完整版高考数学专题导数题的解题技巧.docx
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完整版高考数学专题导数题的解题技巧
第十讲导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势：
综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：
（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问
题.
（2）求极值,函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌
握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导
法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【例题解析】
考点1导数的概念
对概念的要求：
了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
13
例1．（2007年北京卷）f（x）是f（x）x32x1的导函数，则f
（1）的值是．
[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
22
[解答过程]Qf（x）x22,f
（1）123.
故填3.
例2.（2006年湖南卷）设函数f（x）xa,集合M={x|f（x）0},P={x|f'（x）0},若MP,则实x1
数a的取值范围是（）
A.（-∞,1）B.（0,1）C.（1,+∞）D.[1,+∞）
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由xa0,当a>1时,1xa;当a<1时,ax1.x1
/
xax1xa
2
1
a1.综上可得MP时,a1.考点2曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f（x）在某一点P（x,y）切线的斜率.
（2）
关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线典型例题
极值点．
2
I）求a24b的最大值；
II）当a24b8时，设函数yf（x）在点A（1，f
（1））处的切线为l，若l在点A处穿过
函数yf（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线yf（x）运动，经过点A时，从l的一侧
进入另一侧），求函数f（x）的表达式．
思路启迪：
用求导来求得切线斜率.
1312解答过程：
（I）因为函数f（x）x3ax2bx在区间［1，1），（1，3］内分别有一个极值点，
32
所以f（x）x2axb0在［1，1），（1，3］内分别有一个实根，
设两实根为x1，x2（x1x2），则x2x1a24b，且0x2x1≤4．于是
0a24b≤4，0a24b≤16，且当x11，x23，即a2，b3时等号
成立．故a24b的最大值是16．
（II）解法一：
由f
（1）1ab知f（x）在点（1，f
（1））处的切线l的方程是21
yf
（1）f
（1）（x1），即y（1ab）xa，
32
因为切线l在点A（1，f（x））处空过yf（x）的图象，
21
所以g（x）f（x）［（1ab）xa］在x1两边附近的函数值异号，则
32
x1不是g（x）的极值点．
而g（x）1x
12ax
bx（1
2
ab）x
1a，且
3
2
3
2
g（x）x2ax
b（1
ab）
x2ax
a
1（x1）（x1a）
因为切线l在点A（1，f
（1））处穿过yf（x）的图象，所以g（x）在x1两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2（m11m2）．
当m1x
1时，
g（x）0，当
1x
m2时，g（x）0；
或当m1
x1时，
g（x）0，
当1
xm2时，g（x）0
2
3a
3a
设h（x）
x21
x2
，则
2
2
当m1x
1时，
h（x）0，当
1x
m2时，h（x）0；
或当m1
x1时，
h（x）0，
当1
xm2时，h（x）0．
由h
（1）0知x1是h（x）的一个极值点，则h
（1）2110，
2所以a2，又由a24b8，得b1，故f（x）1x3x2x．
3
例4（.2006年安徽卷）若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为（）
A．4xy30B．x4y50
C．4xy30D．x4y30
［考查目的］本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
［解答过程］与直线x4y80垂直的直线l为4xym0，即yx4在某一点的导数为4，而y4x3，所以yx4在（1，1）处导数为4，此点的切线为4xy30.
故选A.
例5．（2006年重庆卷）过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+5=0相切的直线的方程为（）
2
1111
A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力
求出此时公切线的方程
思路启迪
：
先对C1
2
:
yx2x,C2:
y
2x
a求导数.
解答过程
：
函数y
x22x的导数为y'
2x
2，
曲线
C1在点
P（x1,x122x1）处的切线方程为
y（x12
2x1）2（x1
2）（xx1），即y
2（x1
1）x
2x1
①
曲线C1在点Q（x2,
x22a）的切线方程是
y
（x2
a）
2x2（x
x2）即
2
若直线l是过点
y2x2xx2a
P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得
导数是研究函数性质的重要而
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，
进而与不等式的证明，讨论方程解
.复习时，应高度重视以下问题
5.构造函数证明不等式
有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法
解答过程：
（Ⅰ）f（x）6x26ax3b，
因为函数f（x）在x1及x2取得极值，则有f
（1）0，f
（2）0．
66a3b0，
即
2412a3b0．
解得a3，b4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）2x39x212x8c，
f（x）6x218x126（x1）（x2）．
当x（0，1）时，f（x）0；
当x（1，2）时，f（x）0；
当x（2，3）时，f（x）0．
所以，当x1时，f（x）取得极大值f
（1）58c，又f（0）8c，f（3）98c．
则当x0，3时，f（x）的最大值为f（3）98c．
2
因为对于任意的x0，3，有f（x）c2恒成立，
所以98cc2，
解得c1或c9，
因此c的取值范围为（，1）U（9，）．
例9.函数y2x4x3的值域是.
思路启迪：
求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：
由2x40得，x2，即函数的定义域为[2,）.
x30
112x32x4，
02．
（1）当时cos0，判断函数fx是否有极值；
（2）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对
（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数fx在区间2a1,a内都是增函数，
求实数a的取值范围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础
知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]（Ⅰ）当cos0时，f（x）4x3，则f（x）在（,）内是增函数，故无极值.
（Ⅱ）f'（x）12x26xcos，令f'（x）0，得x10,x2cos.
122由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
①当cos0时，随x的变化f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：
x
（,0）
0
cos
（0,co2s）
cos
2
cos
（2,
）
f'（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，函数f（x）在xcos处取得极小值f（cos），且f（cos）1cos33
222416
3）0，可得0cos3.
42
11.
6
0.矛盾.所以当cos0时，f（x）的极小值不会大于零
要使f（cos）0，必有1cos（cos2
24
x
（,cos）
2
cos
2
（co2s,0）
0
（0,）
f'（x）
+
0
-
0
+
f（x）
Z
极大值
]
极小值
Z
由于0cos3，故或3
2622
②当时cos0，随x的变化，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：
因此，函数f（x）在x若f（0）0，则cos
0处取得极小值f（0），且f（0）3cos
16
例11．（2006年山东卷）设函数f（x）=ax－（a+1）ln（x+1），其中a-1，求f（x）的单调区间［考查目的］本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
［解答过程］由已知得函数f（x）的定义域为（1,），且f'（x）ax1（a1）,x1
（1）当1a0时，f'（x）0,函数f（x）在（1,）上单调递减，
（2）当a0时，由f'（x）0,解得x1.
a
f'（x）、f（x）随x
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