1、高三数学一轮复习导数导学案1课题:导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理:1.导数、导数的计算原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)axf(x)_f(x)exf(x)_f(x)logaxf(x)_f (x)ln xf(x)_(1)导数的概念:一般地,函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是_,称其为函数yf(x)在xx0处的导数,记作f(x0)或.(2)导函数: 记为f(x)或y.(3)导数的几何意义: 函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在xx0处的切线的斜
2、率相应地,切线方程为_(4)基本初等函数的导数公式(5)导数的运算法则(1)f(x)g(x)_; (2)f(x)g(x)_; (3)_(g(x)0)(6)复合函数的导数: 2 导数与函数的单调性及极值、最值(1)导数和函数单调性的关系:(1) 对于函数yf(x),如果在某区间上f(x)0,那么f(x)为该区间上的_;如果在某区间上f(x)0,且偶函数f(x)满足f(2x1)2,则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上有_个零点三、解答题9.已知函数f(x)xln x. (1)求f(x)的极小值; (2)讨论关于x的方程f(x)m0 (mR)的解的个数10设f(x),其中a为正实数 (1)当
3、a时,求f(x)的极值点; (2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围11.已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1,6),且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m,n的值及函数yf(x)的单调区间; (2)若a1,求函数yf(x)在区间(a1,a1)内的极值课题:导数、导数的计算及其应用 2课时参考答案二、基础自测:1若函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y),则等于()A4 B4x C42x D42x22曲线yx3在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为()A(1,1) B(1,1) C(1,1)或(1,1) D(1,1)3(2012陕西
4、高考)设函数f(x)ln x,则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点4若函数ya(x3x)的递减区间为,则a的取值范围是()Aa0 B1a0 Ca1 D0a15若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直,则l的方程为_6已知f(x)x3ax在1,)上是单调增函数,则a的最大值是_参考答案:1C解析:yf(1x)f(1)2(1x)2114x2(x)2,42x.2C解析:y3x2,3x23.x1.当x1时,y1,当x1时,y1.3D解析:由f(x)0可得x2.当0x2时,f(x)0,f(x)单调递减;当x2时,f(x)0,f(x
5、)单调递增故x2为f(x)的极小值点4A解析:ya(3x21)3a,当x时,0.要使y0,必须取a0.54xy30解析:设切点为(x0,y0),y4x3,4x034,x01.y01.l的方程为4xy30.63解析:f(x)x3ax在1,)上是单调增函数,f(x)3x2a0在1,)上恒成立,即a3x2在1,)上恒成立,而当x1,)时,(3x2)min3123.a3,故amax3.三、考点突破:考点一、根据导数的定义求函数的导数【例1-1】已知f(2)2,f(2)3,则1的值为()A1 B2 C3 D4【例12】用导数的定义求函数yf(x)在x1处的导数【例11】C解析:令xx2,则11f(2)1
6、213.【例12】解:yf(1x)f(1).,.f(1).【变式】: 求函数y在x0到x0x之间的平均变化率,并求出其导函数解y,.x0时,.y.考点二、利用求导公式、法则求导例2求下列函数的导数:(1) y(2x3)2; (2)ytan x; (3)yxex; (4)y. (5)yln(2x5)解:(1)y(4x212x9)8x12.(2)y.(3)yxexx(ex)exxexex(x1)(4)y.(5)设u2x5,则yln(2x5)由yln u与u2x5复合而成yyuux2.【变式】求下列函数的导数:(1) yx2sin x; (2) y3xex2xe; (2) y;考点三、导数的几何意义
7、【例3】已知曲线yx3. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为1的曲线的切线方程解:(1)P(2,4)在曲线yx3上,且yx2,在点P(2,4)处的切线的斜率为:y|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为:y44(x2),即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为:x02.切线方程为yx02(xx0),即yx02xx03.点P(2,4)在切线上,42x02x03,即x033 x0240,x03x024x0240,x02(x01)4(x01)(x01)0,(x01)(x02)20,解得x0
8、1或x02,故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0,y0),则x021,x01,切点为(1,1)或,切线方程为y1x1或yx1,即xy20或3x3y20.【变式】:求曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程解:f(x)3x26x2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时kf(0)2,所以所求曲线的切线方程为y2x.(2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),则有y0x3x2x0,kf(x0)3x6x02,又kx3x02,由得x0,k.所求曲线的切线方程为yx.综上,曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程为y2x或yx.考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值
9、【例4】已知aR,函数f(x)(x2ax)ex(xR,e为自然对数的底数)(1)当a2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增,求a的取值范围;解:(1)当a2时,f(x)(x22x)ex,f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex. 令f(x)0,即(x22)ex0,ex0,x220,解得x.函数f(x)的单调递增区间是(,)(2) 函数f(x)在(1,1)上单调递增,f(x)0对x(1,1)都成立f(x)x2(a2)xaex,x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立ex0,x2(a2)xa0对x(1,1)都成立,即x2(a2)xa0对x(1,
10、1)恒成立设h(x)x2(a2)xa,只需满足,解得a.【变式】(2009浙江)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值;(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调,求a的取值范围解 (1)由题意得f(x)3x22(1a)xa(a2),又,解得b0,a3或a1.(2)由f(x)0,得x1a,x2.又f(x)在(1,1)上不单调,即或解得或所以a的取值范围为(5,)(,1)【例5】若函数f(x)ax3bx4,当x2时,函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)k有三个零
11、点,求实数k的取值范围解(1)由题意可知f(x)3ax2b.于是,解得故函数为f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0得x2或x2,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示:x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此,当x2时,f(x)有极大值,当x2时,f(x)有极小值,所以函数的大致图象如右图,故实数k的取值范围为(,)【变式】设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值;(2)试判断x1,x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由解(1)f(
12、x)2bx1,.解得a,b.(2)f(x)()1.函数定义域为(0,),列表x(0,1)1(1,2)2(2,)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减x1是f(x)的极小值点,x2是f(x)的极大值点【例6】已知函数f(x)x3ax2bxc,曲线yf(x)在点x1处的切线为l:3xy10,若x时,yf(x)有极值 (1)求a,b,c的值; (2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解: (1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb,当x1时,切线l的斜率为3,可得2ab0;当x时,yf(x)有极值,则f0,可得4a3b40.由解得a2,b4,又切点的横坐标为x1
13、,f(1)4.1abc4.c5.(2)由(1),得f(x)x32x24x5,f(x)3x24x4.令f(x)0,得x2或x,f(x)0的解集为,即为f(x)的减区间3,2)、是函数的增区间又f(3)8,f(2)13,f,f(1)4,yf(x)在3,1上的最大值为13,最小值为.变式迁移3已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a,bR),g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间1,2上的最大值和最小值解(1)由题意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数,所以
14、g(x)g(x),即对任意实数x,有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb,从而3a10,b0,解得a,b0,因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x,所以g(x)x22,令g(x)0,解得x1,x2,则当x时,g(x)0,从而g(x)在区间(,),(,)上是减函数;当x0,从而g(x)在区间(,)上是增函数由前面讨论知,g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1,2时取得,而g(1),g(),g(2).因此g(x)在区间1,2上的最大值为g(),最小值为g(2).四、课题巩固:一、选择题:1设f(x)为可导函数,且满
15、足1,则曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为()A2 B1 C1 D22(2012辽宁高考)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1 C1,) D(0,)3如图所示的曲线是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象,则xx等于()A. B. C. D.4.已知f(x)是f(x)的导函数,在区间0,)上f(x)0,且偶函数f(x)满足f(2x1)0,f(x)在0,)上单调递增,又因f(x)是偶函数,f(2x1)ff(|2x1|)f|2x1|,2x1. 即x2,则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上有_个零点参考答案:1 (0,1) 2. 37 3. 4. 1个 解
16、析:f(x)x22axx(x2a)0x10,x22a4,易知f(x)在(0,2)上为减函数,且f(0)10,f(2)4a0,由零点判定定理知,在函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有1个零点三、解答题9.已知函数f(x)xln x. (1)求f(x)的极小值; (2)讨论关于x的方程f(x)m0 (mR)的解的个数解(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)ln x1, 令f(x)0,得x,当x(0,)时,f(x),f(x)的变化的情况如下:xf(x)0f(x) 极小值 所以,f(x)在(0,)上的极小值是f.(2)当x,f(x)单调递减且f(x)的取值范围是; 当x时,f(x)单调递增且f(x)的取值范围是. 令yf(x),ym,两函数图象交点的横坐标是f(x)m0的解,由(1)知当m时,原方程无解;由f(x)的单调区间上函数值的范围知,当m或m0时,原方程有唯一解;当m1,求函数yf(x)在区间(a1,a1
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