北师版文数高考一轮复习 第1章 第2节 命题及其关系充分条件与必要条件.docx

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北师版文数高考一轮复习第1章第2节命题及其关系充分条件与必要条件

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

[考纲传真]　1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

（对应学生用书第3页）

[基础知识填充]

1．命题

可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题，其中判断为真的叫做真命题，判断为假的叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

图121

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

（3）如果pD

q，且qD

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

[知识拓展]

1．充分条件、必要条件的两个结论

（1）若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；

（2）若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．

2．充分条件、必要条件与集合的关系

p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B

p是q的充分条件

A⊆B

p是q的必要条件

B⊆A

p是q的充分不必要条件

AB

p是q的必要不充分条件

BA

p是q的充要条件

A＝B

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）“x2＋2x－3<0”是命题．（　　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（　　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　　）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．（　　）

[解析]　

（1）错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．

（2）错误．否命题既否定条件，又否定结论．

（3）正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．

（4）正确．原命题与逆否命题是等价命题．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2．（教材改编）命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A．若α≠

，则tanα≠1

B．若α＝

，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠

D．若tanα≠1，则α＝

C　[“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：

tanα≠1，綈p：

α≠

，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠

”．]

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

A　[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B．

但A⊆B时，a＝2或3.

∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]

4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）【导学号：

00090004】

A．1　　　　B．2

C．3　　　　D．4

B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．

因此4个命题中有2个假命题．]

5．（2017·天津高考）设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[∵2－x≥0，∴x≤2.

∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.

∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2，

∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．

故选B．]

（对应学生用书第3页）

四种命题的关系及其真假判断

（1）命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为（　　）

A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

（2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，假，真　B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

（1）C　

（2）B　[

（1）根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．

（2）由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．

当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．]

[规律方法]　1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．

2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．

3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．

[变式训练1]　

（1）某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（　　）

A．不拥有的人们会幸福

B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福

D．不拥有的人们不幸福

（2）原命题为“若

＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，真，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

（1）D　

（2）A　[

（1）等价命题即为逆否命题，故选D．

（2）由

＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an.

所以当

＜an时，必有an＋1＜an，

则{an}是递减数列．

反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，

从而有

＜an.

所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]

充分条件与必要条件的判断

（1）（2017·北京高考）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

（1）A　

（2）A　[

（1）法一：

由题意知|m|≠0，|n|≠0.

设m与n的夹角为θ.

若存在负数λ，使得m＝λn，

则m与n反向共线，θ＝180°，

∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|<0.

当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．

故选A．

法二：

∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.

∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.

反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈

，

当〈m，n〉∈

时，m，n不共线．

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．

故选A．

（2）|x－2|＜1⇔1＜x＜3.

由于{x|1＜x＜2}是{x|1＜x＜3}的真子集，

所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分不必要条件．]

[规律方法]　充分条件、必要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

[变式训练2]　

（1）（2018·九江十校联考）已知函数f（x）＝

则“x＝0”是“f（x）＝1”的（　　）

【导学号：

00090005】

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

（2）（2018·东北三省四市联考）设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的

（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

（1）B　

（2）A　[

（1）若x＝0，则f（x）＝1，

若f（x）＝1，则ex＝1或ln（－x）＝1，解得x＝0或x＝－e.

故“x＝0”是“f（x）＝1”的充分不必要条件，故选B．

（2）a＞|b|能推出a＞b，进而得a3＞b3；当a3＞b3时，有a＞b，但若b＜a＜0，则a＞|b|不成立，所以“a＞|b|”是“a3＞b3”的充分不必要条件，故选A．]

充分条件、必要条件的应用

　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

[解]　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，

∴

∴0≤m≤3.

综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．

[母题探究1]　本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

∴

这样的m不存在．

[母题探究2]　本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P是S的充分不必要条件，

∴P⇒S且SD

P，

∴[－2,10][1－m,1＋m]，

∴

或

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．

[规律方法]　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

[变式训练3]　

（1）（2017·长沙模拟）已知命题p：

a≤x≤a＋1，命题q：

x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

（2）方程ax2＋2x＋1＝0（a∈R，a为常数）的解集只有一个负实根的充要条件是________．

（1）（0,3）　

（2）a≤0或a＝1　[

（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

∴

解得0

（2）当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，

∴原方程有一个负实根x＝－

.

当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根．

∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根．当方程有一正一负根时，则x1x2＜0，

∴

＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0；

当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1，符合题意．

综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤0或a＝1.]