小学奥数314多次相遇和追及问题教师版.docx

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小学奥数314多次相遇和追及问题教师版

　　3-1-4多次相遇和追及问题教学目标学会画图解行程题能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题能够利用比例解多人相遇和追及问题知识精讲板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例1】甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米，问他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

【考点】行程问题【难度】1星【题型】解答【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为米，因为甲的速度为每秒钟跑米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行米才能回到出发点．【答案】米【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？

【考点】行程问题【难度】1星【题型】解答【解析】17【答案】17【巩固】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】176【答案】176【例2】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。

如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。

问甲、乙二人的速度各是多少？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】甲、乙两人的速度和第一次为60÷6=10（千米／时），第二次为12（千米/时），故第二次出发后5时相遇。

设甲第一次的速度为x千米／时，由两次相遇的地点相距1千米，有6x－5（x＋1）＝±1，解得x＝6或x＝4，即甲、乙二人的速度分别为6千米／时和4千米／时。

　　【答案】甲、乙二人的速度分别为6千米／时和4千米／时板块二、运用倍比关系解多次相遇问题【例3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】画一张简单的示意图

　　图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝3所以这时是8点32分。

　　【答案】8点32分【例4】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。

已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。

问甲车的速度是乙车的多少倍？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】2倍。

解如下图所示，因为每次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的路程相等，即,推知.第一次相遇时，甲走了,乙走了,所以甲车速度是乙车的倍。

　　【答案】倍【例5】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为13，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走（1圈－60）+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米．【答案】480米【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】340【答案】340【巩固】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。

已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。

　　【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一次相遇，两人共走了0.5圈；

　　第二次相遇，两人共走了5圈。

因为5÷0.5＝3，所以第二次相遇时甲走的路程是第一次相遇时甲走的路程的倍，即（米），推知（米），圆周长为（米）。

　　【答案】360米【巩固】在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。

甲、乙环行一周各需要多少分？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】由题意知，甲行4分相当于乙行6分。

从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）。

　　【答案】20分，30分板块三、多次相遇与全程的关系两地相向出发第1次相遇，共走1个全程；

　　第2次相遇，共走3个全程；

　　第3次相遇，共走5个全程；

　　…………，………………；

　　第N次相遇，共走2N-1个全程；

　　注意除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。

　　同地同向出发第1次相遇，共走2个全程；

　　第2次相遇，共走4个全程；

　　第3次相遇，共走6个全程；

　　…………，………………；

　　第N次相遇，共走2N个全程；

　　3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差【例6】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？

【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）

　　可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得95×3-25=285-25=260（千米）．【答案】260千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】4×3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。

　　【答案】2千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】4千米【答案】4千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地4千米处第二次相遇，求两人第5次相遇地点距B多远.【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】12千米【答案】12千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】90千米【答案】90千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】4千米【答案】4千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】41千米【答案】41千米【巩固】甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。

他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇。

求两次相遇地点的距离。

　　【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】24千米。

提示第一次相遇两车共行了A，B间的一个单程，其中乙行了54千米；

　　第二次相遇两车共行了A，B间的3个单程，乙行了54×3＝162（千米），乙行的路程又等于一个单程加42千米。

故A，B间的距离为162－42＝120（千米）。

　　【答案】120千米【巩固】湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。

两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。

问两岛相距多远？

【考点】行程问题【难度】2星【题型】解答【解析】1700米。

　　【答案】1700米【例7】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。

甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动。

甲、乙两人在第几次相遇时A地最近？

最近距离是多少米？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【关键词】希望杯，五年级，二试【解析】30×（300+240）÷2400=75个全程，相遇3次，把全程分成9份，第一次相遇，甲跑5份，第二次相遇甲跑15份，距离A3份，第三次相遇甲跑25份距离A7份，所以第二次相遇距离A最近，最近为2400÷9×3=800米。

　　【答案】800米【巩固】A、B两地相距950米。

甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时。

甲步行，每分钟走40米；

　　乙跑步，每分钟行150米。

则甲、乙二人第_____次迎面相遇时距B地最近。

　　【考点】行程问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】半小时，两人一共行走米，相当于6个全程，两人行程每2个全程就会有一次相遇，而两人的速度比154，所以相同时间内两人的行程比为154，那么第一次相遇甲走了全程的，距离个全程，第二次相遇甲总行程距离个全程，第三次距离个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离地最近。

　　【答案】第二次【例8】如图8，甲、乙两艘快船不断往返于A、B两港之间。

若甲、乙同时从A港出发，它们能否同时到达下列地点？

若能，请推出它们何时到达该地点；

　　若不能，请说明理由

（1）A港口；

（2）B港口；

　　（3）在两港口之间且距离B港30千米的大桥。

　　【考点】行程问题【难度】4星【题型】解答【关键词】希望杯。

五年级。

二试【解析】

（1）甲往返一次的时间是，乙往返一次的时间是，15和5的最小公倍数是65，所以，在甲、乙出发后的小时，它们又同时回到港。

　　（5分）

（2）设甲、乙能同时到达港，此时，甲、乙各完成了次往返（是自然数），则有即。

　　当的个位数是6或1时，有满足上式的自然数。

，最小的=1,最少需要5+15=18小时。

则在甲、乙出发后18+65小时，它们同时到达港口。

（10分）（3）设甲、乙能同时到达大桥，且分别完成了次往返（是自然数）。

　　①若此时甲、乙向下游行驶，则，即，没有满足上式的自然数。

　　②若此时甲、乙向上游行驶，则，即，没有满足上式的自然数。

　　③若此时甲向上游行驶，乙向下游行驶，则即没有满足上式的自然数。

　　④若此时甲向下游行驶，乙向上游行驶，则即当的个位数是0或5时，有满足上式的自然数，所以在甲、乙出发后的小时，它们同时到达大桥。

　　【答案】

（1）小时

（2）18+65小时（3）小时【例9】甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。

已知甲、乙的速度分别为0米／秒和0.8米／秒。

问

（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？

（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】

（1）250秒；

（2）4次。

提示

（2）甲、乙分别游了5个和14个单程，故迎面相遇4次。

　　【答案】

（1）250秒；

（2）4次【例10】甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。

已知甲车的速度是15千米／时，乙车的速度是25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。

求A，B两地的距离。

　　【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】200千米。

第一次相遇时，两车共走个单程，其中乙车占。

第三次相遇时，两车共走个单程，乙车走了（个）单程；

　　第四次相遇时，两车共走个单程，乙车走了（个）单程；

　　因为第三次、四次相遇地点相差（个）单程，所以，两地相距（千米）。

　　【答案】200千米【例11】欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度是每秒5米。

两人同时从A点出发，到达B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离的中点5米，之间的距离是________。

　　【考点】行程问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级【解析】130米。

　　第二次应面相遇，两人合计跑了个全程，速度比试，所以欢欢跑了全程为米【答案】米【例12】甲、乙两车同时从A、B两地相对亦开出，两车第一次距A地32千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米处相遇，则A、B两地间的距离是__________千米。

　　【考点】行程问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，6年级，二试【解析】第一次相遇，两车行驶的距离总和等于AB两地距离；

　　第二次相遇，两车行驶的距离总和等于AB两地距离的三倍。

　　所以，第二次相遇时，两车各自行驶的距离也分别等于第一次相遇时行驶的距离的三倍。

　　第一次相遇时，甲车行驶32千米；

　　第二次相遇时，甲车行驶全程的二倍减64千米。

　　所以，全程的二倍减64千米等于96千米，全程为80千米。

　　【答案】【例13】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为（秒）．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了（秒）．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为（秒），，共相遇（次）。

注解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．【答案】36次【例14】、两地间有条公路，甲从地出发，步行到地，乙骑摩托车从地出发，不停地往返于、两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问当甲到达地时，乙追上甲几次？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】由上图容易看出在第一次相遇与第一次追上之间，乙在（分钟）内所走的路程恰等于线段的长度再加上线段的长度，即等于甲在（）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（），则的长为的9倍，所以，甲从到，共需走（分钟）乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，因此，追及时间也变为200分钟（），所以，在甲从到的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．【答案】第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟【例15】甲、乙两人分别从、两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后继续行进，甲到地、乙到地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，、两地相距千米．【考点】行程问题【难度】4星【题型】填空【解析】由于甲、乙的速度比是，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是．第一次相遇时，两人共走了一个的长，所以可以把的长看作5份，甲、乙分别走了2份和3份；

　　第二次相遇时，甲、乙共走了三个，乙走了份；

　　第三次相遇时，甲、乙共走了五个，乙走了份．乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距离为100÷4=25（千米），那么、两地距离为5×25＝125（千米）【答案】125千米【巩固】小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇（追上也算作相遇），则甲、乙两地的距离为千米．【考点】行程问题【难度】3星【题型】填空【解析】由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；

　　由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在处相遇，第二次在处相遇．由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；

　　从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了千米，由于、之间的距离也是3千米，所以与乙地的距离为千米，甲、乙两地的距离为千米；

　　②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在处追上小王．在这个过程中，小王走了千米，小李走了千米，两人的速度比为．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为千米．所以甲、乙两地的距离为千米或12千米．【答案】千米或12千米【巩固】A，B两地相距540千米。

甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。

设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。

那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。

所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。

第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。

这样根据总结2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙总共走了720×3=2160千米。

　　【答案】乙总共走了2160千米【例16】小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】画示意图如下.　　第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了　　5×3＝10.5（千米）.　　从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是　　10.5-2＝5（千米）.　　每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了　　5×7＝25（千米），　　25=5＋5＋5（千米）.　　就知道第四次相遇处，离乙村　　5-5=1（千米）.　　答第四次相遇地点离乙村1千米.【答案】第四次相遇地点离乙村1千米【例17】A，B两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地出发不停顿地往返于A，B两地之间。

他们同时出发，80分后两人第一次相遇，100分后乙第一次超过甲。

问当甲到达B地时，乙追上甲几次？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】4次。

提示如下图所示，C，D点分别为乙第一次遇到和超过甲的地点。

甲从A到C用了80分，到D用了100分，乙从C到A又到D用了20分，可见乙20分走了甲需180分走的路，即己的速度是甲的9倍。

　　【答案】4次【例18】电子玩具车与在一条轨道的两端同时出发相向而行，在轨道上往返行驶。

已知比的速度快，根据推算，第次相遇点与第次相遇点相距厘米，轨道长厘米。

　　【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【关键词】学而思杯，6年级，1试【解析】，两车速度比为。

第次相遇点的位置在

　　；

　　第次相遇点的位置在

　　。

所以这条轨道长（厘米）。

　　【答案】板块四、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

　　【例19】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？

【考点】行程问题【难度】3星【题型】解答【解析】这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他先画了如下一幅图

　　这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；

　　另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．【答案】15艘【巩固】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电