初中数学中概率与统计学习的难点及解决策略.docx
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初中数学中概率与统计学习的难点及解决策略
初中数学中概率与统计学习的难点及解决策略
俞京宁 北京教育学院丰台分院
一、统计与概率的研究对象、方法以及中、小学学习要求的差异
（一）明确统计与概率的研究对象
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据以及由数据分析结果作出决策的科学。
现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策。
统计可以为人们制定决策提供依据。
概率是研究随机现象规律的科学，随机现象在日常生活中随处可见，概率为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。
因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。
（二）对初中、小学统计与概率教材的整体认识
由于统计与概率的内容从小学到初、高中，均有涉及，遵循新教材逐级递进、螺旋上升的编写原则，由浅入深、由感性到理性，要求学生逐步掌握统计与概率的相关内容并能应用他们解决一些实际问题。
所以，作为初中阶段的教学，我们有必要了解新课程标准中初中和小学对这部分的教学要求。
小学阶段对统计与概率内容的学习要求：
分1-3，4-6两个学段，学生经历简单的数据统计过程，学习收集、整理和描述数据的方法，并能够根据数据分析的结果作出简单的判断与预测；体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。
初中阶段对统计与概率内容的学习要求：
体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。
具体的对比分析如下表
初中、小学“统计与概率”教学目标对比表
内容
小学
初中
区别
统计的过程
经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（必要时可使用计算器）。
从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据
从“经历”与“从事”这两个动词中可以看出：
小学是在教师的引导下参与统计的全过程，面对的问题比较简单；而初中更多的是学生独立从事统计的全过程，面对的统计问题比小学的稍微复杂一些。
统计图
认识条形统计图、折线统计图、扇形统计图；根据需要，选择条形统计图、折线统计图直观、有效地表示数据。
会用扇形统计图表示数据；
会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图。
初中在小学的基础上，进一步学习各种统计图的应用，此外增加了画频数分布直方图和频数折线图。
所以，还要弄清频数分布直方图与条形统计图的区别。
统计量
理解并会求数据的平均数、中位数、众数。
会计算加权平均数，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度
对于描述数据集中趋势的三个统计量的计算方法没变，只是数据由非负数扩充到实数；进一步学习加权平均数的计算方法；还增加了刻画数据波动情况的极差与方差。
调查方法
全面调查
抽样调查：
用样本估计总体
初中增加了样本、总体等新的概念；要求学生体会用样本估计总体的思想以及感受抽样的必要性，体会不同的抽样可能得到不同的结果。
概率的定义
可能性
了解概率的意义
小学没出现概率的定义，只提出“事件的可能性”，初中在此基础上给出概率的定义，并介绍了概率的统计定义
概率的求法
体验事件发生的等可能性，会求一些简单事件发生的可能性。
运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。
对于结果具有等可能性事件的概率计算，初中在小学基础上，学习用列表、画树状图计算简单事件发生的概率；还需要了解结果不具有等可能事件的概率求法，即用频率估计概率的方法。
通过对比初中、小学的学习目标，我们可以感受到：
初中的部分学习内容是在小学基础上进一步加深与扩充，在教学时，对于学生已有知识不适宜作为新课讲解，要抓住中小学的区别，创设合适的情境，使学生在复习的基础上巩固深化，加深对知识的理解以及增强应用意识。
还有一些内容，是初中新增内容，重点体现在增加了数据表示的方法以及分析的方法，再有概率部分对随机性的理解要求加强了。
其中的大部分概念，学生理解不是特别困难，但对于这两部分蕴涵的统计思想和概率观点，学生在学习的过程中会感到困难。
（三）统计与概率学习与以往数学学习的差异
为什么会产生难点？
这是由于统计与概率学研究的对象、研究的思路与方式、以及获得的研究结论的性质，都与过去学生所接触到的数学内容有根本的不同有关：
以往学的代数、几何属于“确定性”数学，学习时主要依赖逻辑思维和演绎的方法，它们在培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间观念方面发挥着重要作用。
而统计与概率属于“不确定性”数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法，它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。
具体从以下三个方面对比：
1.研究对象不同
由对确定性现象的研究变为对不确定性现象的研究。
对于不确定性的现象本身来讲，又有两种情况：
抛掷一枚硬币，我们不能确定是国徽面还是币值面朝上，但可以确定“非此即彼”，不存在“亦此亦彼”的问题，即这是一种结果出现的偶然性（又叫随机性）问题。
偶然性是与必然性相对应的。
偶然性刻画的是认知对象出现（内外）条件方面的不确定性，而关于认知对象本身在类属和性态方面的定义是完全确定的。
统计与概率研究的对象具有不确定性，但不确定性现象并不都是统计与概率研究的对象。
例如“两个人长得像”的现象也是不确定的，它是一种更复杂的不确定性，我们把它称为模糊性。
不确定性的随机性与模糊性是有区别的：
随机性的不确定，反映在某事件是否发生，判据是明确的；模糊性的不确定，反映在事件本身的涵义上，判据不分明。
统计与概率研究的是前者；后者是模糊数学研究的内容。
2.研究的思路与方式不同
数学在研究确定性现象过程中所用的科学推理方式基本上属于演绎推理的方式，由一般到特殊；而统计学在研究不确定性现象时，由样本推断总体，使用的是归纳推理，而且很多时候是不完全归纳推理。
因此，统计学研究所获得的结果不像以往学生学习的用演绎推理所获得的结果那样“确定无疑”。
3.所获得的结果不同
统计学所得到并予以接受的结果主要是局部的、归纳性的；而以往在确定性数学的学习过程中，得到的经常是较为一般性的、演绎的结果。
这些差异的存在，都会造成学生在学习统计与概率过程中的困难。
下面就具体分析一下这部分的难点及解决策略。
二、统计的难点分析及解决策略
真实的数据能提供科学信息，帮助我们了解世界，许多科学结论都是通过分析数据而得到的，借助数据提供的信息作出的判断才比较可信。
因此，“运用数据进行推断”的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，而“用样本推断总体”又是统计最核心的思想方法。
统计学已有2000多年的历史，按其发展的历史阶段和统计方法的构成看，统计学包括描述统计和推断统计。
描述统计的内容包括统计数据收集的方法、数据的加工和整理方法、用图表表示数据的方法、数据分布特征的概括与分析方法等。
推断统计研究如何依据样本数据推断总体的数量特征的方法，它以样本数据信息为依据，以概率论为理论基础，对总体未知的数量特征作出以概率形式表述的推断。
那么统计内容学习的难点在哪里呢？
（一）形成“统计观念”
1.难点
“观念”，不同于计算、画图等简单技能，是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉。
有些人将统计观念称为“数据感”或“信息观念”，无论用什么词汇，它反映的都是由一组数据所引发的想法、所推测到的所有可能的结果、自觉的联想到运用统计的方法解决有关的问题等。
具体地说，统计观念可以在以下几个方面得到体现：
认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。
学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念。
而在学生对统计有怎样的印象的调查中，获得的信息大致有以下几类：
（1）统计就是分类
（2）统计是计算（3）统计就是做加法（4）统计就是填统计表（5）统计就是画统计图，或者是根据统计图回答问题……
说明什么？
说明对统计知识的教学出现了偏差。
我们的教学重视知识点的传授，对统计知识的考核也局限在知识点的考核。
因此在教学过程中，重点放在有关数据的计算上，学生没有经历统计过程，难以形成正确的统计观念。
2.解决策略
学生的生活经验中，潜在地存在统计意识。
比如每年的联欢会在采购前，生活委员一定会调查同学的喜好，然后结合大多数同学的爱好进行采购。
我们教学的重点是帮助学生挖掘这种潜意识，注重培养学生有意识的从统计的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据。
应该做好以下几点
（1）使学生经历统计活动的全过程
观念的建立需要人们亲身的经历。
要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的全过程中去：
提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进。
在参与活动中学会统计方法，渗透统计思想。
从另一个角度看，数学的发展往往也经历了这样一个过程，首先是问题的提出，然后是收集与这个问题相关的信息并进行整理，再根据这些信息做出一些判断以解释或解决开始提出的问题。
提出问题这点特别重要，没有目的的问题，比如老师让学生来数一数有几朵花、有几个人等，这样的统计活动在学生心里会留下什么？
问题的提出，要考虑学生的兴趣，使他乐于参与，而且应该有利于教师的学科寓教。
例如，我们可以开展丰富多彩的问题调查活动，如调查初中生的最喜爱的课外活动、最爱看的书、最喜欢的人物、最喜欢的科目等等，也可以调查现阶段学生的理想等。
此外，调查的问题还可以从报刊杂志、电视广播、网络等多方面寻找素材，但是要引导学生注意以上渠道提供的数据，其来源是否可靠、合理？
利用合理的调查素材，使学生在运用统计知识的同时，将统计作为了解社会的一个重要手段，提高他们分析问题解决问题的能力，更好的认识现实社会，同时能理智的看待新闻媒介、广告等公布的数据，对现实世界中的许多事情形成自己的看法。
爱因斯坦说过：
“纯逻辑的思维不可能告诉我们任何经验世界的知识，现实世界的一切知识是始于经验并终于经验的。
”经验性的观察积累了数据，然后从数据做出某种判断，这种活动将有利于发展学生的发现能力和创新精神。
总之，一定要注意让学生经历活动的全过程。
不仅要收集数据、填写统计表，绘制统计图、计算数据，而且感受统计图表的作用，并从中得出相关的结论。
（2）使学生在现实情境中体会统计对决策的影响
要培养学生从统计的角度思考问题的意识，重要的途径就是要在教学中结合生活实例展示统计的广泛应用，使学生在亲身经历解决实际问题的过程中体会统计对决策的作用。
例如：
统计商店一个月内几种商品的销售情况，并对这个商店的进货提出你的建议；全球水资源的匮乏的事实众所周知，请学生对自家或学校的用水情况进行统计，并提出节水的合理化建议等等，让学生对身边他们感兴趣的事情展开调查，并能够结合所得数据解释统计结果，根据结果进行简单的判断与预测，清晰的表达自己的观点，能够和同伴交流，在解决问题的过程中，认识统计的作用，逐步树立从统计的角度思考问题。
（二）抽样的合理性
1．难点
统计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。
所以样本的抽取是否具有代表性，在统计中至关重要。
不同的抽样将产生不同的结论。
那么如何抽样更合理，对此学生还存在很多困惑。
2．解决策略
学生通过学习，了解了普查与抽查的区别，明确了抽查的必要性。
但是由于我们希望得到的数据能正确反映实际的状况，所以抽出的样本要能代表这个全体。
样本抽得好还是不好，这是非常重要的问题。
比如我想了解这个区学生的学习成绩，找了100个学生，但他们都是实验班的学生，我想了解北京市学生的每天的学习时间，找的都是重点校的学生，这样的样本就代表性差。
有没有代表性的问题，是样本的一个核心问题。
那么，怎么能做到有代表性呢？
就是随机抽取。
为什么随机抽样具有代表性呢？
比如说，要了解北京市初中生的视力情况。
如果要随机抽取的话，假设视力为5.2的学生占百分之三，那么，抽到视力为5.2的可能性也就是百分之三。
如果5.0的占40%，那么，抽到5.0的可能性也是40%，这样的随机抽样，就保证抽到的样本里，各个视力值的百分比与总体的百分比是一样的。
另外，由于抽签与顺序无关，若抽取第一个学生，视力为5.2的概率是百分之三，那么抽取第二个学生、第三个学生等，其视力为5.2的概率也是百分之三。
随机抽样能使得样本中不同视力的百分比和总体中的百分比近似相同。
换句话说，随机抽样的样本能很好地反映总体的状况。
随机取样为什么具有代表性。
这正好是我们前面所说的，概率统计学研究的对象，就是这个随机性，就是不确定性现象，所以从最开始接触总体和样本这两个基本概念的时候，我们老师就要意识到这个随机性，在抽样方法的学习过程中，应该讲到随机取样，随机性的作用，保证这个样本具有代表性，这样的话才能正确的理解这个概念，以及它和以往不同概念之间的差别，否则的话，我们方法介绍了，学生会操作方法，但不知道这方法为什么如此去用，也就谈不到在生活中灵活使用了。
那么如何随机取样呢?
随机取样不是很容易做到的。
比如说你随机抛一枚一元硬币，某个面向上的次数有可能多于二分之一。
说是随机抛，但是由于出手的角度、高度等因素，其实抛出来的结果也是很不随机的，所以随机性这一点呢，问题看似简单，但做到也还是很困难的一件事，这一点是我们老师要注意的。
像这样的问题，要让学生了解，在初中也没必要去深究。
但是应该让学生在具体情境中了解由于所取的样本不同，将会导致统计结论的差异。
例如：
某校要了解初中学生课余体育锻炼的时间，以便改进集中体育活动的时间，请学生做调查。
首先要根据学校的学生总数，确定样本容量，容量太小，不具有代表性，容量太大，费时费力；其次，要选择调查的地点，应尽可能涉及到各类学生，比如图书馆、运动场等，仅在一个地方调查，很容易缺乏代表性，比如只选择运动场，一定会得出结论，学生的每天运动时间过长，反之，只在图书馆做调查，一定会得到锻炼时间严重不足的结论。
此外，还要考虑到各年级的学业负担不同而导致业余时间不同，因此应分年级调查等，可见，在抽样的过程中，要考虑的因素非常多，也比较复杂。
初中阶段让学生明确取样时要结合调查的目的，确定调查对象以及调查方法，使之尽可能的具有代表性即可。
（三）统计量含义的理解
1．难点
初中生对统计量的计算不觉得困难，但是如果有较长的时间不使用，大部分学生就会出现遗忘的现象，更甭提灵活运用了，究其原因是对统计量的含义的理解不够到位。
这其中表现最突出的就是方差了。
例如，今年北京市中考题第7题：
10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高（单位：
cm）如下表所示：
队员1
队员2
队员3
队员4
队员5
甲队
177
176
175
172
175
乙队
170
175
173
174
183
题目要求比较二人的平均数及方差。
对于平均数，由于学生小学就非常熟悉，而且这是一个生活中常用的概念，所以学生采用估值法或是直接计算等方法都很容易得到相等的结论，而对于方差的比较，有的学生想用方差公式计算，但忘了公式或代入公式后计算有误。
实质上，只要明确方差的作用是刻画数据的波动状态，认真分析两组数据，就很容易得到乙队的数据波动较大，所以选B选项，根本不需要计算，省时、省力、还不容易出错。
2．解决策略
在统计的教学中，重点不是要求学生背公式，熟练计算，而是要淡化统计量的计算技巧，突出统计量的特征和作用。
避免将这部分内容的学习变成单纯的统计量的计算。
注意让学生弄清每个统计量的含义及作用。
作为概念课的教学，“概念产生背景的合理性和应用性”是激发学生自主学习新概念的突破口。
所以要设置合理的问题情境，使每一个概念来源于生活，反之应用于生活，学生才能有比较深刻的体会。
例如对于方差概念的教学，我是这样设计的：
首先，我出示了一组2008年我国奥运冠军在领奖台上的组图，用以吸引学生的注意力，同时由于本届奥运会我国成绩辉煌，这一引入也有利于激发学生的民族自豪感。
在此基础上指出：
冠军的背后还有杰出的教练，从而引入射击冠军杜丽及队友的预赛射击成绩：
顺序环数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
杜丽
8.5
10.0
10.8
9.9
10.0
10.0
10.0
10.3
10.2
10.3
武柳希
9.0
10.7
9.2
10.0
10.6
9.4
10.5
10.8
10.0
9.8
让学生利用数据分析两人谁更具优势。
将教学内容转化为具有潜在意义的问题。
由于学生已学过用平均数、众数、中位数分析数据，并且平均数在生活中较为常用，所以学生能够很快地想到利用平均数来比较两人成绩。
在此安排学生用计算器进行计算，可以提高课堂效率。
通过计算，学生发现两人的平均数相同，继而考察众数与中位数，结果仍然相同。
怎么办？
让学生站到问题的前沿，使他们产生探索的欲望。
由于利用学过的统计量无法解决问题，所以引导学生借助图象直观的观察分析。
学生已学过统计图，明确折线图反映数据波动情况，所以能够主动地画出折线统计图，借助图形观察数据的波动情况，可以看到波动有大有小。
那么如何刻画波动大小呢？
以什么量为参照进行分析更合理呢？
引导学生分析此时关注的是所有数据的波动情况，而平均数是与所有数据有关的量，表示所有数据的平均水平，所以学生想到选取平均数为参照不会太困难。
要求学生在折线图上画出一条表示平均数的水平直线，再观察，你是否有新的发现？
借助图象可以直观的感受每个数据在平均数上下波动，与平均数的偏差有大有小。
那么如何从数量上得到两组数据的差异?
在此充分注意培养学生数形结合的思想。
这一问有一定的难度，所以在此，我安排了学生独立思考后的小组讨论，使学生在交流中相互激发灵感，有利于对知识的理解。
学生交流后，请大家发表观点。
可能有人提出:
算出他们每个人的成绩偏离平均数的差的平均数。
教师不急于否定，让学生动笔计算，得到0，为什么会这样呢？
学生思考后阐述原因，这一点结合图象很容易理解。
那么，有什么办法克服正负抵消呢？
根据已有知识思考，学生由数据偏离平均数的距离，能够联想到绝对值，他们借助计算器计算，得到
学生利用数据比较分析得出：
杜丽的成绩偏离平均数的平均距离较小，也就是波动小，成绩相对稳定。
我进一步引导学生，为什么要取距离的平均数，只求和行不行？
学生思考后，请他们举例说明。
（当比较的两组数据个数不同时利用总和进行比较就不合理了。
）在此基础上得到数据距离平均数的平均距离：
即每个数据与平均数的差的绝对值的平均数。
我让学生尝试借助例题写出计算公式后分析它的作用：
反映数据波动的大小。
此时教师指出：
在后续学习中，要用到公式变形，而平均距离要取绝对值，不便于公式变形，所以统计中很少用。
那么，还有什么办法可以避免正负抵消呢？
联想已学的两个非负数，除绝对值外还有平方数，请学生尝试用平方替代绝对值计算：
通过比较数据，你能得到什么结论？
让学生利用数据分析的同时感受这种方式可以从数量角度说明数据的波动大小，然后让学生观察式子运算特征并归纳出计算方法：
（1）先求平均数；
（2）再求数据与平均数差的平方；
（3）求平方和的平均数。
在此基础上，要求学生从特殊到一般推出方差公式。
（你能结合这个例子，完成下面的问题吗？
）
设
是n个数据x1，…，xn的平均数，各个数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这n个数据的方差（variance），用“s2”表示。
你能写出“s2”的计算公式吗？
由于有前面具体问题的分析，对于学生来讲，得到方差公式并不困难。
，得到公式后，引导学生分析公式中各量的含义及运算特征并请学生说出方差的作用：
描述一组数据波动大小（离散程度）。
即：
方差的值越小，数据波动越小；方差的值越大，数据波动越大。
也用他来描述数据偏离平均数的情况，即刻画离散程度。
为了培养学生类比分析的能力，我要求学生将方差与已学平均数等统计量进行比较，得到：
平均数、众数、中位数是描述数据的集中趋势，方差表示数据的波动大小。
注：
这里应强调，比较两组数据的波动大小时，一般以两组数据的平均数相等或比较接近为前提。
我想补充一点：
京教版教材中关于方差的概念引例为射击比赛的环数，先介绍的是极差，然后才是方差，在此，一般都会采用描点法分析，而当所有的环数转化为图中的点时，学生的第一感觉就是点的位置有高有低，像波浪起伏，此时借机让学生想办法描述点的波动状态，从而逐步引入方差，学生体会深刻，对方差的作用印象深刻，再加上后面的巩固应用，能达到比较好的理解效果。
而对于极差，可以放到后面，借助熟悉的温度差引入。
这样对教材顺序的调整，不仅顺应学生的思维，而且有利于突出重点，突破难点。
统计与概率作为新增内容，教材的编写也不是尽善尽美的，教师要开动脑筋，结合学生的具体情况，顺应学生的思维，对教材进行合理的整合，使学生充分体验概念的生成过程，加深对概念的理解。
三、概率的难点分析及解决策略
（一）建立“随机观念”
1．难点
随机现象是概率与统计部分重要的研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一个全新的观念。
特别是如果学生缺乏随机现象的丰富体验，往往很难建立这一观念。
造成概率学习中的困难。
2．解决策略
对初中生而言，理解不确定的现象、不确定的事件，我们强调实际事件，强调是在相同条件下做重复实验，但是实验的结果却不确定。
在实验之前，你是无法预料结果是哪一个，这样的结果，我们叫做随机；这样的实验，我们一般叫做随机实验。
关于结果，我们还要作进一步的区分：
（1）就是我们到现在为止，不知道这个结果是什么。
这属于未知的事件，比如说数学上“哥德巴赫猜想”对还是不对，到现在来说，我们也不知道这个哥德巴赫猜想是成立还是不成立，但是它要么就成立，要么就不成立，所以说没有随机性。
（2）你说火星上到底有没有人。
这也没有任何随机性。
要么就是有，要么就是没有。
无非是我不知道。
（3）一个硬币扔完了以后，我拿手盖上，我问你这是正面向上，还是反面向上。
由于这个实验已经做完了，它要么就是正面朝上，要么就是反面朝上。
但是现在它没有任何随机性，只是我拿手盖了以后你看不见。
如果你的眼睛像X光一样，你就立刻能知道结果。
所以，像这样的事情，客观已经定下来了，只是我还不知道，这样的事情不能叫做随机事件。
所以说，不知道的结果和随机的结果是有区别的两个概念。
还有些东西，也是不知道的。
比如说，本拉登还活着吗？
如果塔利班说，本拉登活的可能性是10%，死的是90%，像这样一些事件也是不确定现象。
但是，本拉登是否活着，这种不确定现象，它没有重复实验的意义，所以也不是概率研究的领域。
什么叫做随机现象，大千世界，不确定性的现象是非常多的。
中学统计和概率所研究的不确定现象，只是其中最简单的一种。
它强调的是条件确定，可以重复的这样的实验。
对其他的一些不确定性的现象，也是在自然界频繁发生的，现在由于知识储备，或者是能力水平还没有达到
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