34圆锥曲线与方程 全章复习与巩固 教师版.docx

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34圆锥曲线与方程全章复习与巩固教师版

《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固

【典型例题】

类型一：

圆锥曲线的方程与性质

例1.已知

中，

、

、

的对边分别为

、

、

，若

依次构成等差数列，且

，

，求顶点

的轨迹方程.

【解析】如右图，以直线

为

轴，线段

的中点为原

点建立直角坐标系.由题意，

构成等差数列，

，

即

，又

，

的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，

，

，

故

的轨迹方程为

.

举一反三：

【变式1】已知圆

的圆心为M1，圆

的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，

由两圆外切的条件可得：

，

。

∴

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，

∴b2=12，

故所求轨迹方程为

。

【变式2】设Ｆ１、Ｆ２是双曲线x2－y2＝4的两焦点，Ｑ是双曲线上任意一点，从Ｆ１引∠Ｆ１ＱＦ２平分线的垂线，垂足为Ｐ，则点Ｐ的轨迹方程是　　　　　　．

【答案】设O为F1F2的中点，延长F1P交QF2于A，连接OP，

据题意知：

△AQF1为等腰三角形，所以QF1=QA

∵|QF1-QF2|=4，∴|QA-QF2|=4，即AF2=4

∵OP为△F1F2A的中位线，∴OP=2

故点P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆，

方程为：

x2+y2=4

例2．过原点的直线

与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹.

【解析】设AB的中点M（x,y），A（x1,y1），B（x2,y2），

依题意，直线

的斜率必须存在，设为k，又直线

过原点，

∴直线

的方程为：

y=kx，将此式代入y=x2-2x+2

整理得：

x2-（2+k）x+2=0∴x1+x2=2+k，∴

由

消去k，得

。

又由于直线

与曲线有两交点，故

（1）式中的判别式Δ>0,

∴（2+k）2-8>0,解得

或

∵

，

∴

或

∴所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x（

或

）部分。

举一反三：

【变式1】设双曲线

的两个焦点分别是F1和F2，A、B分别是双曲线两条渐近线上的动点，

且

，求线段AB中点的轨迹方程.

【答案】设A点在渐近线

上,B点在渐近线

上，

A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点M（x，y），

∵

，

∴

由

=30,得

∴

化简得

.

【变式2】以抛物线

的弦AB为直径的圆经过原点O，过点O作OM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹方程.

【答案】设直线OA方程为

，代入

得A点坐标为

，

，∴

，同理可得B（

），

∴直线AB方程为

，

即:

①

直线OM方程为

②

①

②,得:

，

即

为所求点M的轨迹方程.

类型二：

直线与圆锥曲线相交---弦的有关问题：

例3．设直线

过双曲线

的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若

，求|AB|的值。

【解析】当AB⊥x轴时，点A（2，3），B（2，－3），不满足条件。

则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k（x－2）。

代入双曲线方程，得

即

。

设点

，

，

则当Δ>0时，

，

。

从而

∵

，∴

∴

，解得

。

此时

∴

，

故由焦点弦长公式，得：

。

【变式1】如图，在平面直角坐标

系xOy中，已知椭圆

的离心率为

，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，

若PC＝2AB，求直线AB的方程.

【解析】

（1）由题意，得

且

，

解得

，c＝1，则b＝1，

所以椭圆的标准方程为

．

（2）当AB⊥x轴时，

，又

，不合题意．

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），

将AB的方程代入椭圆方程，得

，

则

，C的坐标为

，且

．

若k=0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．

从而k≠0，故直线PC的方程为

，

则P点的坐标为

，从而

．

因为PC=2AB，所以

，解得k=±1．

此时直线AB方程为y=x－1或y=－x+1．

【变式2】如图，设椭圆

．

（Ⅰ）求直线y＝kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．

【答案】（Ⅰ）设直线y＝kx+1被椭圆截得的线段为AP，

由

得

，

故

．

因此

．

（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，

满足|AP|＝|AQ|．

记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2．

由（Ⅰ）知，

，

故

，

所以

，

由于k1≠k2，k1，k2＞0得

，

因此

，①

因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是

，所以

．

因此，任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1≤a≤

，

由

得，所求离心率的取值范围为

，

【变式3】如图，

和

两点分别在射线OS、OT上移动，且

，O为坐标原点，动点P满足

。

（1）求

的值；

（2）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？

（3）若直线l过点E（2，0）交

（2）中曲线C于M、N两点，且

，求

的方程.

【解析】

（1）由已知得：

，

（2）设P点坐标为（x，y）（x＞0），由

得：

∴

，消去m，n可得：

，又因

∴P点的轨迹方程为

它表示以坐标原点为中心，焦点在

轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线

的右支

（3）设直线l的方程为

，将其代入C的方程得：

即

，易知

（否则它与x轴平行，不符合题意）

又

设

，则

∵l与C的两个交点

在

轴的右侧，

∴

，即

，又由

，同理可得：

由

得：

，∴

由

得：

由

得：

，消去

得

解得：

，满足

，故l存在，方程为：

或

类型三：

求取值范围或最值：

例4.设椭圆

的右焦点为

，直线

与

轴交于点

，

若

（其中

为坐标原点）．

（1）求椭圆

的方程；

（2）设

是椭圆

上的一点，

为圆

的任意一条直径，求

的最大值．

【答案】

（1）由题设知：

由

得：

解得

，

椭圆

的方程为

（2）

从而将求

的最大值转化为求

的最大值，

是椭圆

上的任一点，设

，则有

即

又

，

当

时，

取最大值

∴

的最大值为

【变式1】

（1）抛物线C：

y2=4x上一点P到点A（3，4

）与到准线的距离和最小，则点P的坐标为____

（2）抛物线C:

y2=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为

【答案】

（1）（2，2

），连PF，当A、P、F三点共线时，

最小，此时AF的方程为

即y=2

（x-1）,代入y2=4x得P（2,2

），（注：

另一交点为（

），它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（

），过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，

最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=

，∴Q（

）

【变式2】已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）。

若右焦点到直线

的距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线

相交于不同的两点M、N.当

时，求m的取值范围.

【答案】

（1）依题意可设椭圆方程为

，则右焦点F

由题设

解得

故所求椭圆的方程为

.

（2）设P为弦MN的中点，由

得

.

由于直线与椭圆有两个交点，

即

①

，从而

，

又

，则

，

即

②把②代入①得

解得

又由②得

解得

.故所求m的取范围是

.

【巩固练习】

一、选择题

1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

1、【答案】C【解析】C项的渐近线方程为

，即y＝±2x

2．若点P到点F（4,0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（）

A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x

2.【答案】C【解析】点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为y2=16x

3．已知椭圆

与双曲线

的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）

A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1

C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜1

3.【答案】A【解析】由题知m2-1＝n2+1，即m2＝n2+2，

，代入m2＝n2+2，得m＞n，（e1e2）2＞1．

4.设双曲线

的一条渐近线与抛物线y=x

+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）

A.

B.5C.

D.

4.【答案】D【解析】双曲线

的一条渐近线为

由方程组

，消去y，得

有唯一解，所以△=

，所以

5.过双曲线

的右顶点

作斜率为

的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为

．若

，则双曲线的离心率是（）

A．

B．

C．

D．

5.【答案】C【解析】对于

，则直线方程为

，

直线与两渐近线的交点为B，C，

，

则有

，因

6．抛物线

上的点到直线4x+3y－8=0距离的最小值是（）

A．

B．

C．

D．3

6．【答案】A；【解析】抛物线

上的点到直线4x+3y－8=0距离：

，故距离的最小值是

7.已知椭圆C：

（a>b>0）的离心率为

，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若

，则k为（）

（A）1（B）

（C）

（D）2

7.【答案】B【解析】

，∵

，∴

，

∵

，设

，

，∴

，直线AB方程为

。

代入消去

，∴

，∴

，

，解得

，

二、填空题

8．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆

的右焦点重合，

则该抛物线的准线方程为

8.【答案】x＝－2【解析】由题意椭圆

，故它的右焦点坐标是（2，0），

又y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆

的右焦点重合，故p＝4，∴抛物线的准线方程为x＝－2

9．F是椭圆

的右焦点，A（1,1）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点，

的最小值为

9.【答案】4-

【解析】设另一焦点为

，则

（-1,0）连A

P

当P是

A的延长线与椭圆的交点时,

取得最小值为4-

。

10.抛物线

与斜率为1且过焦点的直线

交于A、B两点，则

10.【答案】-3；【解析】∵抛物线

的焦点

，∴直线

：

，

设点

，

，由

，得

，有

，

，

故

.

11.在抛物线y2=16x内，通过点（2,1）且