版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件理.docx
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版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件理
第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件理
1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
（2）如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；
（3）如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；
（4）如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；
（5）如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．
【知识拓展】
从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；
（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件；
（4）若AB，则p是q的充分不必要条件；
（5）若AB，则p是q的必要不充分条件；
（6）若A
B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“x2＋2x－3<0”是命题．（ × ）
（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（ × ）
（3）若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．（ √ ）
（4）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（ √ ）
（5）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．（ √ ）
（6）若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．（ √ ）
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
答案 A
解析 对于A，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.
2．（教材改编）命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是（ ）
A．若xC．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2
答案 B
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
3．（教材改编）“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由（x－1）（x＋2）＝0可得x＝1或x＝－2，
∵{1}{1，－2}，
∴“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．
4．（2016·北京）设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
5．在下列三个结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
①若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；
②“
”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．
答案 ①②
解析 易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误.
题型一 命题及其关系
例1 （2016·宿州模拟）下列命题：
①“若a2②“全等三角形面积相等”的逆命题；
③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；
④“若
x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中正确的命题是（ ）
A．③④B．①③C．①②D．②④
答案 A
解析 对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.
思维升华
（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．
（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
（1）命题“若x>0，则x2>0”的否命题是（ ）
A．若x>0，则x2≤0
B．若x2>0，则x>0
C．若x≤0，则x2≤0
D．若x2≤0，则x≤0
（2）某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（ ）
A．不拥有的人们会幸福
B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福
D．不拥有的人们不幸福
答案
（1）C
（2）D
题型二 充分必要条件的判定
例2
（1）（2015·四川）设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
（2）已知条件p：
x>1或x<－3，条件q：
5x－6>x2，则綈p是綈q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案
（1）B
（2）A
解析
（1）∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝
，b＝
时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga3（2）由5x－6>x2，得2即q：
2所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
（2）集合法：
根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．
（3）等价转化法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
（1）（2016·四川）设p：
实数x，y满足x>1且y>1，q：
实数x，y满足x＋y>2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（2）已知p：
x＋y≠－2，q：
x，y不都是－1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案
（1）A
（2）A
解析
（1）当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，
当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，即q⇏p，
故p是q的充分不必要条件．
（2）（等价法）因为p：
x＋y≠－2，q：
x≠－1或y≠－1，
所以綈p：
x＋y＝－2，綈q：
x＝－1且y＝－1，
因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件，故选A.
题型三 充分必要条件的应用
例3 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
引申探究
1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴
方程组无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且S⇏P.
∴[－2,10][1－m,1＋m]．
∴
或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．
（2）要注意区间端点值的检验．
（1）已知命题p：
a≤x≤a＋1，命题q：
x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________________．
（2）已知条件p：
2x2－3x＋1≤0，条件q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案
（1）（0,3）
（2）[0，
]
解析
（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴MN，
∴
解得0（2）命题p为{x|
≤x≤1}，
命题q为{x|a≤x≤a＋1}．
綈p对应的集合A＝{x|x>1或x<
}，
綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴
或
∴0≤a≤
.故答案为[0，
]．
1．等价转化思想在充要条件中的应用
典例
（1）（2016·湖北七校联考）已知p，q是两个命题，那么“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
（2）已知条件p：
x2＋2x－3>0；条件q：
x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．（－∞，1]
C．[－1，＋∞）D．（－∞，－3]
思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化．
解析
（1）因为“p∧q是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”，所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件．
（2）由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．
∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.
答案
（1）A
（2）A
1．命题“若α＝
，则tanα＝1”的否命题是（ ）
A．若α≠
，则tanα≠1
B．若α＝
，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α＝
答案 A
2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（ ）
A．如果xB．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2
C．如果x<2ab，那么xD．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab
答案 C
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“≥”的否定是“<”．故答案C正确．
3．给出命题：
若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
答案 C
解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f（x）的图象不过第四象限，则函数y＝f（x）是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
4．（2015·重庆）“x＞1”是“
”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由x＞1⇒x＋2＞3⇒
，
⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“
”成立的充分不必要条件．故选B.
5．（2016·山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.
6．已知集合A＝{x∈R|
<2x<8}，B＝{x∈R|－1A．{m|m≥2}B．{m|m≤2}
C．{m|m>2}D．{m|－2答案 C
解析 A＝{x∈R|
<2x<8}＝{x|－1∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1>3，
即m>2，故选C.
7．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn图（如图）可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.
故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．
8.（2015·湖北）设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：
a1，a2，…，an成等比数列；q：
（a
＋a
＋…＋a
）（a
＋a
＋…＋a
）＝（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2，则（ ）
A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
答案 B
解析 若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则（a
＋a
＋…＋a
）（a
＋a
＋…＋a
）＝a
（1＋q2＋…＋q2n－4）·a
（1＋q2＋…＋q2n－4）＝a
a
（1＋q2＋…＋q2n－4）2，（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2＝（a1a2）2（1＋q2＋…＋q2n－4）2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.
9．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
答案 充分不必要
解析 ∵a－b>1，即a>b＋1.
又∵a，b为正数，
∴a2>（b＋1）2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立，反之，当a＝
，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．
10．有三个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．
其中真命题的序号为____________．
答案 ①
解析 命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．
11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
答案 充要
解析 若当x∈[0,1]时，f（x）是增函数，
又∵y＝f（x）是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f（x）是减函数．
当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，
∵T＝2，∴f（x）＝f（x－4）．
故x∈[3,4]时，f（x）是减函数，充分性成立．
反之，若x∈[3,4]时，f（x）是减函数，
此时x－4∈[－1,0]，
∵T＝2，∴f（x）＝f（x－4），
则当x∈[－1,0]时，f（x）是减函数．
∵y＝f（x）是偶函数，
∴当x∈[0,1]时，f（x）是增函数，必要性也成立．
故“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的充要条件．
12．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴
或
∴0≤m≤2.
13．若“数列an＝n2－2λn（n∈N*）是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．
答案 [
，＋∞）
解析 若数列an＝n2－2λn（n∈N*）为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<
.
故所求λ的取值范围是[
，＋∞）．
*14.下列四个结论中：
①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．
其中正确的是________．
答案 ①④
解析 由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；
由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；
由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，
反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，
所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．
*15.已知集合A＝{y|y＝x2－
x＋1，x∈[
，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解 y＝x2－
x＋1
＝（x－
）2＋
，
∵x∈[
，2]，∴
≤y≤2.
∴A＝{y|
≤y≤2}．
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤
，
解得m≥
或m≤－
，
故实数m的取值范围是（－∞，－
]∪[
，＋∞）．
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