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。

中性轴NeutralAxis：

中性层与横截面的交线。

变形时横截面是绕中性轴旋转的。

2．梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 

纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。

   由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。

以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。

3．梁纯弯曲时正应力计算公式 

   在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为

式中，M为作用在该截面上的弯矩（Nmm）；y为计算点到中性轴的距离（mm）；IzMomentofAreaaboutZ-axis为横截面对中性轴z的惯性矩（mm4）。

   在中性轴上y=0，所以s=0；当y=ymax时，s=smax。

   最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处，

Wz横截面对中性轴z的抗弯截面模量（mm3）

计算时，M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。

受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。

   弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度L与横截面高度h之比L/h＞5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。

7.3.3惯性矩和抗弯截面模量

简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式

7.3.4梁纯弯曲时的强度条件

对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险点。

梁的弯曲强度条件是：

梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。

   运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。

7.4提高梁强度的主要措施

   提高梁强度的主要措施是：

1）降低弯矩M的数值2）增大抗弯截面模量Wz的数值

7.4.1降低最大弯矩Mmax数值的措施

1．合理安排梁的支承

2．合理布置载荷

7.4.2合理选择梁的截面

1．形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式，则Wz值可能不相同

2．面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量Wz值不相同

3．截面形状应与材料特性相适应

7.4.3采用等强度梁

对于等截面梁，除Mmax所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。

   为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。

等强度梁——使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称之。