孤立奇点的分类.docx

1、孤立奇点的分类 Mathematical Methods in Physics第三章 无穷级数Infinite Series3.5单值函数的孤立奇点一、函数的奇点1、孤立奇点 1若在 z - b 内除b 外f (z)别无其他奇点,则z = b是 f (z)的孤立奇点。zz-1e.g. f (z) = ( 1 )z = 0, z = 12、非孤立奇点若在 z - b 内，f(z)除z= b外还有其它的奇点，则称b为f(z)的非孤立奇点。e.g.f (z) =1sin 1zz = 03.5单值函数的孤立奇点二、孤立奇点的分类若z = b 为 f(z)的孤立奇点，则f (z) =1、可去奇点若 f

2、(z) = Ck (z- b)k ,0 z - b f(z) =Ck (z- b)k ii limzbf (z) = 有限k =0 iii f (z )在 b 充分小邻域内有界。(2)可去奇点常不作奇点看。f (z )z be.g. F(z)=limz bf (z )z = b3.5单值函数的孤立奇点二、孤立奇点的分类2、极点若 f (z) = Ck (zk =-m- b)k , 0 z - b R（展开有有限项负幂）则称 z =b 为 f(z)的极点.当C-m 0时，称z = b为1f (z) 的m阶极点。1阶极点又称为单极点。e.g.f (z) =1z2 (z-1)注：（1）b为极点的充要

3、条件:limzbf (z) = e.g.f (z) =zsin2 z3.5单值函数的孤立奇点二、孤立奇点的分类2、极点（2）b为m阶极点的充要条件为f (z) =Ckk =- m(z - b)k(C-m 0) f (z) =(z)( m(z) H ( z - b R), (b) 0(z - b) g(z) =1f (z)以z= b为m阶零点。（附）e.g.f (z) =1z 2 (z-1),以z =0为二阶极点,z= 1为单极点。3.5单值函数的孤立奇点二、孤立奇点的分类附: 解析函数的零点：设函数g(z)在解析区域内一点a的值为零，即g(a) =点。0，则称 a 为解析函数的g(z)零若g(

4、a) =g(a) = g (a)=L=g(m-1) (a)= 0,但 g(m) (a) 0,则称a 为函数g(z)的m 级零点。3.5单值函数的孤立奇点二、孤立奇点的分类2、极点(3)若z =b为f(z)的奇点，且lim(zzb- b)nf (z) =非零的有限值，z则b为f(z)的n阶极点。e.g.f (z) =sin 2 z ,3.5单值函数的孤立奇点二、孤立奇点的分类2、极点e.g.f (z) =z ,sin 2 z3.5单值函数的孤立奇点f (z) =二、孤立奇点的分类3、本性奇点-1若 f (z) = Ck (z - b) + C + Ck0 1(z - b)2+L，0 z - b

5、Rk =-(展开有无限项负幂），则称z = b为 f(z)的本性奇点。e.g.f (z)1= ez= 1+ 1 +z12!z2+.;0 z 0,当z R时f(z)处处可导，则f(z)在z= 解析。e.g.f (z) =1z 2 (z-1)在z =处解析2、无穷点为孤立奇点若一R 0,当z R时f(z)除z= 别无奇点，即在R z R t t 1 = RR z 0 t R的T展 (t )在 t 的T展R z 的L展0 t 的L展3.5单值函数的孤立奇点三、无穷远点的性质 3、无穷远点为孤立奇点的分类（1）可去奇点:-1若f(z) = c zk + c R z (展开无正幂）k 0 ,k=-则z

6、= 为f(z)的可去奇点。e.g. f(z) =z sin 1z以z =可去奇点。（2）极点mk若f(z)= ck zk=1+ c0+ c-1z + c-21 + , R Lz2z (展开有m项正幂1则z = 为f(z)的m阶极点。e.g. Pn (z) =a zn+ an-1zn-1+La0以z =为n阶极点。n3.5单值函数的孤立奇点三、无穷远点的性质3、无穷远点为孤立奇点的分类（3）本性奇点若 f (z) =k =0c zk+ c-11 + cz -2 1 +z 2L,R z (有无限项正幂)k则z = 为f(z)的本性奇点。e.g.ez =1k =0 k!zk , z 以z =为本性奇

7、点。3.5单值函数的孤立奇点小结一、函数的奇点(1)可去奇点limf(z) = 有限zb(2)极点 k =-mlimzbf (z) = f (z) =Ck(z - b)k(C-m 0)1、孤立奇点f (z) =(z)z - b)( m(z) H ( z - b R), (b) 0 g(z) = 1 以z= b为m阶零点。 f(z)( )zb（3)本性奇点lim f2、非孤立奇点z = 不定3.5单值函数的孤立奇点小结二、孤立奇点的分类奇点b展开式类型c (z - b)k ,0 z - b Rkk =-c zk , R z kk =-可去奇点无负幂无正幂m阶极点有m项负幂有m项正幂本性奇点有无限项负幂有无限项正幂3.5单值函数的孤立奇点本节作业习题3.5:4(4),(8),(12);5(2),(4),7(2),(4)