6SPS与6PSS并联机构的运动与受力分析.docx

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6SPS与6PSS并联机构的运动与受力分析

6-SPS与6-PSS并联机构的运动与受力分析

与传统的串联机构相比，并联机构的运动与受力分析具有反解容易而正解复杂的特点。

为了解并联机构的这些特点，本文针对6-SPS和6-PSS两种6自由度并联机构的运动和受力特性进行了简单推导，得出一些关于求解矩阵的有趣结论。

1、6-SPS推导过程

6-SPS并联机构又称Stewart平台，由上平台、下平台以及连接上下平台的6个支撑杆组成，支撑杆与平台通过球铰连接，支撑杆本身又能够通过液压驱动改变长度，进而驱动上平台的运动，如图1所示。

图16-SPS并联机构平台

1.1运动分析

首先对该并联机构进行自由度计算，下平台固定，活动构件数目n=13，球

铰个数Pr=12，移动副个数Pp=6，在每个支撑杆移动副上有一个绕轴转动的局部自由度，则局部自由度的总数为F’=6。

根据空间机构自由度的计算公式可得：

F=6n~'3PR-'5PP-■F

-613-312-56-6

-6

在驱动上平台运动时，6个支撑杆的输入速度分别为ViV2..M5，上平台的运动形式为螺旋运动，既有平动，又有绕轴旋转，表示为平动速度v和转动角速度3,输入速度和平台速度之间有什么运算关系呢？

图26-SPS并联机构速度分析

如图2所示，取上平台的转动中心为O，支撑杆1与上平台的铰接处取为A,

中心O到铰接点A的向径为R1，则上平台位于A点处的速度可表示为：

vA=vwR1

设支撑杆1的方向向量为11，Va向支撑杆1投影可得：

vAh=（vwR1）11

=v11■（wR1）l1

=v11-w（R-!

11）

支撑杆1的输入速度v1沿杆长方向，则vA向支撑杆1的投影即为V1，从而可得:

V1=vaI1=v11w（R111）

同理可求得其余支撑杆的速度表达式分别为：

V2二vA12二v12w（R212）

V3=vAI3=v13w（R313）

V6-vA16=v16w（R616）

将6个输入速度表达式整理写为矩阵形式，可得:

即:

■11,R^11"

A

w

12>R2江12

V2

V

13>R3*13

V3

14>R4汉14

V4

15>R5X15

V5

J6>X-16丿

式⑴即为6-SPS并联机构支撑杆输入速度与上平台输出速度的计算关系式

1.2受力分析

设支撑杆1的驱动力为Fi，对上平台产生的的驱动力矩为:

MR1F1

Vi、

11,RM11、

V2

12,R2x12

V3

13,R3x13

v、

V4

14,R4x14

V5

15,R5乂15

J6,R616]

图36-SPS并联机构速度分析

如图3所示，相应地，支撑杆2〜6的驱动力和驱动力矩分别为

F2,M2,F3,M3,F4,M4,F5,M5,F6,M6，设上平台的负载力和负载力矩为

F,M，根据力螺旋理论可写出以下平衡式:

即:

提出各驱动力的数值大小，可得:

写成矩阵的形式，可得负载力螺旋的计算式:

进一步简写为:

式

（2）为6-SPS并联机构支撑杆输入驱动力与上平台负载力和力矩的计算关系式。

比较式

（1）和式

（2），可以发现两者具有相同的计算形式，即系数矩阵分别为

矩阵Ji的逆矩阵和转置矩阵，这说明了6-SPS并联机构平台的速度解算和力与

力矩解算具有一定的联系，这一结论可以为其他形式的6自由度并联机构解算起到参考作用

2、6-PSS推导过程

6-PSS并联机构是对Stewart平台的一种变形，将支撑杆中的移动副放到下端与下平台的连接处，移动副与杆通过球铰连接，即形成杆长不变的PSS支撑结构，通过改变移动副的位置来驱动上平台实现不同的姿态，如下图所示。

图46-PSS并联机构平台

2.1运动分析

首先进行自由度计算，作为下平台的6个滑块可沿导轨移动，形成移动副。

活动构件数目n=13,球铰个数pR=12，移动副个数PP=6。

每个支撑杆与滑块的铰接处，支撑杆相对滑块有一个绕杆轴线转动的局部自由度，故局部自由度总数为F'=6。

根据空间机构自由度的计算公式可得：

F=6n-3PR-5Pp-F

=613-312-56-6

=6

该机构有6个自由度，因此每个滑块都要进行驱动，才能保证机构有确定的运动。

6个滑块的输入速度分别为VV2..V6,上平台的运动形式为螺旋运动，既有平动，又有绕轴旋转，表示为平动速度v和转动角速度3,输入速度和平台速度之间的运算关系推导如下。

图56-PSS并联机构速度分析

如图5所示，上平台与支撑杆1铰接处A点的速度可表示为:

设支撑杆1的方向向量为li，滑块1运动的方向向量为ei。

根据支撑杆1长度不变的特点可知，球铰A处速度va和滑块1的速度vi在杆1上的投影相等，即:

vAli*1li

将式（3）代入上式，可得：

（v3Ri）l^vili

整理可得：

v=vli+3（li）eilieili

同理可求得其余滑块输入速度的表达式如下：

V12

3（R212）

—

+

e212

e212

V13

3（R313）

e313

将6个输入速度表达式整理写为矩阵形式，可得:

r11

R存1i、

ei1i

eih

12

R2x12

勺J

e212

e212

v

13

R3*13

v

e313

e313

■V^

V4

14

R存14

3

V5

e414

，e414

MJ

15

R5汉15

e515

e515

16

R16X16

ke6j6

e616J

即:

（1i

Ri汉1i、

-d

0h

eih

12

R2汉12

e212

e212

'Vi、

13

R3*13

V2

e313

e313

V3

3

14

RM14

V4

e414

e414

V5

15

R5沃15

M丿

e515

e515

16

R^16

G16

e616」

ll

R111

ei11

ei11

12

R212

e212

e212

13

R313

e313

e313

14

R存14

e414

e414

15

R515

e515，

e515

16

R616

e616

e616

记J2

则上式可简写为:

式（4）即为6-PSS并联机构驱动滑块输入速度与上平台输出速度的计算关系式

2.2受力分析

图66-PSS并联机构受力分析

设滑块1的驱动力为Fi，支撑杆1为二力杆，对上平台球铰A处的作用力

为Fai。

为推导出Fi与Fai的关系，隔离球铰B进行分析。

图7球铰B受力分析

如图7所示，球铰B平衡时，可得到下列关系：

faie=fi

可解出Fai的数值大小为：

支撑力Fai对上平台产生转矩Mai=RiFai，同理可得其余各杆支撑力与

力矩。

由力螺旋理论可写出以下平衡式:

即:

提出各支撑杆力的数值大小，可得:

代入式（5）表示的各支撑杆力，可得由滑块驱动力表示的平衡式:

Z|、

/.、

/|X

fi

li

+f2

12

+f3

l3

+f4

l4

+f5

l5

li

m丿

e2^2

&2江12丿

e3'b

e4'b

e5*5

写成矩阵的形式，可得负载力螺旋的计算式:

上式可进一步简写为:

式（6）为6-PSS并联机构各滑块输入驱动力与上平台负载力和力矩的计算关系式。

对比式⑷与式（6）可以发现与式

（1）和式⑵相同的计算规律，即上平台输出速

度与滑块输入速度以矩阵J2的逆矩阵为计算系数，上平台负载力和力矩与滑输入力则以矩阵J2的转置为计算系数。

3小结

将以上计算得出的4个解算公式分别罗列出来如下

6-SPS并联机构：

（1）

⑵

⑷

⑹

算上具有相同的运

=J「、（W,V2,V3,V4,V5,V6f

-J1'fl,f2,f3,f4,f5,f6

=J2'Vi,V2,V3,V4,V5,V6T

=J2TfltttHT

PSS并联机构在速度解算和:

算规律，可以设想，其他6自由度并联机构在进行相应解算时一定也会有相同的规律可循。

V,CDT

F,MT

6-PSS并联机构：

v,dT

F,MT

可以看出，6-SPS和6■