圆锥曲线解题技巧和方法综合全.docx

1、圆锥曲线解题技巧和方法综合全圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法) ：设曲线上两点为(x1, y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。2 2如：(1)笃笃=1(a b 0)与直线相交于 A、B,设弦 AB中点为 M(Xo,yo)，则有a b卑卑k=0。a b2 2(2) 笃-每=1(a 0,b 0)与直线I相交于 A B,设弦AB中点为M(xo,yo)则有a b2（3）y =2 px（ p0）与直线I相交于A、B设弦AB中点为M(X0,y0)

2、,则有2yk=2p,即yok=p.2典型例题给定双曲线x2 - 1。过A(2，1)的直线与双曲线交于两点 R 及F2，2求线段F1 P2的中点F的轨迹方程。(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。2 2典型例题 设P(x,y)为椭圆x y2 2=1 上任一点，F1（-c,0） , F2（c,0）为焦点,a bPF1F ， PF2R =:。(2)求|PF PFJ3的最值。(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形

3、结合的思想， 通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y2 =p(x 1) (p 0)，直线xy=：t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为 A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函 数，三角函数，均值不等式)求最值。(1),可以设法

4、得到关于 a的不等式，通过解不等式求出 a的范围，即：“求范围，找不等式”或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a的范围；对于(2)首先要把 NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值 ，即：“最值问题，函数思想”最值问题的处理思路：1、 建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关 键是由方程求x、y的范围；2、 数形结合，用化曲为直的转化思想；3、 利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、 借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0),过M (a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同

5、的两点 A、B,|AB| 0), 求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。(6)存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线， 求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。 (当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)y =4x - m，椭圆C上有不同两点关于直线对称(7)两线段垂直问题y1 y2圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用 ki k2 1 2 - -1来处理或用向量的坐标x1 x2运算来处理。典型例题 已知直线l的斜率为k，且过点P（2,0），抛物线C:y2二4（x 1），直线I与抛物线C有两个不同的交点（如图）。（1） 求k的取值范

6、围；（2） 直线I的倾斜角二为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。 事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。 下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代 数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题 设直线3x 4y m = 0与圆x2 y2 x -2y = 0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若 OP_OQ，求m的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求

7、”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它， 而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题 已知中心在原点 O,焦点在y轴上的椭圆与直线 y = x 1相交于P、Q两点，且OP_OQ , |PQ|二0，求此椭圆方程。2（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。2 2 2 2典型例题 求经过两已知圆 C1: x y -4x 2y = 0和C2: x y -2y-4 = 0的 交点，且圆心在直线 丨：2x 4y 一1 =0上的圆的方程。(4)充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值

8、的问题.这 也是我们常说的三角代换法。2 2典型例题 P为椭圆 笃当=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四a b边形OAPB面积的最大值及此时点 P的坐标。(5)线段长的几种简便计算方法1充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是：把直线方程 y=kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如 ax2 bxc = 0的方程，方程的两根设为 xA , xB，判别式为,则|AB卜1 k2 |xxB .1 k2一，若直接用结论，能减少配方、开方等运算|a|过程。例 求直线x - y 1 =0被椭圆x2 4y2 =16所截得的线段AB的长。2结合图形的特殊位置

9、关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时， 由于圆锥曲线的定义都涉及焦点， 结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。2 2例 F1、F2是椭圆- y 1的两个焦点，AB是经过F1的弦，若|AB|=8，求值25 9| F2AI |F2B|3禾U用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A (3, 2)为定点，点F是抛物线y2二4x的焦点，点P在抛物线y2二4x上移动，若|PA|TPF|取得最小值，求点 P的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备:1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容1倾斜角与斜率k

10、二tan三0,二)2点到直线的距离d = A第Byo啟 夹角公式：Ja2 + b2tan屮2 -匕|仆2人|(3)弦长公式直线 y =kx +b 上两点 A(X|, yj, B(x2, y2)间的距离： AB| = Ji + k21 - x2=J(i + k2)(xi +X2)2 4x1X2 或 ab = Ji * I % - y2(4)两条直线的位置关系 h _ 12 二环2=-1 hl2 二 kk2且 d = b22、 圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)2 2标准方程：=1(m 0, n 0且 m n)m n距离式方程：、(x c)2 y2 .(x-c)2 y2

11、 = 2a参数方程： x =acos, y =bsin 日(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：2 2x y1(m n ： 0)m n距离式方程:| (x c)2 y2 _ . (x c)2 y2 |=2a（3） 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2pa a（4） 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如:2 2已知印F2是椭圆- 仝=1的两个焦点，平面内一个动点 M满4 3足MFMF? =2则动点M的轨迹是（ ）A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线（5）、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，SFPF =b2tan$0P在双曲线上时，S爭PF二b2 co

12、t -（其中 EPF? 卑 生，左昆=|尿|忌Icosr）1PF1 1 1 PF2 1（6）、 记住焦 半 径公式： （1 ）椭圆焦点在x轴上时为a_exo；焦点在y轴上时为a_ey，可简记为“左加右减，上加下减”（2） 双曲线焦点在x轴上时为e|x0|_a（3） 抛物线焦点在x轴上时为| x,号,焦点在y轴上时为| y1 L -p（6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）2 2设Axy1、Bxzy，M a,b为椭圆-1的弦AB中点则有4 3Xi - X2 Xi X yi - y2 5 2 3a二 = kAB一乓2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲

13、线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到 一个二次方程，使用判别式.-0，以及根与系数的关系，代入弦 长公式，设曲线上的两点A（X!, yi）, B（X2, y2），将这两点代入曲线方 程得到两个式子，然后 -，整体消元 ,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻 找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。 一旦设直线 为y = kX b，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2=80上，且点A是

14、椭圆短轴的一个端点（点 A在y轴正半轴上）.（1） 若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程;（2） 若角A为900 , AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为90可得 出AB丄AC,从而得X1X2 y”2 T4（yi y2） 16 =0，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：（1）设 B （ Xi,yi） ,C（X2,y2 ）,BC 中点为（x, y ）,F（2,0）则有2 2 2 2生+比=么丄20 16 - ，20 16F(2,0)为三角形重心，

15、所以由X1空=2，得Xo=3，由y1 y2 4 = 0得3 3yo - -2，代入(1)得 k =5直线BC的方程为6x-5y-28=02)由 AB 丄 AC 得 x1x2 y1y2 -14(y1 y2) 1 0 ( 2)设直线 BC 方程为 y = kx b,代入4x2 5y2 = 80 , 得(4 5k2)x2 10bkx 5b2 -80 =0-10kb 5b2 80x1 x2 _ 4 5k2， x1x2 _ 4 . 5k22 29y 9x -32y-16=0所以所求点D的轨迹方程是x2 （y-16）2 =（垒）2（y = 4）9 94、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD中ab -2

16、CD，点E分有向线段aC所成的比为,双曲线过c、D、E三点，且以A、B为焦点当討W时， 求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设CC,h，代入笃爲=1，求得h二川,12 丿 a b建立直角坐标系xOy ,则CD丄y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知 C、D关于y轴对称程得e2由式得将式代入式，整理得24_4：2，4故 =1 _ J-21由题设.拦得，？叮_亠迄334 3 e2 +2 4解得 .7 e ,10所以双曲线的离心率的取值范围

17、为1.7 , JO 1分析：考虑|AE , AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE , AC用E,C的横坐 标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一，| AE =-（a + e ）, AC| = a + ex：,设3八4得，討-兀诗解得 .7 10所以双曲线的离心率的取值范围为 7 , J0 15、判别式法例3已知双曲线c工工韵，直线l过点A .,2,0，斜率为k，当0 k : 1 2 2时，双曲线的上支上有且仅有一点 B到直线I的距离为 2，试求k的值及此时点B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段

18、.从“有且仅有” 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B作与I平行的直线，必 与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路:I: y=k(x .2) 0 : k :：: 1直线I在I的上方且到直线I的距离为.2解得k的值解题过程略.分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式 表达，即所谓“有且仅有一点 B到直线I的距离为2 ”，相当于化归 的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：问题1Tkx _ Vk|关于x的方程 = L = J2 (o ck ci)有唯一_ . k2 +片D转化为一元二次方程根的问题求解简解：设点M(x, 2 x

19、2)为双曲线C上支上任一点，则点 M到直线I的距离为:于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 ： k ： 1，所以 2 x2 x kx，从而有kx _耳；2 +x2 -J2k = -kx +2 + x2 + 2k.于是关于x的方程-_ kx 2 x2 2k 二 2(k2 1)= 卜;2+x2 i =(j2(k2 +1) _&k +kx)2,| j2(k2 1) - ,2k kx 0 _ _ 2二 未2 _1 x2 +2k(：2(k2 +1) Jk x +(； 2(k2 +1) J2k ) _2 =0, 2(k2 1) 72k kx .0.由0 : k ：1可知：方程 k21x2 2k .

20、 2(k21) _-2k x . 2(k1) - . 2 -0 的二根同正，故 2(k1) - 2k kx 0恒成立，于是 等价于k2 -1 x2 2k . 2(k2 T) - . 2k x . 2(k2 1) -、2k -2=0.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式 :=0，就可解得, 2 5k .5点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C：x2 +2y2 =8和点P(4，1)，过P作直线交椭圆于在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 .因此，首

21、先是选定参数，然后想方设法将点 Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在 直线AB上；另一方面就是运用题目条件：二一竺来转化由A、B、PB QBP、Q四点共线，不难得到x _4(Xa Xb) /XaXb，要建立x与k的关系，只需 -8(Xa+Xb)将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于 如何解决本题，已经做到心中有数.点Q的轨迹方程在得到X二f k之后，如果能够从整体上把握，认识

22、到：所谓消参， 目的不过是得到关于X,y的方程（不含k），则可由y=k（x-4）+1解得 k = 口，直接代入x = f k即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过x4程。设直线AB的方程为：y=k（x-4） T，代入椭圆C的方程，消去y得出关于X的一元二次方程：2k2 1 x2 4k(1 _4k)x 2(1 _4k)2 _8 =0 (2)Xi +X2X1X2 =4k(4k -1)-2k2 1 ，22(1 _4k) -822k 1与 y = k(x -4) * 1 联立，消去 k 得：2x * y - 4 (x - 4) = 0.在（2）中，由厶=-64k2 64k 24 0 ,解得 2-10 ,

23、.k 10，结合（3）424可求得 16 _2丽八6七 9 x 9 .故知点Q的轨迹方程为：2xy-4 = 0 （ 16 一2 10 ：*：16 2 10）.9 9点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在 引出参，活点在应用参，重点在消去参，而“引参、用参、消参” 三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道 .6、求根公式法2 2例5设直线I过点P（ 0，3），和椭圆-丄1顺次交于A、B两点，9 4试求需的取值范围PB分析：本题中，绝大多数同学不难得到： 竺二一2，但从此后却一PB Xb筹莫展，问题的根源在于对题目

24、的整体把握不够.事实上，所谓求取 值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个） 参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则 是构造关于所求量的一个不等关系分析1：从第一条想法入手， 詈二-乎已经是一个关系式，但由于有两个变量Xa,Xb，同时这两个变量的范围不好控制， 所以自然想到利用第3个变量 直线AB的斜率k.问题就转化为如何将xa,xb转化为关于k的表达式，至吐匕为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y得 出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围简解1当直线I垂直于x轴时，可求得仗=；PB 5当I与X轴不垂直时，设 Axi,yi ,B(X

25、2, y2)，直线I的方程为:y = kX 3，代入椭圆方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 45 = 0由 .: =(-54k)2 -1 8 09k2 4 _0,解得 k2 _5，918，9 2 95k2 5综上一心竺PB 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定 k的取值 范围，于是问题转化为如何将所求量与 k联系起来.一般来说，韦达 定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于齢不是关于X1，X2的对称关系式.原因找到后解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 XX2的对称关系式.简解2

26、：设直线I的方程为：y=kx3，代入椭圆方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 45 = 0 （*）x1 x24529k 4令鱼一，则，丄324k2 .x2 - 45k - 20在（*）中，由判别式0,可得k25，9324k 36，所以_45k 20 一 515.5结合0 ： 乞1得1叮.5AP 1综上，-1 .PB 5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等 .本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能 说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只

27、有 见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基 本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、 公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标， 得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题 之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜密、推 理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点， 且 AF FB =1，齐=1 .(I)求椭圆的标准方程；(H)记椭圆的上顶点为M ,直线I交椭圆于P,Q

28、两点，问：是否 存在直线I，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线I的方程； 若不存在，请说明理由。思维流程:a = 2,b = 1写出椭圆方程3x2 4mx 2m2 -2=0得出关于 m的方程解题过程：2 2(I)如图建系，设椭圆方程为 笃 占=1(a b 0)则c = 1 a b又 t AF FB = 1 即(a + c) (a - c) = 1 = a2 - c2 a2 = 22故椭圆方程为才 y2 =1(H)假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且F恰为：PQM的垂心,则设 P(Xi,yJ,Q(X2, y2)，丁 M (0,1),F(1,0)，故 kPQ -1 ,于是设直线I为 y = x + m ，由!厂X；m 得， 工+2丫2 = 22 23x 4mx 2m -2 = 0T MP FQ = 0 = n(x2-1) y2(%-1)又 y =人 m(i =1,2)得 x1(x2 -1) (x2 m)(x! m -1) = 0 即2x2 (x! - x2)(m -1) m2 - m = 0 由韦达定理得2c 2m -2 4m, 八 2 门2 (m-1) m2-m=03 3匚 4 4解得m二-或m =1 (舍) 经检验m二-符合条件.3 3点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边， 然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆E