专题培优 八年级数学上册 全等三角形证明题 培优专题含答案.docx

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专题培优八年级数学上册全等三角形证明题培优专题含答案

2018年八年级数学上册全等三角形证明题培优专题

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.

（1）求证：

△BCE≌△DCF；

（2）求证：

AB+AD=2AE.

如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：

（1）EC=BF；

（2）EC⊥BF.

如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．

如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：

BD=2CE．

如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：

∠C=2∠B

已知:

在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,

CE⊥AE于E.

（1）当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；

（2）当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？

请说明理由；

（3）归纳

（1）、

（2）,请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.

如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：

AD+BC=AB．

如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：

AB=DE．

如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：

CF=DG；

（2）求出∠FHG的度数．

如图，已知：

正方形ABCD，由顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，且∠EAF=45°，求证：

BE+DF=EF．

如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：

∠B=∠CAF．

如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：

∠A+∠C=180°．

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．

（1）若∠MFC=1200，求证:

AM=2MB；

（2）求证：

∠MPB=900﹣

∠FCM．

如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？

请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+

=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）求OA、OB的长；

（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；

（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

（1）证明：

∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

∴△BCE≌△DCF；

（2）解：

∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠F=∠CEA=90°，

在Rt△FAC和Rt△EAC中，

，∴Rt△FAC≌Rt△EAC，∴AF=AE，

∵△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.

证明：

（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，∵

，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；

（2）如图，根据

（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，

∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，所以EC⊥BF.

答案为：

80°，50°；

证明：

因为∠CEB=∠CAB=90°所以：

ABCE四点共元

又因为：

∠ABE=∠CBE所以：

AE=CE所以：

∠ECA=∠EAC

取线段BD的中点G，连接AG，则：

AG=BG=DG

所以：

∠GAB=∠ABG

而：

∠ECA=∠GBA所以：

∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB

而：

AC=AB所以：

△AEC≌△AGB

所以：

EC=BG=DG所以：

BD=2CE

证明:

延长AC至E,使CE=CD,连接ED

∵AB=AC+CD∴AE=AB

∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD

∴AE=AB∠EAD=∠BADAD=AD∴△ADE≌△ADB

∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD

∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B

即∠C=2∠B

解：

（1）在△ABC中,∠BAC=90°，∴∠BAD＝90°-∠EAC。

又∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∴∠BAD＝90°-∠EAC=∠ACE。

而AB=AC，于是△ABD全等于△CAE，BD=AE,AD=CE。

因此，BD=AE=AD+DE=DE+CE。

（2）DE=BD+CE。

理由：

与

（1）同理，可得△ABD全等于△CAE，于是BD=AE,CE=AD，DE=AE+AD=BD+CE。

（3）当直线AE与线段BC有交点时，BD=DE+CE；

当直线AE交于线段BC的延长线上时，DE=BD+CE。

证明：

做BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC.

证明：

如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，

在△ABC与△EHC中，

∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，

∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H，

∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．

（1）证明：

∵在△CBF和△DBG中，

，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；

（2）解：

∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，

又∵∠CFB=∠DFH，

又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，

△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，

∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．

证明：

如图，延长CD到G，使DG=BE，

在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∴∠ADG=∠B，

在△ABE和△ADG中，

，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，

∵∠EAF=45°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△AGF中，

，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，

∵GF=DG+DF=BE+DF，∴BE+DF=EF．

证明：

∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，

∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，

又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠B=∠CAF．

证明：

过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，

在RtCDE和Rt△ADF中，

，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），

∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．

略

证明：

如图，连接PB，PC，

∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，

∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，

在Rt△PMC和Rt△PNB中，

，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．

解：

（1）∵|m﹣n﹣3|+

=0，且|m﹣n﹣3|≥0，

≥0

∴|m﹣n﹣3|=

=0，∴n=3，m=6，∴点A（0，6），点B（3，0）；

（2）连AP=t，OP=|6﹣t|，∴S=0.5OPOB=1.5|6﹣t|；（t≥0）

（3）作出图形，

∵∠OAB+∠OBA=90°，∠OAB+∠OPE=90°，∴∠OBA=∠OPE，

∴只要OP=OB，即可求证△EOP≌△AOB，∴AP=AO+OP=9，∴t=9．