34圆锥曲线与方程 全章复习与巩固 教师版.docx

1、34圆锥曲线与方程 全章复习与巩固 教师版圆锥曲线与方程全章复习与巩固【典型例题】类型一：圆锥曲线的方程与性质例1. 已知中，、的对边分别为、，若依次构成等差数列，且，求顶点的轨迹方程.【解析】如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列，即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，故的轨迹方程为.举一反三：【变式1】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，b2=12，故所求轨迹

2、方程为。【变式2】设、是双曲线x2y24的两焦点，是双曲线上任意一点，从引平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程是【答案】设O为F1F2的中点， 延长F1P交QF2于A，连接OP，据题意知：AQF1为等腰三角形，所以QF1=QA|QF1-QF2|=4，|QA-QF2|=4，即AF2=4OP为F1F2A的中位线，OP=2故点P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆，方程为：x2+y2=4例2过原点的直线与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹.【解析】设AB的中点M(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，依题意，直线的斜率必须存在，设为k，又直线 过原点，直线的方程为：y=k

3、x， 将此式代入y=x2-2x+2整理得：x2-(2+k)x +2=0 x1+x2=2+k， 由消去k，得。又由于直线与曲线有两交点，故(1)式中的判别式0, (2+k)2-80, 解得或 ，或所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x(或)部分。举一反三：【变式1】设双曲线的两个焦点分别是F1和F2，A 、B分别是双曲线两条渐近线上的动点，且，求线段AB中点的轨迹方程.【答案】设A点在渐近线上, B点在渐近线上，A(x1，y1)， B(x2，y2)，线段AB中点 M(x，y)，由=30,得, , 化简得.【变式2】以抛物线的弦AB为直径的圆经过原点O，过点O作OMAB，M为垂足，求点M的轨迹方程.【

4、答案】设直线OA方程为，代入得A点坐标为，同理可得B()，直线AB方程为，即: 直线OM方程为,得: ， 即为所求点M的轨迹方程.类型二：直线与圆锥曲线相交 - 弦的有关问题： 例3设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若，求|AB|的值。【解析】当ABx轴时，点A（2，3），B（2，3），不满足条件。则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k(x2)。代入双曲线方程，得即。设点，则当0时，。从而，解得。此时，故由焦点弦长公式，得：。【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F

5、的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程.【解析】 (1)由题意，得且，解得，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为（2）当ABx轴时，又，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x1)，A（x1，y1），B（x2，y2），将AB的方程代入椭圆方程，得，则，C的坐标为，且若k=0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为，则P点的坐标为，从而因为PC=2AB，所以，解得k=1此时直线AB方程为y=x1或y=x+1【变式2】如图，设椭圆()求直线ykx+1被椭圆截得的线段长(用

6、a、k表示)；()若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围【答案】()设直线ykx+1被椭圆截得的线段为AP，由得，故因此()假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2由()知，故，所以，由于k1k2，k1，k20得，因此， 因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是，所以因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由得，所求离心率的取值范围为，【变式3】如图，和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原

7、点，动点P满足。（1）求的值；（2）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l过点E（2，0）交（2）中曲线C于M、N两点，且，求的方程.【解析】（1）由已知得： ， （2）设P点坐标为（x，y）（x0），由得： ，消去m，n可得：，又因 P点的轨迹方程为 它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支（3）设直线l的方程为，将其代入C的方程得： 即，易知（否则它与x轴平行，不符合题意）又 设，则 l与C的两个交点在轴的右侧， ，即，又由 ，同理可得： 由得： ， 由得： 由得：，消去得 解得：，满足，故l存在，方程为：或类型三：求取值范围或最值：例

8、4. 设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，为圆的任意一条直径，求的最大值【答案】（1）由题设知：由得： 解得，椭圆的方程为 （2）从而将求的最大值转化为求的最大值，是椭圆上的任一点，设，则有即 又， 当时，取最大值 的最大值为【变式1】(1)抛物线C：y2=4x上一点P到点A(3，4)与到准线的距离和最小，则点P的坐标为_(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 【答案】（1）（2，2），连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P

9、(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）（2）（），过Q作QRl交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，Q()【变式2】已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）。若右焦点到直线 的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N.当时，求m的取值范围.【答案】（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点F由题设 解得 故所求椭圆的方程为. （2）设P为弦MN的中点，由 得 .由于直线与椭圆有两个交点， 即 ，从而，又，则， 即 把代入得 解得 又由得 解得. 故所求m的取范围是.【巩固练

10、习】一、选择题1下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是（ ）(A) (B) (C) (D)1、【答案】 C【解析】C项的渐近线方程为，即y2x 2若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x2.【答案】C【解析】点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y2=16x3已知椭圆与双曲线的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cmn且e1e21 Dmn且e1e213.【答案】A 【解析】由

11、题知m2-1n2+1，即m2n2+2，代入m2n2+2，得mn，(e1e2)214. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 5 C. D.4.【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组，消去y，得有唯一解，所以=，所以,5. 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( )A B C D5. 【答案】C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有，因6抛物线上的点到直线4x+3y8=0距离的最小值是（ ）A B C D36【答案】A；【解析】抛物线上的点到直线4x

12、+3y8=0距离：，故距离的最小值是7.已知椭圆C：（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线于C相交于A、B两点，若，则k 为( )（A）1 （B） （C） （D）27. 【答案】B【解析】， ， ， ，设， ，直线AB方程为。代入消去， ， ，解得，二、填空题8若抛物线y22px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 8.【答案】x2【解析】由题意椭圆，故它的右焦点坐标是(2，0)，又y22px(p0)的焦点与椭圆的右焦点重合，故p4，抛物线的准线方程为x29F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点，的最小值为 9. 【答案】4- 【解析】设另一焦点为，则(-1,0)连A,P当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。10.抛物线与斜率为1且过焦点的直线交于A、B两点，则 10.【答案】-3；【解析】抛物线的焦点，直线：，设点，由，得，有，故.11. 在抛物线y2=16x内，通过点(2,1)且