A.B.C.D.
二、填空题：
5．函数f（x）＝x－lnx的单调减区间为________．
6．已知函数f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________．
7．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．
8．若a>2，则函数f（x）＝x3－ax2＋1在区间（0,2）上有________个零点．
三、解答题
9.已知函数f（x）＝xlnx.
（1）求f（x）的极小值；
（2）讨论关于x的方程f（x）－m＝0（m∈R）的解的个数．
10．设f（x）＝，其中a为正实数．
（1）当a＝时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．
11.已知函数f（x）＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点（－1，－6），且函数g（x）＝f′（x）＋6x的图象关于y轴对称．
（1）求m，n的值及函数y＝f（x）的单调区间；
（2）若a>1，求函数y＝f（x）在区间（a－1，a＋1）内的极值．
课题：
导数、导数的计算及其应用2课时
参考答案
二、基础自测：
1．若函数f（x）＝2x2－1的图象上一点（1,1）及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy），则等于（ ）．
A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2Δx2
2．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为（ ）．
A．（－1,1）B．（－1，－1）C．（1,1）或（－1，－1）D．（1，－1）
3．（2012陕西高考）设函数f（x）＝＋lnx，则（ ）．
A．x＝为f（x）的极大值点B．x＝为f（x）的极小值点C．x＝2为f（x）的极大值点D．x＝2为f（x）的极小值点
4．若函数y＝a（x3－x）的递减区间为，则a的取值范围是（ ）．
A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜1
5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为__________．
6．已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是单调增函数，则a的最大值是__________．
参考答案：
1．C 解析：
∵Δy＝f（1＋Δx）－f
（1）＝2（1＋Δx）2－1－1＝4Δx＋2（Δx）2，∴＝4＋2Δx.
2．C 解析：
y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.
3．D 解析：
由f′（x）＝－＋＝＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故x＝2为f（x）的极小值点．
4．A 解析：
∵y′＝a（3x2－1）＝3a，∴当－＜x＜时，＜0.
∴要使y′＜0，必须取a＞0.
5．4x－y－3＝0 解析：
设切点为（x0，y0），y′＝4x3,4x03＝4，∴x0＝1.∴y0＝1.∴l的方程为4x－y－3＝0.
6．3 解析：
∵f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是单调增函数，∴f′（x）＝3x2－a≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞）上恒成立，而当x∈[1，＋∞）时，（3x2）min＝3×12＝3.∴a≤3，故amax＝3.
三、考点突破：
考点一、根据导数的定义求函数的导数
【例1-1】已知f′
（2）＝2，f
（2）＝3，则＋1的值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【例1－2】用导数的定义求函数y＝f（x）＝在x＝1处的导数．
【例1－1】C 解析：
令Δx＝x－2，则＋1＝＋1＝f′
（2）＋1＝2＋1＝3.
【例1－2】解：
Δy＝f（1＋Δx）－f
（1）＝－＝＝.∴＝－，∴＝＝－.∴f′
（1）＝－.
【变式】：
求函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．
解 ∵Δy＝－＝＝，
∴＝.∴Δx→0时，→.∴y′＝.
考点二、利用求导公式、法则求导
[例2] 求下列函数的导数：
（1）y＝（2x－3）2；
（2）y＝tanx；（3）y＝xex；（4）y＝.（5）y＝ln（2x＋5）．
解：
（1）y′＝（4x2－12x＋9）′＝8x－12.
（2）y′＝′＝＝＝.
（3）y′＝x′ex＋x（ex）′＝ex＋xex＝ex（x＋1）．
（4）y′＝′＝＝＝.
（5）设u＝2x＋5，则y＝ln（2x＋5）由y＝lnu与u＝2x＋5复合而成．∴y′＝y′u·u′x＝·2＝＝.
【变式】求下列函数的导数：
（1）y＝x2sinx；
（2）y＝3xex－2x＋e；
（2）y＝；
考点三、导数的几何意义
【例3】已知曲线y＝x3＋.
（1）求曲线在点P（2,4）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2,4）的切线方程；（3）求斜率为1的曲线的切线方程．
解：
（1）∵P（2,4）在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P（2,4）处的切线的斜率为：
y′|x＝2＝4.∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为：
y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0.
（2）设曲线y＝x3＋与过点P（2,4）的切线相切于点A，则切线的斜率为：
＝x02.∴切线方程为y－＝x02（x－x0），即y＝x02·x－x03＋.∵点P（2,4）在切线上，∴4＝2x02－x03＋，即x03－3x02＋4＝0，∴x03＋x02－4x02＋4＝0，∴x02（x0＋1）－4（x0＋1）（x0－1）＝0，∴（x0＋1）（x0－2）2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
（3）设切点为（x0，y0），则x02＝1，x0＝±1，切点为（－1,1）或，∴切线方程为y－1＝x＋1或y－＝x－1，即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.
【变式】：
求曲线f（x）＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．
解:
f′（x）＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.
（1）当切点是原点时k＝f′（0）＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.
（2）当切点不是原点时，设切点是（x0，y0），则有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′（x0）＝3x－6x0＋2，①又k＝＝x－3x0＋2，②由①②得x0＝，k＝－.∴所求曲线的切线方程为y＝－x.综上，曲线f（x）＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程为y＝2x或y＝－x.
考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值
【例4】已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（－1,1）上单调递增，求a的取值范围；
解：
（1）当a＝2时，f（x）＝（－x2＋2x）ex，∴f′（x）＝（－2x＋2）ex＋（－x2＋2x）ex＝（－x2＋2）ex.
令f′（x）＞0，即（－x2＋2）ex＞0，∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－＜x＜.∴函数f（x）的单调递增
区间是（－，）．
（2）∵函数f（x）在（－1,1）上单调递增，∴f′（x）≥0对x∈（－1,1）都成立．∵f′（x）＝[－x2＋（a－2）x＋a]ex，
∴[－x2＋（a－2）x＋a]ex≥0对x∈（－1,1）都成立．∵ex>0，∴－x2＋（a－2）x＋a≥0对x∈（－1,1）都成立，即x2－（a－2）x－a≤0对x∈（－1,1）恒成立．设h（x）＝x2－（a－2）x－a，只需满足，解得a≥.
【变式】（2009·浙江）已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间（－1,1）上不单调，求a的取值范围．
解
（1）由题意得f′（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2），又,解得b＝0，a＝－3或a＝1.
（2）由f′（x）＝0，得x1＝a，x2＝－.又f（x）在（－1,1）上不单调，即或
解得或所以a的取值范围为（－5，－）∪（－，1）．
【例5】若函数f（x）＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x）有极值－.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
解
（1）由题意可知f′（x）＝3ax2－b.于是，解得故函数为f（x）＝x3－4x＋4.
（2）由
（1）可知f′（x）＝x2－4＝（x－2）（x＋2）．令f′（x）＝0得x＝2或x＝－2，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x
（－∞，－2）
－2
（－2,2）
2
（2，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
因此，当x＝－2时，f（x）有极大值，当x＝2时，f（x）有极小值－，
所以函数的大致图象如右图，故实数k的取值范围为（－，）．
【变式】 设x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）试判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解
（1）f′（x）＝＋2bx＋1，∴.解得a＝－，b＝－.
（2）f′（x）＝－＋（－）＋1＝－.函数定义域为（0，＋∞），列表
x
（0,1）
1
（1,2）
2
（2，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
∴x＝1是f（x）的极小值点，x＝2是f（x）的极大值点．
【例6】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线为l：
3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值和最小值．
解：
（1）由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0；①
当x＝时，y＝f（x）有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝－4，又切点的横坐标为x＝1，∴f
（1）＝4.∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5.
（2）由
（1），得f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′（x）＝3x2＋4x－4.令f′（x）＝0，得x＝－2或x＝，∴f′（x）<0的解集为，即为f（x）的减区间．[－3，－2）、是函数的增区间．又f（－3）＝8，f（－2）＝13，f＝，f
（1）＝4，∴y＝f（x）在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
变式迁移3 已知函数f（x）＝ax3＋x2＋bx（其中常数a，b∈R），g（x）＝f（x）＋f′（x）是奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1,2]上的最大值和最小值．
解
（1）由题意得f′（x）＝3ax2＋2x＋b.因此g（x）＝f（x）＋f′（x）＝ax3＋（3a＋1）x2＋（b＋2）x＋b.因为函数g（x）是奇函数，所以g（－x）＝－g（x），即对任意实数x，有a（－x）3＋（3a＋1）（－x）2＋（b＋2）（－x）＋b＝－[ax3＋（3a＋1）x2＋（b＋2）x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，因此f（x）的表达式为f（x）＝－x3＋x2.
（2）由
（1）知g（x）＝－x3＋2x，所以g′（x）＝－x2＋2，令g′（x）＝0，解得x1＝－，x2＝，
则当x<－或x>时，g′（x）<0，从而g（x）在区间（－∞，－），（，＋∞）上是减函数；
当－0，从而g（x）在区间（－，）上是增函数．
由前面讨论知，g（x）在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，，2时取得，而g
（1）＝，g（）＝，g
（2）＝.因此g（x）在区间[1,2]上的最大值为g（）＝，最小值为g
（2）＝.
四、课题巩固：
一、选择题：
1．设f（x）为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线斜率为（ ）．
A．2B．－1C．1D．－2
2．（2012辽宁高考）函数y＝x2－lnx的单调递减区间为（ ）．
A．（－1,1]B．（0,1]C．[1，＋∞）D．（0，＋∞）
3．如图所示的曲线是函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于（ ）
A.B.C.D.
4.已知f′（x）是f（x）的导函数，在区间[0，＋∞）上f′（x）>0，且偶函数f（x）满足f（2x－1）A.B.C.D.
参考答案：
1．B 解析：
＝＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线斜率为－1.
2．B 解析：
对函数y＝x2－lnx求导，得y′＝x－＝（x＞0），令解得x∈（0,1]．
因此函数y＝x2－lnx的单调递减区间为（0,1]．故选B.
3．C [由图象知f（x）＝x（x＋1）（x－2）＝x3－x2－2x＝x3＋bx2＋cx＋d，∴b＝－1，c＝－2，d＝0.而x1，x2是函数f（x）的极值点，故x1，x2是f′（x）＝0，即3x2＋2bx＋c＝0的根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
x＋x＝（x1＋x2）2－2x1x2
＝b2－＝.]
4.A [∵x∈[0，＋∞），f′（x）>0，∴f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又因f（x）是偶函数，∴f（2x－1）⇔f（|2x－1|）二、填空题：
5．函数f（x）＝x－lnx的单调减区间为________．
6．已知函数f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是_____．
7．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．
8．若a>2，则函数f（x）＝x3－ax2＋1在区间（0,2）上有________个零点．
参考答案：
1．（0,1） 2.－373.4.1个解析：
f′（x）＝x2－2ax＝x（x－2a）＝0⇒x1＝0，x2＝2a>4，易知f（x）在（0,2）上为减函数，且f（0）＝1>0，f
（2）＝－4a<0，由零点判定定理知，在函数f（x）＝x3－ax2＋1在区间（0,2）上恰好有1个零点．
三、解答题
9.已知函数f（x）＝xlnx.
（1）求f（x）的极小值；
（2）讨论关于x的方程f（x）－m＝0（m∈R）的解的个数．
解
（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝lnx＋1，令f′（x）＝0，得x＝，
当x∈（0，＋∞）时，f′（x），f（x）的变化的情况如下：
x
f′（x）
－
0
＋
f（x）
极小值
所以，f（x）在（0，＋∞）上的极小值是f＝－.
（2）当x∈，f（x）单调递减且f（x）的取值范围是；当x∈时，f（x）单调递增且f（x）的取值范围是.令y＝f（x），y＝m，两函数图象交点的横坐标是f（x）－m＝0的解，由
（1）知当m<－时，原方程无解；由f（x）的单调区间上函
数值的范围知，当m＝－或m≥0时，原方程有唯一解；当－10．设f（x）＝，其中a为正实数．
（1）当a＝时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．
解：
对f（x）求导得f′（x）＝ex.①
（1）当a＝时，若f′（x）＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
x
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
结合①，可知
所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
（2）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号．结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a（a－1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.
11.已知函数f（x）＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点（－1，－6），且函数g（x）＝f′（x）＋6x的图象关于y轴对称．
（1）求m，n的值及函数y＝f（x）的单调区间；
（2）若a>1，求函数y＝f（x）在区间（a－1，a＋1
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