圆锥曲线解题技巧和方法综合全.docx
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圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧
一、常规七大题型：
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：
设曲线上两点为（x1,y1），
（x2,y2），代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
22
如：
（1）笃•笃=1（ab0）与直线相交于A、B,设弦AB中点为M（Xo,yo），则有
ab
卑卑k=0。
ab
22
（2）笃-每=1（a0,b0）与直线I相交于AB,设弦AB中点为M（xo,yo）则有
ab
2
（3）y=2px（p>0）与直线
I相交于A、B设弦AB中点为M（X0,y0）,则有2y°k=2p,即yok=p.
2
典型例题
给定双曲线x2--1。
过A（2，1）的直线与双曲线交于两点R及F2，
2
求线段F1P2的中点F的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭
桥。
22
典型例题设P（x,y）为椭圆
xy
22=1上任一点，F1（-c,0）,F2（c,0）为焦点,
ab
PF1F^•，PF2R=:
。
（2）求|PF『•PFJ3的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观
性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题
抛物线方程y2=p（x1）（p0），直线x・y=：
t与x轴的交点在抛物线准线的右边。
（1）求证：
直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f（t）的表达式。
（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
（1）,可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：
“求范围，找不
等式”或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于
（2）首
先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：
“最值问题，函数思
想”
最值问题的处理思路：
1、建立目标函数。
用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；
2、数形结合，用化曲为直的转化思想；
3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；
4、借助均值不等式求最值。
典型例题
已知抛物线y2=2px（p>0）,过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,
|AB|<2p
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求厶NAB面积的最大值。
（5）求曲线的方程问题
1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。
若点A（-1，0）和
点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
2•曲线的形状未知-----求轨迹方程典型例题
已知直角坐标平面上点Q（2,0）和圆C:
x2+y2=l,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数•（•>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
（6）存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：
求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。
（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来
解决）
y=4x-m，椭圆C上有不同两点关于直线对称
（7）两线段垂直问题
y1•y2
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用ki•k212--1来处理或用向量的坐标
x1•x2
运算来处理。
典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P（「2,0），抛物线C:
y2二4（x1），直线I与
抛物线C有两个不同的交点（如图）。
（1）求k的取值范围；
（2）直线I的倾斜角二为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
四、解题的技巧方面：
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。
事实上，如果我们能够充分利用
几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。
下面举例说明：
（1）充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题设直线3x4y•m=0与圆x2•y2•x-2y=0相交于P、Q两点，O为
坐标原点，若OP_OQ，求m的值。
（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中
点等问题中常常用到。
典型例题已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线y=x•1相交于P、Q两点，
且OP_OQ,|PQ|二」0，求此椭圆方程。
2
（3）充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
2222
典型例题求经过两已知圆C1:
xy-4x•2y=0和C2:
xy-2y-4=0的交点，且圆心在直线丨：
2x•4y一1=0上的圆的方程。
（4）充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。
22
典型例题P为椭圆笃•当=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四
ab
边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。
（5）线段长的几种简便计算方法
1充分利用现成结果，减少运算过程
一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：
把直线方程y=kx•b代入圆锥
曲线方程中，得到型如ax2bx・c=0的方程，方程的两根设为xA,xB，判别式为△,
△
则|AB卜1k2•|x^xB^.1k2・一，若直接用结论，能减少配方、开方等运算
|a|
过程。
例求直线x-y•1=0被椭圆x24y2=16所截得的线段AB的长。
2结合图形的特殊位置关系，减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线
的定义，可回避复杂运算。
22
例F1、F2是椭圆-y1的两个焦点，AB是经过F1的弦，若|AB|=8，求值
259
|F2AI|F2B|
3禾U用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例点A（3,2）为定点，点F是抛物线y2二4x的焦点，点P在抛物线y2二4x上
移动，若|PA|TPF|取得最小值，求点P的坐标。
圆锥曲线解题方法技巧归纳
第一、知识储备:
1.直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：
点斜式、两点式、斜截式、截距式、
一般式。
（2）与直线相关的重要内容
1倾斜角与斜率k二tan三[0,二）
2点到直线的距离d=A第Byo啟③夹角公式：
Ja2+b2
tan屮2-匕
|仆2人|
（3）弦长公式
直线y=kx+b上两点A（X|,yj,B（x2,y2）间的距离：
AB|=Ji+k21-x2
=J（i+k2）[（xi+X2）2—4x1X2]或ab=Ji*I%-y2
（4）两条直线的位置关系
①h_12二环2=-1②h〃l2二k^k2且d=b2
2、圆锥曲线方程及性质
（1）、椭圆的方程的形式有几种？
（三种形式）
22
标准方程：
——=1（m0,n•0且mn）
mn
距离式方程：
、、（xc）2y2.（x-c）2y2=2a
参数方程：
x=acos^,y=bsin日
（2）、双曲线的方程的形式有两种
标准方程：
22
xy
1（mn：
：
：
0）
mn
距离式方程:
|（xc）2y2_.（x—c）2y2|=2a
（3）、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
椭圆：
近；双曲线：
玄；抛物线：
2p
aa
（4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？
如:
22
已知印F2是椭圆-仝=1的两个焦点，平面内一个动点M满
43
足MF」［MF?
=2则动点M的轨迹是（）
A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线
（5）、焦点三角形面积公式：
P在椭圆上时，SFPF=b2tan$
0
P在双曲线上时，S爭PF二b2cot-
（其中•EPF?
」卑生，左・昆=|尿|忌Icosr）
1PF111PF21
（6）、记住焦半径公式：
（1）
椭圆焦点在x轴上时为a_exo；焦点在y轴上时为a_ey°
，可简记为“左加右减，上加下减”
（2）双曲线焦点在x轴上时为e|x0|_a
（3）抛物线焦点在x轴上时为|x,「号,焦点在y轴上时为|y1L-p
（6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？
_第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）
22
设Ax「y1、Bxzy，Ma,b为椭圆—-1的弦AB中点则有
43
Xi-X2XiXyi-y25^23a
二―〒——〒—=kAB一乓
2、联立消元法：
你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?
经典套路是什么？
如果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式.-0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A（X!
yi）,B（X2,y2），将这两点代入曲线方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元,若有两个
字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。
若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。
一旦设直线为y=kX•b，就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y2=80上，且点A
是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为900,AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
分析：
第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。
第二问抓住角A为90°可得出AB丄AC,从而得X1X2y”2T4（yiy2）16=0，然后利用联立消元
法及交轨法求出点D的轨迹方程；
解：
（1）设B（Xi,yi）,C（X2,y2）,BC中点为（x°,y°）,F（2,0）则有
2222
生+比=［么丄
2016-，2016
F（2,0）为三角形重心，所以由X1空=2，得Xo=3，由y1y24=0得
33
yo--2，代入
（1）得k=—
5
直线BC的方程为6x-5y-28=0
2）由AB丄AC得x1x2y1y2-14（y1y2）1^0
（2）
设直线BC方程为y=kx•b,代入4x2•5y2=80,得
（45k2）x210bkx5b2-80=0
-10kb5b2—80
x1x2_45k2，x1x2_4.5k2
22
9y9x-32y-16=0
所以所求点D的轨迹方程是x2（y-16）2=（垒）2（y=4）
99
4、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中ab-2CD，点E分有向线段aC所
成的比为,双曲线过c、D、E三点，且以A、B为焦点当討W时，求双曲线离心率e的取值范围。
分析：
本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念
和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。
建
立直角坐标系xOy，如图，若设CC,h，代入笃—爲=1，求得h二川,
12丿ab
建立直角坐标系xOy,则CD丄y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、
B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称
程得
e2
由①式得
将③式代入②式，整理得
2
4_4：
—2・，
4
故•=1_J-
21
由题设「.拦得，？
叮_亠迄3
343e2+24
解得.7所以双曲线的离心率的取值范围为1.7,JO1
分析：
考虑|AE,AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE,AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.
解法二：
建系同解法一，|AE=-（a+e^）,AC|=a+ex：
设3八4得，討-兀诗
解得..7^—10
所以双曲线的离心率的取值范围为「7,J01
5、判别式法
例3已知双曲线c工工韵，直线l过点A.,2,0，斜率为k，当0k:
1'22
时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线I的距离为'•2，试求k的
值及此时点B的坐标。
分析1:
解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因
此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：
过点B作与I平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式
—0.由此出发，可设计如下解题思路:
I:
y=k（x—.2）0:
:
:
k:
：
:
1
直线I'在I的上方且到直线I的距离为...2
解得k的值
解题过程略.
分析2:
如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为＜2”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：
问题
1T
kx_Vk|
关于x的方程—=L=J2（ockci）有唯一
_."k2+片
D转化为一元二次方程根的问题
求解
简解：
设点M（x,\2x2）为双曲线C上支上任一点，则点M到直
线I的距离为:
于是，问题即可转化为如上关于x的方程.
由于0：
：
：
k：
：
：
1，所以2x2xkx，从而有
kx_耳；2+x2-J2k=-kx+^2+x2+<2k.
于是关于x的方程■-
—_kx2x22k二2（k21）
=卜;2+x2i=（j2（k2+1）_&k+kx）2,
|j2（k21）-,2kkx0
『__2
二未2_1x2+2k（：
2（k2+1）—Jkx+（；2（k2+1）—J2k）_2=0,
<
］」2（k21）72kkx.0.
由0:
:
k：
：
1可知：
方程k2—1x22k.2（k2—1）_-2kx.2（k^1）-..2^-^0的二根同
正，故2（k^1）-2kkx0恒成立，于是等价于
k2-1x22k.2（k2T）-.2kx.2（k21）-、2k-2=0.
由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式:
=0，就可解得
25
k.
5
点评：
上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了
全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C：
x2+2y2=8和点P（4，1），过P作直线交椭圆于
在曲线的方程.
分析：
这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往
往不知从何入手。
其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因
此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表
达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点Q（x,y）的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线
AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？
一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：
二一竺来转化•由A、B、
PBQB
P、Q四点共线，不难得到x_4（XaXb）/XaXb，要建立x与k的关系，只需-8（Xa+Xb）
将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
点Q的轨迹方程
在得到X二fk之后，如果能够从整体上把握，认识到：
所谓消参，目的不过是得到关于X,y的方程（不含k），则可由y=k（x-4）+1解得k=口，直接代入x=fk即可得到轨迹方程。
从而简化消去参的过
x「4
程。
设直线AB的方程为：
y=k（x-4）T，代入椭圆C的方程，消去y
得出关于X的一元二次方程：
2k21x24k（1_4k）x2（1_4k）2_8=0
（2）
Xi+X2
X1X2=
4k（4k-1）
-2k21，
2
2（1_4k）-8
2
2k1
与y=k（x-4）*1联立，消去k得：
2x*y-4（x-4）=0.
在
（2）中，由厶=-64k264k24•0,解得2-10,.k10，结合（3）
4^24
可求得16_2丽八」6七9故知点Q的轨迹方程为：
2xy-4=0（16一210：
*：
16210）.
99
点评：
由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元
二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参•，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
6、求根公式法
22
例5设直线I过点P（0，3），和椭圆-•丄1顺次交于A、B两点，
94
试求需的取值范围•
PB
分析：
本题中，绝大多数同学不难得到：
竺二一2，但从此后却一
PBXb
筹莫展，问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：
其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系•
分析1：
从第一条想法入手，詈二-乎已经是一个关系式，但由于
有两个变量Xa,Xb，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利
用第3个变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xa,xb转化
为关于k的表达式，至吐匕为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
所求量的取值范围
简解1当直线I垂直于x轴时，可求得仗=」；
PB5
当I与X轴不垂直时，设Axi,yi,B（X2,y2），直线I的方程为:
y=kX3，代入椭圆方程，消去y得9k24x254kx•45=0
由.■:
=（-54k）2-1809k24_0,解得k2_5，
9
18^」，
929—5k25
综上一心竺—「
PB5
分析2:
如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：
判别式
往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因
在于齢^不是关于X1，X2的对称关系式.原因找到后’解决问题的
方法自然也就有了，即我们可以构造关于X「X2的对称关系式.
简解2：
设直线I的方程为：
y=kx・3，代入椭圆方程，消去y得
9k24x254kx45=0（*）
x1x2
45
2
9k4
令鱼一，则，「丄—324k2.
x2-45k-20
在（*）中，由判别式—0,可得k2—5，
9
324k<36，所以
_45k20一5
1
5.
5
结合0：
：
：
■乞1得1—叮.
5
AP1
综上，-1.
PB5
点评：
范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值
不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题
也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里第三、推理训练：
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。
以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。
在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。
例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AFFB=1，齐=1.
（I）求椭圆的标准方程；
（H）记椭圆的上顶点为M,直线I交椭圆于P,Q两点，问：
是否存在直线I，使点F恰为PQM的垂心？
若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由。
思维流程:
a=2,b=1
写出椭圆方程
3x24mx2m2-2=0
得出关于m的方程
解题过程：
22
（I）如图建系，设椭圆方程为笃占=1（ab•0）则c=1ab
又tAFFB=1即（a+c）（a-c）=1=a2-c2a2=2
2
故椭圆方程为才•y2=1
（H）假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且F恰为：
PQM的垂心,
则
设P（Xi,yJ,Q（X2,y2），丁M（0,1）,F（1,0），故kPQ-1,
于是设直线I为y=x+m，由!
厂X；m得，工+2丫2=2
22
3x4mx2m-2=0
TMPFQ=0=n（x2-1）y2（%-1）又y=人m（i=1,2）
得x1（x2-1）（x2m）（x!
m-1）=0即
2x^2（x!
-x2）（m-1）•m2-m=0由韦达定理得
2
c2m-24m,八2门
2（m-1）m2-m=0
33
匚44
解得m二--或m=1（舍）经检验m二--符合条件.
33
点石成金：
垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两
向量乘积为零.
例7、已知椭圆E
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