1inputoutput table and models1.docx

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第一讲、投入产出表与模型

本讲内容

□投入产出实物表和价值表

□按行建立的数学模型

□按列建立的数学模型

□投入产出模型中的其他系数

□投入产出模型实例

投入产出模型：

以整个国民经济为描述对象，反映某一时间内（通常为一年）各产品（或部门）间投入与产出的内在联系。

表与模型：

每种模型均有两种表现形式，即投入产出表和与其对应的投入产出数学模型。

实物表与价值表：

按所使用的计量单位划分，它主要包括实物型和价值型两种

一、实物型与价值型投入产出表

1、实物表与价值表表式

实物表

价值表

价值表的量值均采用货币计量单位，使价值模型较实物模型发生了很大变化，其应用功能得到进一步的扩展

2、表的主栏和宾栏构成

（1）、主栏——投入栏

实物表：

这里只有物质产品投入，即产品生产中的各种物质消耗，共有n种产品；

价值表：

投入栏包括中间投入和初始投入。

在中间投入中列出1，2，…n经济部门

在初始投入中主要有折旧、劳动报酬、社会纯收入。

投入栏全面反映了物质投入和劳动投入。

（2）、宾栏——产出栏

产出栏表现经济部门的产品分配使用的去向

包括中间产品与最终产品

表的右端是总产品栏，它表示各实物产品的总产出量。

2、中间产品与最终产品

（1）、中间产品

它表示在确定时期内（通常以年度计）作为生产过程消耗使用的产品，这里同样有n种产品，另加一个“其他”项；

（2）、最终产品

·即本期不再返回生产过程的物质产品。

它包括：

·本年内永远或暂时脱离了生产过程的物质产品，如用于人们生活消费和社会消费的消费品（永远脱离生产）

·用于积累的产品（暂时脱离生产）

·用于出口的产品（脱离本国加工过程）。

问题：

投入产出表与GDP核算？

总产品、中间产品、最终产品概念与区别

中间产品=80+180+200=460

最终产品=20+20+100+500=640

总产品=100+200+300+500=1100

3、表的分块结构

实物表只有I、II两个象限，价值表有I、II、III、IV四个象限

（1）、第I象限：

称中间产品象限。

该象限的数据形成一个n阶矩阵，其对应的主、宾栏均有n种实物产品，它们分类相同、排列顺序一致，构成一个棋盘式表格

同一列元素，表示某种产品在生产中对全部n种产品的消耗量；

同一行元素，说明这种产品分配给哪些产品生产用去的数量。

第I象限每一元素qij和Ｘij都有两个含义：

从列向看表示j产品生产中对i产品的消耗量，从行向看表示i产品分配给j产品生产的使用量。

价值表与实物表不同，它除了表现生产技术特点外，还受到价格变动因素的影响，同时，价值表中都是可比较的价值量，可以表现出经济部门间比例关系

可见，第Ｉ象限表现了实物产品之间的生产、分配关系，因此说该象限反映了国民经济部门之间的技术经济联系，是该表的中枢部位。

（2）、第II象限：

最终产品象限

行向表示某产品作为最终产品使用的各种用项（如消费、积累、出口等）

列向表示某一用项的实物构成

可分析最终使用的构成，以及积累与消费间的比例关系

（3）、第III象限：

初始投入

第III象限是第I象限在纵向方向的延伸。

对应的是初始投入，主要包括折旧、劳动报酬和社会纯收入。

其中折旧是一个特殊的项目，在产品的价值形成过程中，它与第Ｉ象限的中间投入（物质产品与劳务消耗）共同构成转移价值，它又与劳动报酬、线收入一起组成初始投入，而后二者应属于新创造价值

主要表现生产部门的净产出，以及收入的初次分配。

列向合计称为部门增加值。

（4）、第IV象限

本应反映国民收入再分配的情况（折旧除外），但由于资金运动和再分配过程极其复杂，难以用限定的栏目充分、完善地表现它们，故通常将此象限省略。

4、表中元素间的数量关系

（1）、实物表同行元素可以加总

同行元素由于采用同样的计量单位，它们可以相加得到该产品的总产品量，即中间产品加最终产品等于总产品。

同列元素因为各是不同的实物产品，计量单位不统一，不能进行加总，这是实物表的一个重要特征。

（2）、价值表行向与列向均可以加总

5、实物表的第二种表式

它与第一种表式的区别主要是增加了III象限，即在投入栏目中增设了初始投入（最初投入）栏目。

增设的第III象限组成长方矩阵

其行向表示某项初始投入在各实物产品上的分布

列向表示某产品各种初始投入的量值及结构。

第III象限包括了大量的有用信息，它与第Ｉ象限结合起来，为全面开展实物产品的成本分析、效益分析以及计算单位实物产品上的价值指标，进而测算单价提供了条件。

二、按行建立的数学模型

由于实物型投入产出表只有行向合计关系，而价值型投入产出表则行向和列向都可以进行合计，因而实物型投入产出表基础上只能建立行向模型，而价值型投入产出表可同时建立行向又有列向模型

以下只是基于价值表来说明行向与列向模型的建立

1、价值表中的数量关系

（1）、水平方向

表现经济部门的产品分配使用的去向，各种用项之和等于总产出

中间产品＋最终产品＝总产品

（2）、纵列方向：

表示产品生产中的各种投入要素，这些要素的价值量之和即为总投入

中间投入＋初始投入＝总投入

（3）、价值表不仅可以从行向反映各经济部门的产品分配使用、实物运动的去向，而且还能够从列向表现各部门生产投入及价值形成过程。

它可以从双向考察和分析国民经济系统。

2、按行建立的数学模型

表示各生产部门对某经济部门产品的消耗量，加上该产品作为最终产品的使用量，得到这一部门产品的总产品量。

写成等式：

（2.2.1）

…

或采用求和符号写成

（i=1,2,……n）（2.2.1’）

上述产品平衡关系式表现了各产品的生产、分配关系

但各式之间的联系不够紧凑，它未形成一个有机联系的整体，所反映的数量关系简单化、表面化，有待进一步深化其关系。

为此，引入直接消耗系数。

3、引入直接消耗系数

（1）、直接消耗系数的含义

直接消耗系数是投入产出分析中的基本概念之一，其含义是生产某种单位产品对另一种产品的消耗量。

公式形式为：

（2.2.2）

分子为价值表第Ｉ象限的元素，表示j部门生产中对i产品所消耗的价值量，分母xj是价值表列向总计，为j部门的总投入量。

aij的含义则是j部门每单位产值中对i产品消耗的价值量。

实物型直接消耗系数表示j产品每生产一个单位实物产品对i产品消耗的实物量。

实际上，这是生产管理中经常使用的生产技术消耗定额。

如，生产一吨钢消耗生铁的数量、生产一吨煤消耗电力的度数，等等。

影响直接消耗系数大小的因素

1）、技术水平，管理水平

2）、部门内部的产品结构

3）、价格的相对变动

4）、需求与生产能力的利用程度

5）其他

（2）行模型中引入直接消耗系数

由式（2·2·2）导出：

将其代入（2·2·1'）式，则有：

（i=1,2,……n）

用矩阵向量形式记为：

Ａx＋y＝x（2·2·3）

此式为引入直接消耗系数的价值型数学模型。

式中Ａ为价值型直接消耗系数矩阵，Ｘ为价值型社会总产品（总产值）列向量，y为价值型的最终产品列向量。

经过类似实物模型的推导，可以得出引入完全消耗系数的数学模型：

Ｘ－ＡＸ＝y

表明总产品Ｘ扣除中间产品ＡＸ后即为最终产品y，而后导出：

（Ｉ－Ａ）Ｘ＝y（2·2·4）

Ｘ＝（Ｉ－Ａ）－1y（2·2·5）

Ｘ＝（Ｂ＋Ｉ）·y

上述模型被称为按行建立的价值型数学模型，或简称行模型。

利用它们可以在给定Ｘ时计算y，亦可先给去y去解Ｘ，模型模拟了国民经济系统总产品与最终产品的依存关系。

（3）引入A系数的意义：

1）把行与列联结起来，使平衡数量关系得以深化；

2）引入该系数后，即可将物质生产中的技术联系置入模型中，从而使模型不再局限于行向元素数量关系上，

3）把微观的技术定额与宏观的经济关系融为一体，加强了模型的有机联系和整体性，深化了数量关系

4）引入直接消耗系数矩阵Ａ后，可将个别的局部指标与全部产品的总量指标联系起来

（4）、（I-A）的经济含义

根据矩阵运算，上式可推出：

Ｑ－ＡＱ＝y

或（Ｉ－Ａ）Ｑ＝y（2·1·4）

n阶方阵（Ｉ－Ａ）经济含义：

分布在矩阵主对角线上的元素（1－aij），由于aii<1，故（1－aii）>0，元素均为正值，表示除去自身消耗的净产出

主对角线以外元素均为负数或零，反映单位产品的投入

不仅如此，还可进一步推出：

（2·1·5）

式中出现了（Ｉ－Ａ）的逆矩阵，其经济意义如何?

又引出了更深层次的数量关系。

4、完全消耗系数

（1）、完全消耗系数的含义

完全消耗系数是投入产出分析又一重要概念。

为理解它，首先要弄清楚什么是完全消耗?

所谓完全消耗，它应包括直接消耗和全部的间接消耗，如图2.1反映钢产品对电力的完全消耗。

钢对电的完全消耗示意图

图2.1中钢对电、生铁、煤、耐火砖、冶金设备（冶金设备对钢厂是折旧）均为直接消耗；

而这些产品在生产中又消耗电，钢通过生铁等产品传递的对电的消耗为第一间接消耗；

钢消耗生铁，生铁消耗铁矿石，铁矿石生产消耗电，这属于第二间接消耗，钢消耗煤，煤消耗坑木，坑木消耗电，也属于第二间接消耗，还可追下去有第三、四……各层次的间接消耗。

钢对电的完全消耗包括：

钢对电的直接消耗和钢通过各产品传递的各层次的全部间接消耗。

（2）、完全消耗系数的计算

完全消耗系数是指某产品j生产单位产品量对另一产品i的完全消耗量，记为bij

计算关系式应是：

完全消耗系数＝直接消耗系数＋全部间接消耗系数

要计算钢产品j对电产品i的完全消耗系数bij，首先包括钢对电的直接消耗系数aij，下一步应设法找出计算钢对电的全部间接消耗系数。

钢在生产中可能直接消耗1，2，3……n种产品，而这些产品又直接或间接消耗电。

钢产品j通过1号产品对电i的全部间接消耗bi1·a1j

生产一个单位钢消耗1号产品是a1j，而每一单位1号产品对电的完全消耗系数为bi1，那么钢产品通过1号产品对电的全部间接消耗系数应是bi1·a1j，

通过2号产品传递的全部间接消耗系数为bi2·a2j

以此类推则有bi3·a3j……bii·aij，一直到bin·anj

最后将各途径传递的间接消耗系数加总起来，则有图2.2。

bij＝aij＋bi1a1j＋bi2a2j＋…＋biiaij＋…＋binanj

该式准确地反映了完全消耗系数与直接消耗系数的数量关系

不足是无法由后者计算前者的任务，必须借助于矩阵运算才能实现。

上式矩阵形式表示为：

Ｂ＝Ａ＋ＢＡ

式中Ｂ为完全消耗系数矩阵，亦为n阶方阵，包括n*n个完全消耗系数

进一步推导：

以上是按j产品直接消耗的K产品作为传送中介计算全部间按消耗系数的方法被称为渠道法。

以下再介绍一种按照间接层次计算全部间接消耗系数的方法

（2·1·10）

于是，又找到另一种由Ａ计算Ｂ的计算公式。

式中Ａ^2是第一间接消耗系数，Ａ^3为第二间接消耗系数，以此推下去，为各层次的间接消耗系数，将它们加总得到全部间接消耗系数。

综上所述，引入完全消耗系数的数学模型为：

（2·1·11）

（3）、完全消耗系数与完全需要系数

矩阵Ｂ和（Ｉ－Ａ）^－1，既有联系，又有区别

1）从数学形式上比较

它们都是n阶方阵，在数量上后者比前者多含一个单位矩阵Ｉ，即只是在主对角线位置上的元素大1，两上矩阵的其余元素均对应相等

2）二者在经济意义上的差别在于

矩阵Ｂ是完全消耗系数，其元素bij表示j产品生产单位最终产品对i产品的完全消耗量（只是中间消耗）；其元素bij的含义

矩阵（Ｉ－Ａ）^－1习惯称之为列昂惕夫逆阵，其元素cij表示j部门生产单位最终产品对i产品的完全需要量，这里既包括对中间产品的需要，又包括了对最终产品自身的需要，即对总产品的完全需要，故叫作完全需要系数矩阵。

三、按列建立的数学模型

表中各列亦可建立数学模型，反映各部门投入要素的构成或价值形成过程。

这是实物模型无法做到的。

依据价值表列向数量关系建立如下等式：

可简写成：

（j=1,2,……n）

引入直接消耗系数后，即将Ｘij＝aijＸj代入上式 

为使模型简化，我们设：

则模型改写成：

（j＝1，2，……n）（2·2·7）

式中acj是直接消耗系数矩阵第j列元素的合计，称直接物质消耗系数，其含义是j部门生产单位产值对所有物质产品消耗量。

Ｎj为j部门初始投入或增加值总量

现将上式写成矩阵形式（2·2·8）

在给出直接消耗系数矩阵Ａ和总产品生产任务Ｘ之后，即可利用该模型计算相应的增加值Ｎ。

模型中Ａc的形式是：

（I-Ａc）的含义是单位产值中的增加值（或初始投入）。

上述列向模型对应的逆运算形式是：

Ｘ＝（Ｉ－Ａc）^－1·Ｎ（2·2·10）

模型中：

该矩阵元素的含义是提供单位增加值所需总产品的数量。

该数学模型可在确定增加值之后利用模型计算总产品量。

行模型与列模型的关系

各部门总投入应与相同部门的总产出相等

各部门总投入等于总使用

从经济总量看，各部门生产量之和应等于产出使用量之和

总投入合计等于总使用合计

最终产值的生产量与最终产品的使用量相等

第二与第三象限总量相等，但某部门的最终产值与该部门最终产品并不相等

四、投入产出模型中的其它主要系数

除了在建立数学模型时引入的系数矩阵Ａ、Ｂ、（Ｉ－Ａ）^－1和向量Ａc之外，还可计算如下系数：

劳动消耗系数、社会纯收入系数、折旧系数、分配系数。

1、折旧系数

直接折旧系数的计算公式为：

元素adj＝Ｄj/Ｘj（j＝1，2，……n）

式中dj表示j产品在生产过程中的固定资产折旧额，adj表示j产品单位实物产品中的折旧

向量表示为Ａd＝（ad1，ad2，……，adn）（2·2·11）

可通过（Ｉ－Ａ）－1计算完全折旧系数向量Ｂd

Ｂd＝Ａd（Ｉ－Ａ）^－1（2·2·14）

元素bdj表示j产品生产单位最终产品对固定资产折旧的完全消耗量

2、劳动消耗系数

（1）、直接劳动消耗系数（直接劳动报酬系数）

计算公式为：

元素avj＝Ｖj/Ｘj（j＝1，2，……n）（2·1·13）

式中vj为j产品的劳动报酬投入量，Xj是该产品的总产量，avj则是j产品单位实物产品的劳动报酬，即直接劳动消耗系数。

n种产品形成该系数的行向量Ａv，即Ａv＝（av1av2……avn）（2·2·12）

可通过（Ｉ－Ａ）－1计算完全劳动消耗系数向量Ｂv，

Ｂv＝Ａv（Ｉ－Ａ）^－1（2·1·14）

元素bvj表示j产品生产单位最终产品对劳动的完全消耗量（以劳动报酬计）

3、社会纯收入系数

直接社会纯收入系数计算公式为：

amj＝Ｍj/Xj（2·1·15）

（j＝1，2，……n）

表示j产品单位产品中的纯收入。

n种产品形成向量Ａm＝（am1am2……amn）。

与此相对应，还可计算相应的完全系数：

完全社会纯收入系数

Ｂm＝Ａm（Ｉ－Ａ）－1（2·1·16）

5、价值型表系数之间的关系

与实物模型不同，它们相互之间有如下数量关系：

Ａc＋Ａd＋Av+Ａm＝Ｉ（2·2·17）

Ｂc＝Ａc（Ｉ－Ａ）^－1（2·2·18）

Ｂc为完全物质消耗系数，

或Ｂc＝ＩＡ（Ｉ－Ａ）^－1＝ＩＢ（2·2·19）

Ｂd＋Ｂv＋Ｂm＝（Ａd＋Ａv＋Ａm）（Ｉ－Ａ）^－1

＝（Ｉ－Ａc）（Ｉ－Ａ）－1

＝Ｉ（Ｉ－Ａ）（Ｉ－Ａ）－1

＝Ｉ（2·2·20）

经济含义:

每一部门的总产值等于完全工资、完全利润、完全税收和完全折旧之和，即没有中间投入部分。

　　　　　　　　　钢材

　　　　　　　　　　　　　　原油　　　工资

　　　　　　　　　　　　　　工资　　　利税

　　　　　　　　　　化肥　　利税　　　折旧

　　　　　　　　　　工资　　折旧

　　　　　　　　　　利税

　　　　　　种籽　　折旧

　　　　　　化肥

农业　　　　商业

总产值　　　工资

　　　　　　利税

　　　　　　折旧

最终我们有：

农业总产值＝完全工资＋完全折旧＋完全利税

Ｂc＋Ｂd＋Ｂv＋Ｂm＝ＩＢ＋Ｉ＝Ｉ（Ｂ＋Ｉ）

＝Ｉ（Ｉ－Ａ）－1（2·2·21）

6、分配系数

计算公式为：

rij＝qij/Ｑi（2·1·12）

（i，j＝1，2，……，n）

分配系数rij是以实物表第Ｉ象限元素为分子，以同行元素对应的总产品为分母计算得到的

分配系数矩阵：

可计算n*n个，组成n阶方阵Ｒ

由于分子、分母采用同一种实物计量单位，故该系数仅是一比值

含义：

是i产品分配给j产品中间消耗使用量在总产出量中所占的比例

利用价值表也可计算分配系数

（i,j=1,2,....,n）

如果价值表的部门分类与实物表的产品分类完全一一对应，他们所计算出来的分配系数应对应相等，但实际上很难实现

五、价值型投入产出模型实例

1.建立行向模型

首先，计算直接消耗系数矩阵：

MATLAB

为计算直接消耗系数，先把中间消耗流量x与总投入行向量z输入matlab

计算直接消耗系数

zhat=diag（z）

a=x*zhat^（-1）

计算完全消耗系数b与列昂惕夫逆阵c

c=（eye（5）-a）^（-1）

b=c-eye（5）

Y=（I-A）X

X=（I-A）^-1Y

MATLAB验证

X=CY

输入最终需求y列向量

C*y

1.0e+004*

0.4676

1.3813

0.2430

0.0682

0.1315

2.建立列向模型

Ｘ＝（Ｉ－Ａc）^－1·Ｎ

直接折旧系数（Ａd）：

Ａd＝（0.02160.04570.02100.15330.0452）

直接劳动报酬系数（Ａv）：

Ａv＝（0.56070.07490.19470.18620.3247）

直接社会纯收入系数（Ａm）：

Ａm＝（0.12000.24580.07710.35350.2807）

完全消耗系数矩阵（Ｂ）：

Ｂ＝（Ｉ－Ａ）^－1－Ｉ＝

完全折旧系数（Ｂd）：

Ｂd＝Ａd（Ｉ－Ａ）－1

＝（0.04500.10810.09800.18660.0785）

完全劳动报酬系数（Ｂv）：

Ｂv＝Ａv（Ｉ－Ａ）－1

＝（0.71600.32540.43120.28870.4695）

完全社会纯收入系数（Ｂm）：

Ｂm＝Ａm（Ｉ－Ａ）－1

＝（0.23900.56650.47080.52470.4520）

完全物质消耗系数（Ｂc）：

Ｂc＝Ａc（Ｉ－Ａ）－1

＝（0.58081.39701.65030716607544）

MATLAB直接系数与完全系数（初始投入）

输入初始投入矩阵dvm

计算ad,av,am

advm=dvm*zhat^（-1）

计算bd,bv,bm

bdvm=advm*c

计算分配系数矩阵（Ｒ）：

MATLAB分配系数

r=zhat^（-1）*x

价值模型与实物模型的比较

1.投入产出表式。

实物表第一种表式只有两个象限，主要反映行向数量关系，第二种表式虽然设有第III象限，但仍不能在列向建立数量关系；

价值表具有四个象限，行列均有数量关系，表的右端和下方均有总计栏，各部门行列总计对应相等，可互相验证其平衡性。

2.投入产出数学模型。

实物数学模型只有按行建立的模型，形式比较单调；

价值数学模型既有按行又有按列建立的模型，可以从使用价值和价值两个方面反映国民经济系统，使模型内容更加丰富充实。

3.直接消耗系数。

实物型Ａ只表示实物产品间的生产技术联系，其元素在数值上仅要求它大于或等于零，即aij≥0，并不要求aij<1。

这是因为或数值大小取决于实物产品采用的计量单位，如一吨煤消耗28度电，那么aij＝28度/吨，它大于零，若电的单位以千度为单位，那么aij＝0.028千度/吨；

价值型Ａ反映任何两种产品间的生产技术经济联系，其元素要满足0≤aij<1，它必须小于1，否则这种生产是无意义的。

4.完全消耗系数。

实物型Ｂ的数值受模型大小的影响，模型包含的产品越少，bij则越小，这是由于未包括在模型中的“其他”产品太多，它们传递的间接消耗被忽略了；

价值型Ｂ只要部门范围划定，一般不受模型规模的影响。

5.受价格因素影响。

实物模型基本上不受价格变动因素的影响（实物表中以价值量作单位的产品除外），这里假设价格变动不影响消耗定额为前提

价值模型在很大程度上受价格因素的影响，如果产品价格体系数全面发生变化，那么会使价值型面貌全非

6.模型包括的范围。

实物模型包括产品的数目是有限的，其规模更大也总是有一些产品不能包含在内

价值模型可以包括所有经济部门，能反映国民经济整个系统