气固与液固传质分离.docx

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气固与液固传质分离

第6章气固、液固传质分离过程

主要包括吸附、结晶和膜分离等。

一般都在低温和常温下进行，能耗较低，且在杂质含量较多或目的组分含量较少的体系中显示出显著的技术优势。

   吸附、结晶属于平衡分离过程，膜分离属速率分离过程。

6.1吸附分离过程

基本要求：

1、掌握的内容：

物理吸附、化学吸附概念，吸附剂的特性，吸附平衡的概念，气相单分子层物理吸附等温线。

2、熟悉的内容：

吸附剂的分类，吸附过程与吸附过程速率控制。

3、了解的内容：

气相双组分吸附等温线，液相中的吸附平衡，各种吸附操作及强化吸附过程的途径。

6．1．1概述

吸附：

当流体与多孔固体接触时, 流体中某一组分或多个组分在固体表面处产生积蓄, 此现象称为吸附。

吸附物、吸附剂：

在固体表面积蓄的组分称为吸附物或吸附质（adsorbate），多孔固体称为吸附剂（adsorbent）。

吸附操作：

利用某些多孔固体有选择地吸附流体中的一个或几个组分，从而使混合物分离的方法称为吸附操作，它是分离和纯净气体和液体混合物的重要单元操作之一。

实际上，人们很早就发现并利用了吸附现象，如生活中用木炭脱湿和除臭等。

随着新型吸附剂的开发及吸附分离工艺条件等方面的研究，吸附分离过程显示出节能、产品纯度高、可除去痕量物质、操作温度低等突出特点，使这一过程在化工、医药、食品、轻工、环保等行业得到了广泛的应用，例如：

（1）气体或液体的脱水及深度干燥，如将乙烯气体中的水分脱到痕量，再聚合。

（2）气体或溶液的脱臭、脱色及溶剂蒸气的回收，如在喷漆工业中，常有大量的有机溶剂逸出，采用活性炭处理排放的气体，既减少环境的污染，又可回收有价值的溶剂。

（3）气体中痕量物质的吸附分离，如纯氮、纯氧的制取。

（4）分离某些精馏难以分离的物系，如烷烃、烯烃、芳香烃馏分的分离。

（5）废气和废水的处理，如从高炉废气中回收一氧化碳和二氧化碳，从炼厂废水中脱除酚等有害物质。

吸附的分类

物理吸附：

也称为范德华吸附，它是吸附质和吸附剂以分子间作用力为主的吸附。

化学吸附：

是吸附质和吸附剂以分子间的化学键为主的吸附。

6．1．2吸附剂及其特性

1．吸附剂

吸附分离的效果很大程度上取决于吸附剂的性能，工业吸附要求吸附剂满足以下要求：

（1）具有较大的内表面    吸附容量大；

（2）选择性高    吸附剂对不同的吸附质具有不同的吸附能力，其差异愈显著，分离效果愈好；

（3）具有一定的机械强度   抗磨损；

（4）有良好的物理及化学稳定性   耐热冲击，耐腐蚀；

（5）容易再生；

（6）易得，价廉。

吸附剂可分为两大类，一类是天然的吸附剂，如硅藻土、白土、天然沸石等。

另一类是人工制作的吸附剂，主要有活性炭、活性氧化铝、硅胶、合成沸石分子筛、有机树脂吸附剂等，下面介绍几种广泛应用的人工制作的吸附剂。

（1）活性炭

活性炭是最常用的吸附剂。

它具有非极性表面，比表面积较大，化学稳定性好，抗酸耐碱，热稳性高，再生容易。

合成纤维经炭化后可制成活性炭纤维吸附剂，使吸附容量提高数十倍，因活性炭纤维可以编制成各种织物，流体流动阻力减少。

活性炭也可加工成炭分子筛，具有分子筛的作用，常用于空气分离制氮、改善饮料气味、香烟的过滤嘴等场合。

（2）硅胶

    硅胶的分子式通常用SiO2•nH2O表示。

它的比表面积达800 m2/g。

工业用的硅胶有球型、无定形、加工成型和粉末状四种。

硅胶是亲水性的极性吸附剂，对不饱和烃、甲醇、水分等有明显的选择性。

主要用于气体和液体的干燥、溶液的脱水。

（3）活性氧化铝

活性氧化铝是一种极性吸附剂，对水分有很强的吸附能力。

其比表面积约为200～500 m2/g，用不同的原料，在不同的工艺条件下，可制得不同结构、不同性能的活性氧化铝。

活性氧化铝主要用于气体的干燥和液体的脱水，如汽油、煤油、芳烃等化工产品的脱水；空气、氦、氢气、氯气、氯化氢和二氧化硫等气体的干燥。

（4）合成沸石分子筛

沸石分子筛是指硅铝酸金属盐的晶体，它是一种强极性的吸附剂，对极性分子，特别是对水有很大的亲和能力，它的比表面积可达750 m2/g，具有很强的选择性。

常用于石油馏分的分离、各种气体和液体的干燥等场合，如从混合二甲苯中分离出对二甲苯，从空气中分离氧。

（5）有机树脂吸附剂

有机树脂吸附剂是高分子物质，它可以制成强极性、弱极性、非极性、中性，广泛用于废水处理、维生素的分离及过氧化氢的精制等场合。

2．吸附剂的性能：

吸附剂具有良好的吸附特性，主要是因为它有多孔结构和较大的比表面积，下面介绍与孔结构和比表面积有关的基础性能。

（1）密度

 1）填充密度B（又称体积密度） 是指单位填充体积的吸附剂质量。

通常将烘干的吸附剂装入量筒中，摇实至体积不变，此时吸附剂的质量与该吸附剂所占的体积比称为填充密度。

2）表观密度P（又称颗粒密度）  定义为单位体积吸附剂颗粒本身的质量。

3）真实密度t  是指扣除颗粒内细孔体积后单位体积吸附剂的质量。

（2）吸附剂的比表面积

吸附剂的比表面积是指单位质量的吸附剂所具有的吸附表面积，㎡／g。

吸附剂孔隙的孔径大小直接影响吸附剂的比表面积，孔径的大小可分三类：

大孔、过渡孔、微孔。

吸附剂的比表面积以微孔提供的表面积为主，常采用气相吸附法测定。

（3）吸附容量

吸附容量是指吸附剂吸满吸附质时的吸附量（单位质量的吸附剂所吸附吸附质的质量），它反映了吸附剂吸附能力的大小。

吸附量可以通过观察吸附前后吸附质体积或质量的变化测得。

也可用电子显微镜等观察吸附剂固体表面的变化测得。

6．1．3 吸附平衡 

平衡吸附量：

当温度、压强一定时，吸附剂与流体长时间接触，吸附量不再增加，吸附相（吸附剂和已吸附的吸附质）与流体达到平衡，此时的吸附量为平衡吸附量。

吸附等温线：

吸附平衡关系常用不同温度下的平衡吸附量与吸附质分压或浓度的关系表示，其关系曲线称为吸附等温线。

1．气相的吸附等温线

（1）气相单组分吸附平衡

1）单分子层物理吸附

假设吸附剂表面均匀，被吸附的分子间无作用，吸附质在吸附剂的表面只形成均匀的单分子层，则吸附量随吸附质分压的增加平缓接近平衡吸附量。

如在－193℃下，氮在活性炭上的吸附，其吸附等温线如图9-6中Ⅰ所示。

2）多分子层吸附

假设吸附分子在吸附剂上按层次排列，已吸附的分子之间作用力忽略不计，吸附的分子可以累叠，而每一层的吸附服从朗格谬尔吸附机理，此吸附为多分子层吸附。

如在30℃下水蒸汽在活性炭上的吸附，其吸附等温线见图9-6中Ⅱ。

3）其他情况下的吸附等温曲线

也有人认为吸附是因产生毛细管凝结现象等所致，其吸附等温线如图9-6中Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ所示。

（2）气相双组分吸附

当吸附剂对混合气体中的两个组分吸附性能相近时，可认为是双组分的吸附。

此情况下吸附剂对某一组分的吸附量不仅与温度、压强有关，还随混合物组成的变化而变化。

通常温度升高、压力下降会使吸附量下降，图9-7反映了用石墨炭吸附CFCl3－C6H6混合气体，气相组成对吸附量的影响。

可以看出，某组分在吸附相和气相中摩尔分数的关系与精馏中某组分在气液两相摩尔分数的关系非常相似。

2．液相中的吸附平衡

（1）液相单组分吸附平衡

当吸附剂对溶液中溶剂的吸附忽略不计时，构成了液相单组分的吸附，如用活性碳吸附水溶液中的有机物。

Giles等人根据等温吸附曲线初始部分斜率的大小，把液相单组分吸附等温线分为S、L、H、C四大类型，而每一类型又分成5族，见图8-8，图中横坐标为组分在液相中的浓度，纵坐标为组分的吸附量。

S型表示被吸附分子在吸附剂表面上成垂直方位吸附。

L型的吸附即朗格谬尔吸附，是指被吸附分子在吸附剂表面呈平行状态。

H型的吸附是吸附剂与吸附质之间高亲合力的吸附。

C型是吸附质在溶液中和吸附剂上有一定分配比例的吸附。

（2）液相中双组分的吸附平衡

含吸附质A和B的溶液与新鲜的吸附剂长时间接触后，吸附量不再增加，吸附达到平衡。

此情况下的吸附等温曲线一般呈U型或S型。

U型是在吸附过程中吸附剂始终优先吸附一个组分的曲线，如用－Al2O3吸附CH3Cl－苯溶液，CH3Cl被优先吸附。

S型为溶质和溶剂吸附量相当情况，如用炭黑吸附乙醇－苯溶液，在乙醇摩尔分数为0～0.4的范围内，乙醇优先吸附，而在0.4～1的范围内，苯优先吸附。

6．1．4吸附过程与吸附速率的控制

吸附速率是设计吸附装置的重要依据。

吸附速率：

是指当流体与吸附剂接触时，单位时间内的吸附量，kg/s。

 吸附速率与物系、操作条件及浓度有关，当物系及操作条件一定时，吸附过程包括以下三个步骤：

（1）吸附质从流体主体以对流扩散的形式传递到固体吸附剂的外表面，此过程称为外扩散。

（2）吸附质从吸附剂的外表面进入吸附剂的微孔内，然后扩散到固体的内表面，此过程为内扩散。

（3）吸附质在固体内表面上被吸附剂所吸附，称为表面吸附过程。

通常吸附为物理吸附，表面吸附速率很快，故总吸附速率主要取决于内外扩散速率的大小。

外扩散控制的吸附：

当外扩散速率小于内扩散速率时，总吸附速率由外扩散速率决定，此吸附为外扩散控制的吸附。

内扩散控制的吸附：

当内扩散速率小于外扩散速率时，此吸附为内扩散控制的吸附，总吸附速率由内扩散速率决定。

6．1．5吸附操作

吸附分离过程包括吸附过程和解吸过程。

由于需处理的流体浓度、性质及要求吸附的程度不同，故吸附操作有多种形式。

1．接触过滤式操作

该操作是把要处理的液体和吸附剂一起加入到带有搅拌器的吸附槽中，使吸附剂与溶液充分接触，溶液中的吸附质被吸附剂吸附，经过一段时间，吸附剂达到饱和，将料浆送到过滤机中，吸附剂从液相中滤出，若吸附剂可用，经适当的解吸，回收利用之。

因在接触式吸附操作时，使用搅拌使溶液呈湍流状态，颗粒外表面的膜阻力减少，故该操作适用于外扩散控制的传质过程。

接触过滤吸附操作所用设备主要有釜式或槽式，设备结构简单，操作容易。

广泛用于活性炭脱除糖液中的颜色等方面。

2．固定床吸附操作

固定床吸附操作是把吸附剂均匀堆放在吸附塔中的多孔支承板上，含吸附质的流体可以自上而下流动，也可自下而上流过吸附剂。

在吸附过程中，吸附剂不动。

通常固定床的吸附过程与再生过程在两个塔式设备中交替进行，如图9-9所示，•；表示阀门关闭，o表示阀门打开。

吸附在吸附塔1中进行，当出塔流体中吸附质的浓度高于规定值时，物料切换到吸附塔2，与此同时吸附塔1采用变温或减压等方法进行吸附剂再生，然后再在塔1中进行吸附，塔2中进行再生，如此循环操作。

固定床吸附塔结构简单，加工容易，操作方便灵活，吸附剂不易磨损，物料的返混少，分离效率高，回收效果好，故固定床吸附操作广泛用于气体中溶剂的回收、气体干燥和溶剂脱水等方面。

但固定床吸附操作的传热性能差，且当吸附剂颗粒较小时，流体通过床层的压降较大，因吸附、再生及冷却等操作需要一定的时间，故生产效率较低。

3．移动床吸附操作

移动床吸附操作是指待处理的流体在塔内自上而下流动，在与吸附剂接触时，吸附质被吸附，已达饱和的吸附剂从塔下连续或间歇排出，同时在塔的上部补充新鲜的或再生后的吸附剂。

与固定床相比，移动床吸附操作因吸附和再生过程在同一个塔中进行，所以设备投资费用少。

4．流化床吸附操作及流化床－移动床联合吸附操作

流化床吸附操作是使流体自下而上流动，流体的流速控制在一定的范围，保证吸附剂颗粒被托起，但不被带出，处于流态化状态进行的吸附操作。

该操作的生产能力大，但吸附剂颗粒磨损程度严重，且由于流态化的限制，使操作范围变窄。

流化床－移动床联合吸附操作将吸附再生集一塔，如图9-10所示。

塔的上部为多层流化床，在此原料与流态化的吸附剂充分接触，吸附后的吸附剂进入塔中部带有加热装置的移动床层，升温后进入塔下部的再生段。

在再生段中吸附剂与通入的惰性气体逆流接触得以再生。

最后靠气力输送至塔顶重新进入吸附段，再生后的流体可通过冷却器回收吸附质。

流化床—移动床联合吸附床常用于混合气中溶剂的回收、脱除CO2和水蒸汽等场合。

该操作具有连续、吸附效果好的特点。

因吸附在流化床中进行，再生前需加热，所以此操作存在吸附剂磨损严重、吸附剂易老化变性的问题。

5．模拟移动床的吸附操作

 为兼顾固定床装填性能好和移动床连续操作的优点，并保持吸附塔在等温下操作，便于自动控制，设计一有许多小段塔节组成的塔，每一塔节都有进出物料口，采用特制的多通道（如24通道）的旋转阀，靠微机控制，定期启闭切换吸附塔的进出料液和解吸剂的阀门，使各层料液进出口依次连续变动与四个主管道相连，这四个主管道是进料（A＋B）管、抽出液（A+D）管、抽余液（B+D）管和解吸剂（D）管，见图9-11。

一般整个吸附塔分成四个段：

吸附段、第一精馏段（简称一精段）、解吸段和二精段，见模拟移动床吸附分离操作示意图9-12。

在吸附段内进行的是A组分的吸附，混合液从下向上流动，与已吸附着解吸剂D的吸附剂逆流接触，组分A与D进行吸附交换，随着流体向上流动，吸附质A和少量的B不断被吸附，D不断被解吸，在吸附段出口溶液中主要为组分B和D，作为抽余液从吸附段出口排出。

在一精段内完成A组分的精制和B组分的解吸，此段顶部下降的吸附剂与新鲜溶液接触，A和B组分被吸附，在该段底部已吸附大量A和少量B的吸附剂与解吸段上部流入的流体（A＋D）逆流接触，由于吸附剂对A的吸附能力比B组分强，故吸附剂上少量的B被A置换，B组分逐渐被全部置换出来，A得到精制。

在解吸段内完成组分A的解吸，吸附大量A的吸附剂与塔底通入的新鲜解吸剂D逆流接触，A被解吸出来作为抽出液，再进精馏塔精馏得到产品A及解吸剂D。

二精段目的在于部分回收D，减少解吸剂的用量。

从解吸段出来的只含解吸剂D的吸附剂，送到二精段与吸附段出来的主要含B的溶液逆流接触，B和D在吸附剂上置换，组分B被吸附，D被解吸出来，并与新鲜解吸剂一起进入吸附段形成连续循环操作。

从以上操作看，在吸附塔内形成流体由下向上，固体由上向下反方向的相对运动，每一小段床层是静止不动的小固定床，吸附塔内的吸附剂固体整体和流体是连续移动的，这就是模拟移动床吸附分离过程。

应用模拟移动床吸附分离混合物最早始于从混合二甲苯中分离对二甲苯，之后应用于从煤油馏分中分离出正构烷烃，以及C8芳烃中分离已基苯等等，解决了有些体系用精馏和萃取等方法难分离的困难。

6．1．6吸附过程的强化

强化吸附过程可以从两个方面入手，一是对吸附剂进行开发与改进，二是开发新的吸附工艺。

1、吸附剂的改性与新型吸附剂的开发

吸附效果的好坏及吸附过程规模化与吸附剂性能的关系非常密切，尽管吸附剂的种类繁多，但实用的吸附剂却有限，通过改性或接枝的方法可得到各种性能不同的吸附剂，工业上希望开发出吸附容量大、选择性强、再生容易的吸附剂，目前大多数吸附剂吸附容量小限制了吸附塔的处理能力，使得吸附过程频繁地进行吸附、解吸和再生。

近期开发的较新型吸附剂如炭分子筛、活性炭纤维、金属吸附剂和各种专用吸附剂不同程度地解决了吸附容量小和选择性弱的缺憾，使的某些有机异构体、热敏性物质、性能相近的混合物分离成为可能。

2、开发新的吸附分离工艺

    随着食品、医药、精细化工和生物化工的发展，需要开发出新的吸附分离工艺，吸附过程需要完善和大型化已成为一个重要问题。

吸附分离工艺与再生解吸方法有关，而再生方法又取决于组分在吸附剂上吸附性能的强弱和进料量的大小等因素，随着各种性能良好的吸附剂的不断开发，吸附分离工艺也得以迅速发展，如大型工业色谱吸附分离生产胡萝卜素、叶黄质和叶绿素。

快速变压吸附工艺制造航空高空飞机用氧。

参数泵吸附分离用于分离血红蛋白-白蛋白体系、酶及处理含酚废水等。

 6.2结晶

6.2.1粒状晶体的特征

6.2.2结晶基础

6.2.3结晶器简介

 6.3膜分离

膜分离：

以天然或合成薄膜为质量分离剂，以压力差、化学位差等为推动力，根据液体或气体混合物的不同组分通过膜的渗透率的差异实现组分的分离、分级、提纯或富集的过程。

图6-35膜分离过程示意图

6.3.1膜

膜：

两相之间的一个不连续区间，它以特定的形式控制着物质的传递。

基本特性：

（1）至少必须具有两个界面；

（2）具有选择透过性。

一、膜的分类和结构形态

表6-8膜的分类

依据

类型

来源

状态

材料

高分子类型

结构形态

孔径大小

电性

形状

制备方法

天然膜、合成膜

固膜、液膜、气膜

高分子膜、无机膜、高分子－无机杂化膜

玻璃态膜、橡胶态膜、结晶态膜

对称膜、不对称膜（非对称膜、复合膜）

多孔膜、致密膜（无孔膜，均质膜）

非荷电膜、荷电膜

平板膜、管式膜、中空纤维膜

相转化膜、烧结膜、拉伸膜、径迹刻蚀膜、溶出膜

图6-36膜的断面结构形态示意

二、膜材料选择

选择依据：

膜材料本身的物理化学性质，以及膜材料与分离体系中组分间的相互作用。

溶解度参数选择法、Lansdale膜材料选择法、高效液相色谱法、膜材料含水率法、分子模拟法等。

溶解度参数法：

组分的溶解度参数与高分子材料的溶解度参数越接近，两者的亲和性越强，则组分在该高分子材料中的溶解度越大，该高分子材料的溶胀程度也越大。

需要说明的是，由于溶解度参数选择法只考虑了分离体系中某一种组分与膜材料之间的二元相互作用，未考虑分离体系中两个或两个以上组分同时与膜相互作用以及分离体系中各组分之间的相互作用，因此应用也有一定的局限性。

常用有机膜材料：

纤维素衍生物、聚砜类、乙烯类高分子、含硅高分子、聚烯烃（聚乙烯、聚丙烯等）、聚酰胺类及杂环含氮高聚物（最常用的是聚酰亚胺、含氟高分子（聚四氟乙烯等）。

常用无机膜：

陶瓷膜、微孔玻璃膜、金属膜和碳分子筛膜。

三、膜的制备方法

（1）高分子膜的制备

相转化法：

用溶剂、溶胀剂与高分子膜材料制成铸膜液，刮制成膜后，通过L-S（Loeb-Sourirajan）法、热凝胶法、溶剂蒸发法、水蒸气吸入法等使均相的高分子溶液沉淀转化为两相，一相为固相——高分子富相，形成膜的网络结构；另一相为液相——高分子贫相，形成膜孔。

其他方法：

定向拉伸法、核径迹法（痕迹刻蚀法）、熔融挤压法、溶出法等。

复合膜常用的制备方法：

溶液浸涂或喷涂、界面聚合、原位聚合（单体催化聚合、就地聚合）、等离子聚合、水面展开法等。

（2）无机膜的制备

烧结法、溶胶-凝胶法、化学提取法、高温分解法、化学气相沉积法、电化学沉积法等。

四、膜的分离性能

（1）选择性

   1）脱除率或截留率：

 式中cb、cp分别为被分离物系高压侧主体、膜界面处和透过液浓度。

   2）分离因子（分离系数）：

或

式中xi、yi表示原料液（气）与透过液（气）中组分i的摩尔分率或质量分率。

（2）透过性

   单位时间内通过单位膜面积的透过物的量：

 式中V为透过液的容积或质量；S为膜的有效面积；t为运转时间。

（3）通量衰减系数（m）

或

式中Jt、Jl为膜运转t小时和l小时后的渗透通量；t为运转时间。

五、膜中的传递过程

膜孔中主体流动      膜孔中扩散     膜孔中受阻扩散   致密膜中溶解扩散

图6-37膜中的传递过程机理（假定流动方向向下）

筛分机理假定膜的表面具有无数微孔，膜的孔径分布比较均一，依据分子大小的差异，大于膜孔径的分子被截留，而小于膜孔径的分子可以穿过膜介质达到分离的目的。

筛分机理通常应用于超滤、微滤过程中。

溶解-扩散机理假设溶质和溶剂都能溶解于膜中，然后各自在浓度差或压力差造成的化学位差推动下扩散通过膜，再从膜下游解吸。

溶质和溶剂在膜相中溶解度和扩散性的差异强烈地影响着它们的通量大小。

溶解-扩散机理最适用于应用致密膜的分离过程。

孔流模型是将流体通过膜孔的流动视为毛细管内的层流，其流速可用Hagen-Poiseuille（均匀圆柱孔）或Darcy定律（复杂结构孔）表示。

[例6-6]

6.3.2膜组件

（1）膜组件：

将膜、固定膜的支撑材料、间隔物或管式外壳等通过一定的粘合或组装构成的一个单元。

对膜组件的一般要求：

   ①原料侧与透过侧的流体有良好的流动状态，以减少返混、浓差极化和膜污染；

   ②具有尽可能高的装填密度，使单位体积的膜组件中具有较高的有效膜面积；

   ③对膜能提供足够高的机械支撑，密封性良好，膜的安装和更换方便；

   ④设备费和操作费低；

   ⑤适合特定的操作条件，安全可靠，易于维修等。

膜组件主要型式：

板框式、螺旋卷式、管式、中空纤维。

（a）板框式组件                           （b）螺旋卷式膜组件

  （c）管式膜组件                     （d）中空纤维式膜组件

                  图6-39膜组件的四种常见型式

                        表6-9四种膜组件的性能比较

项目               螺旋卷式      中空纤维       管式       板框式

填充密度（m2/m3）    200~800       500~30000     30~328      30~500

流动阻力            中等            大           小         中等

抗污染              中等            差          极优         好

易清洗              较好            差           优          好

膜更换方式          组件           组件       膜或组件       膜

组件结构            复杂           复杂         简单      非常复杂

膜更换成本          较高           较高          中          低

料液预处理          需要           需要        不需要       需要

高压操作            适合           适合         困难        困难

相对价格            较高            低          较高         高

（2）膜组件中的流型

图6-40膜组件中理想流型示意图

a.理想混合；b.逆流；c.并流；d.错流

（3）膜组件的级联

图6-42膜组件多级逆流循环

（4）浓差极化

膜传质过程中，靠近膜表面的边界层处会存在浓度梯度或分压差，对于给定的主体流体浓度，边界层阻力的存在降低了膜分离的传质推动力，渗透物的通量也降低。

由于传质阻力而引起边界层组分浓度的增加或降低的现象被称为浓差极化。

以超滤为例：

图6-43超滤过程的浓差极化

稳态超滤的物料平衡式：

 （6-147）

边界条件：

z=0,c=cb;z=δ,c=cm,

积分：

（6-148）

以摩尔浓度表示的浓差极化方程：

 （6-149）

定义传质系数k=D/δ，当

＜＜

和

时：