孤立奇点的分类.docx

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孤立奇点的分类

MathematicalMethodsinPhysics

第三章无穷级数

InfiniteSeries

§3.5单值函数的孤立奇点

一、函数的奇点

1、孤立奇点1

若在z-b<ε内除b外f（z）别无其他奇点,

则z=b是f（z）的孤立奇点。

z

z

-1

e.g.f（z）=

（1）

z=0,z=1

2、非孤立奇点

若在z-b

<ε内，f（z）除z

=b外还有其它的奇点，

则称b为f（z）的非孤立奇点。

e.g.

f（z）=

1

sin1

z

z=0

§3.5单值函数的孤立奇点

二、孤立奇点的分类

若z=b为f

（z）的孤立奇点，则

f（z）=

1、可去奇点

∞

若f（z）=∑Ck（z

-b）k,0<

z-b

则z=

k=0

b→

f（z）的可去奇点.

e.g.

f（z）=

sinz,zz

=0→可去奇点

§3.5单值函数的孤立奇点

二、孤立奇点的分类

1、可去奇点

注：

（1）b为可去奇点的充要条件为

∞

i>f

（z）=

∑Ck（z

-b）k

⇔ii

>lim

z→b

f（z）=有限

k=0

⇔iii>

f（z）在b充分小邻域内有界。

（2）可去奇点常不作奇点看。

f（z）

z≠b

e.g.F（z）=

lim

z→b

f（z）

z=b

§3.5单值函数的孤立奇点

二、孤立奇点的分类

2、极点

∞

若f（z）=∑Ck（z

k=-m

-b）k,0<

z-b

则称z=

b为f

（z）

的极点.当C-m≠0

时，称

z=b为

1

f（z）的m

阶极点。

1阶极点又称为单极点。

e.g.

f（z）=

1

z2（z

-1）

注：

（1）b为极点的充要条件:

lim

z→b

f（z）=∞

e.g.

f（z）=

z

sin2z

§3.5单值函数的孤立奇点

二、孤立奇点的分类

2、极点

（2）b为m阶极点的充要条件为

∞

f（z）=

∑Ck

k=-m

（z-b）k

（C-m

≠0）

⇔f（z）=

ϕ（z）

（m

[ϕ（z）∈H（z-b

（z-b）

⇔g（z）=

1

f（z）以z

=b为m阶零点。

（附）

e.g.

f（z）=

1

z2（z

-1）,

以z=

0为二阶极点,z

=1为单极点。

§3.5单值函数的孤立奇点

二、孤立奇点的分类

附:

解析函数的零点：

设函数g（z）在解析区域σ

内一点a的值为

零，即g（a）=

点。

0，则称a为解析函数的g（z）零

若g（a）=

g'（a）=g'（a）

=L=

g（m-1）（a）

=0,

但g（m）（a）

≠0,则称

a为函数

g（z）的

m级零点。

§3.5单值函数的孤立奇点

二、孤立奇点的分类

2、极点

（3）

若z=

b为f

（z）的奇点，且

lim[（z

z→b

-

b）n

f（z）]=

非零的有限值，

z

则b为f

（z）的n阶极点。

e.g.

f（z）=

sin2z,

§3.5单值函数的孤立奇点

二、孤立奇点的分类

2、极点

e.g.

f（z）=

z,

sin2z

§3.5单值函数的孤立奇点

f（z）=

二、孤立奇点的分类

3、本性奇点

-1

若f（z）=∑Ck（z-b）+C+C

k

01

（z-b）2

+L，0<

z-b

k=-∞

（展开有无限项负幂），则称z=b为f

（z）的本性奇点。

e.g.

f（z）

1

=ez

=1+1+

z

1

2!

z2

+...;0<

z<∞

z=0→本性奇点

注意:

b为本性极点的充要条件为

lim

f（z）=不定

⎧⎧x→0+

z→b

⎪

⎪∞,⎨

e.g.

1

limez=⎨

⎩y=0

z→0

⎪⎧x

→0-

⎪0,⎨y=0

⎩⎩

§3.5单值函数的孤立奇点

三、无穷远点的性质1、无穷点为解析点

若R>

0,当z

>R时f

（z）处处可导，则f

（z）在z

=∞解析。

e.g.

f（z）=

1

z2（z

-1）

在z=

∞处解析

2、无穷点为孤立奇点

若∃一R

>0,当z

>R时f

（z）除z

=∞别无奇点，

即在R<

z<∞中解析，则z

=∞为f

（z）的孤立奇点.

e.g.

f（z）=

sinzz

在z=

∞为孤立奇点

§3.5单值函数的孤立奇点

三、无穷远点的性质

3、无穷远点为孤立奇点的分类

令z=1

则z=∞

→t=0

tf（z）

→f⎛1⎞

=ϕ（t）

z>R

⎜⎟

t

⎝⎠

→t<1=δ

R

⎨

R

f（z）在

⎪⎧z

⎨

>R的T展

→ϕ（t）在⎧⎪t

<δ的T展

⎪⎩R<

z<∞的L展→

⎪⎩0

<δ的L展

§3.5单值函数的孤立奇点

三、无穷远点的性质3、无穷远点为孤立奇点的分类

（1）可去奇点:

-1

若f（z）=∑czk+cR

k0,

k=-∞

则z=∞为f（z）的可去奇点。

e.g.f（z）=

z⋅sin1

z

以z=

∞可去奇点。

（2）极点

m

k

若f（z）=∑ckz

k=1

+c0

+c-1

z+c-2

1+,R<

L

z2

z<∞（展开有m项正幂

1

则z=∞为f（z）的m阶极点。

e.g.Pn（z）=

azn

+

an-1

zn-1

+La0

以z=

∞为n阶极点。

n

§3.5单值函数的孤立奇点

三、无穷远点的性质

3、无穷远点为孤立奇点的分类

（3）本性奇点

若f（z）=

∑

∞

k=0

czk

+c-1

1+c

z-2

1+

z2

L,R<

z<∞（有无限项正幂）

k

则z=∞为f（z）的本性奇点。

e.g.

ez=

1

∞

∑

k=0k!

zk,z<∞

以z=

∞为本性奇点。

§3.5单值函数的孤立奇点

小结

一、函数的奇点

（1）可去奇点

⎧

lim

f

（z）=有限

z→b

⎪

（2）极点

⎪∞

k=-m

lim

z→b

f（z）=∞

f（z）=

∑Ck

（z-b）k

（C-m

≠0）

⎪

1、孤立奇点⎨⇔

f（z）=

ϕ（z）

z-b）

（m

[ϕ（z）∈H（z-b

⇔g（z）=

1以z

=b为m阶零点。

⎩⎪f

（z）

（）

z→b

（3）本性奇点limf

2、非孤立奇点

z=不定

§3.5单值函数的孤立奇点

小结

二、孤立奇点的分类

奇点

b

∞

展开

式

类型

∞

∑c（z-b）k,0

k

k=-∞

∞

∑czk,R

k

k=-∞

可去奇点

无负幂

无正幂

m阶极点

有m项负幂

有m项正幂

本性奇点

有无限项负幂

有无限项正幂

§3.5单值函数的孤立奇点

本节作业

习题3.5:

4（4）,（8）,（12）;

5

（2）,（4）,

7

（2）,（4）