（2）若a＝
，则f（x）＝
x3－
x＋
，
∴f（－1）＝
>0,f（0）＝
>0,f
（1）＝－
<0，
∴函数零点在（0,1），又f（
）＝0，
∴方程f（x）＝0在区间（－1,1）上的根为
.
10．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解（精确度0.1）.
[分析]
（1）转化为用二分法求函数f（x）＝2x3＋3x－3的正的零点，故首先要选定初始区间[a，b]，满足f（a）·f（b）＜0，然后逐步逼近．
（2）对于正实数所在的区间（a，b），满足b－a＜0.1.
[解析] 令f（x）＝2x3＋3x－3，
经计算，f（0）＝－3＜0，f
（1）＝2＞0.
f（0）·f
（1）＜0，
所以函数f（x）在（0,1）内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在（0,1）内有解．
取（0,1）的中点0.5，经计算f（0.5）＜0.
又因为f
（1）＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在（0.5,1）内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
（a，b）
中点c
f（a）
f（b）
f（
）
（0,1）
0.5
f（0）＜0
f
（1）＞0
f（0.5）＜0
（0.5,1）
0.75
f（0.5）＜0
f
（1）＞0
f（0.75）＞0
（0.5，0.75）
0.625
f（0.5）＜0
f（0.75）＞0
f（0.625）＜0
（0.625，0.75）
0.6875
f（0.625）＜0
f（0.75）＞0
f（0.6875）＜0
（0.6875，0.75）
|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1
因为|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1，
所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
能力提升
一、选择题
1．若函数f（x）＝log3x＋x－3的一个附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
f
（2）＝－0.3691
f（2.5）＝0.3340
f（2.25）＝－0.0119
f（2.375）＝0.1624
f（2.3125）＝0.0756
f（2.28125）＝0.0319
那么方程x－3＋log3x＝0的一个近似根（精确度为0.1）为（ ）
A．2.1B．2.2
C．2.3D．2.4
[答案] C
[解析] 由参考数据可知
f（2.25）f（2.3125）<0，
且|2.3125－2.25|＝0.0625<0.1，
所以当精确度为0.1时，可以将x＝2.3作为函数f（x）＝log3x＋x－3零点的近似值，也即方程x－3＋log3x＝0根的近似值．
2．某方程在区间（2,4）内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分（ ）次后，所得近似值的精确度可达到0.1（ ）
A．2B．3
C．4D．5
[答案] D
[解析] 等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.
3．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是（ ）
①y＝3x2－2x＋5；②y＝
；③y＝
＋1，x∈（－∞，0）；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝
x2＋4x＋8.
A．①③B．②⑤
C．⑤D．①④
[答案] C
[解析] 二分法只适用于在给定区间上图象连续不间断的函数变号零点的近似值的求解．题中函数①无零点，函数②③④都有变号零点，函数⑤有不变号零点－4，故不能用二分法求零点近似值，故选C.
4．已知f（x）的一个零点x0∈（2,3），用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（ ）
A．6B．7
C．8D．9
[答案] B
[解析] 函数f（x）的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为
＜0.01，故选B.
二、填空题
5．已知函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f（x）
－136
－21
6
19
13
－1
－8
－2
4
29
98
则下列判断正确的是________．
①函数f（x）在区间（－1,0）内有零点；②函数f（x）在区间（2,3）内有零点；③函数f（x）在区间（5,6）内有零点；④函数f（x）在区间（－1,7）内有三个零点．
[答案] ①②③
[解析] f（－1）·f（0）＜0，f
（2）·f（3）＜0，f（5）·f（6）＜0，又f（x）的图象连续不断，所以函数f（x）在（－1,0），（2,3），（5,6）三个区间上均有零点，但不能断定有几个零点，故①②③正确，④不正确．
6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
－1.6
－1.4
－1.2
－1
－0.8
－0.6
－0.4
－0.2
0
…
y＝2x
0.3298
0.3789
0.4352
0.5
0.5743
0.6597
0.7578
0.8705
1
…
y＝x2
2.56
1.96
1.44
1
0.64
0.36
0.16
0.04
0
…
若方程2x＝x2有一个根位于区间（a，a＋0.4）（a在表格中第一栏里的数据中取值），则a的值为________．
[答案] －1或－0.8
[解析] 令f（x）＝2x－x2，由表中的数据可得f（－1）＜0，f（－0.6）＞0；f（－0.8）＜0，f（－0.4）＞0，
∴根在区间（－1，－0.6）与（－0.8，－0.4）内，
∴a＝－1或a＝－0.8.
三、解答题
7．某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在5001000元，选手开始报价1000元，主持人回答高了；紧接着报900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上体现了“逼近”的思想，试设计出可行的猜价方案.
[解析] 取价格区间[500,1000]的中点750，低了；就再取[750,1000]的中点875，高了；就取[750,875]的中点，遇到小数，则取整数，照此猜下去可以猜价：
750,875,812,843,859,851，经过6次即能猜中价格．
8．利用二分法求
的一个近似值（精确度0.01）.
[解析] 令f（x）＝x2－3，因为f
（1）＝－2＜0，f
（2）＝1＞0，所以函数在区间（1,2）内存在零点x0，即为
，取区间（1,2）为二分法计算的初始区间，列表如下：
（a，b）
（a，b）的中点
f（a）
f（b）
f（
）
（1,2）
1.5
f
（1）＜0
f
（2）＞0
f（1.5）＜0
（1.5,2）
1.75
f（1.5）＜0
f
（2）＞0
f（1.75）＞0
（1.5,1.75）
1.625
f（1.5）＜0
f（1.75）＞0
f（1.65）＜0
（1.625，1.75）
1.6875
f（1.625）＜0
f（1.75）＞0
f（1.6875）＜0
（1.6875，1.75）
1.71875
f（1.6875）＜0
f（1.75）＞0
f（1.71875）＜0
（1.71875，1.75）
1.734375
f（1.71875）＜0
f（1.75）＞0
f（1.734375）＞0
（1.71875，1.734375）
1.7265625
f（1.71875）＜0
f（1.734375）＞0
f（1.7265625）＜0
因为1.734375－1.7265625＝0.0078125＜0.01，所以可取1.734375为
的一个近似值．
3.2.1几类不同增长的函数模型
基础巩固
一、选择题（每小题3分,共18分）
1.下列函数中,自变量x充分大时,增长速度最慢的是（ ）
A.y=6xB.y=log6xC.y=x6D.y=6x
【解析】选B.根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数增长的特点可知,自变量x充分大时,y=log6x的增长速度最慢.
2.（2014·黄山高一检测）某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是（ ）
A.y=2x-2B.y=
C.y=log2xD.y=
（x2-1）
【解析】选D.当x=6.12时,A中y=2×6.12-2=10.24,
B中y=
<1,C中y=log26.12<3,
D中y=
（6.122-1）≈18.23,
所以拟合程度最好的是y=
（x2-1）.
3.（2014·佛山高一检测）四人赛跑,其跑过的路程f（x）与时间x的函数关系分别如四个选项所示.如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系为
（ ）
A.f1（x）=
B.f2（x）=
x
C.f3（x）=log2（x+1）D.f4（x）=log8（x+1）
【解析】选B.函数f1（x）=
f3（x）=log2（x+1）和f4（x）=log8（x+1）的增长速度越来越慢,函数f2（x）=
x增长速度不变,所以最终跑在最前面的人具有的函数关系为f2（x）=
x.
4.（2014·嘉峪关高一检测）某工厂10年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示,下列四种说法:
①前五年中产量增长的速度越来越快;
②前五年中产量增长的速度越来越慢;
③第五年后,这种产品停止生产;
④第五年后,这种产品的产量保持不变;
其中说法正确的是（ ）
A.①③B.②④C.②③D.①④
【解析】选C.由t∈[0,5]的图象联想到幂函数y=xα（0<α<1）,反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[5,10]的图象可知,总产量C没有变化,即第五年后停产,所以②③正确.
【拓展延伸】图象信息题的解答策略
（1）明确横轴、纵轴的意义,分析题中的具体含义.
（2）从图象形状上判定函数模型.
（3）抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点（最大值点）、最低点（最小值点）及折线的拐角点等.
（4）通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.
5.（2014·抚州高一检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:
领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…用S1,S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则与故事情节相吻合的是（ ）
【解析】选B.选项A,乌龟与兔子同时到达终点,不合题意;
选项B,乌龟先到达终点,兔子后到达终点,行程相同,符合题意;
选项C,兔子睡觉后未醒,没完成任务,不合题意;
选项D,兔子先到,不合题意.
6.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f（x）的图象大致为（ ）
【解析】选D.设原来森林蓄积量为a,
则a（1+10.4）y=ax,1.104y=x,
所以y=log1.104x,故选D.
【举一反三】将本题条件改为“要增长到原来的y倍,需过x年”,其他条件不变应如何解答?
【解析】选B.设原来森林蓄积量为a,
则a（1+10.4）x=ay,
故y=1.104x,如原题B选项图.
二、填空题（每小题4分,共12分）
7.（2014·济南高一检测）现测得（x,y）的两组对应值分别为（1,2）,（2,5）,现有两个待选模型,甲:
y=x2+1,乙:
y=3x-1,若又测得（x,y）的一组对应值为（3,10.2）,则应选用 作为函数模型.
【解析】当x=3时,甲:
y=32+1=10,|10-10.2|=0.2,
当x=3时,乙:
y=3×3-1=8,|8-10.2|=2.2,
所以应选用甲作为函数模型.
答案:
甲
8.一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2B,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过 分钟,该病毒占据64MB内存（1MB=210B）.
【解析】设过n个3分钟后,该病毒占据64MB内存,
则2×2n=64×210=216,
所以n=15,故时间为15×3=45（分钟）.
答案:
45
9.（2014·琼海高一检测）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi（x）（i=1,2,3,4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）=2x-1,f2（x）=x2,f3（x）=x,f4（x）=log2（x+1）,有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当01时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）.
【解析】①错误.因为f1
（2）=22-1=3,f2
（2）=22=4,
所以f1
（2）（2）,所以x=2时,乙在甲的前面.
②错误.因为f1（5）=25-1=31,f2（5）=52=25,
所以f1（5）>f2（5）,
所以x=5时,甲在乙的前面.
③正确.当0④正确.当0x>1时,丙在丁前面,在甲、乙后面,
x=1时,甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.
⑤正确.指数函数增长速度越来越快,x充分大时,f1（x）的图象必定在f2（x）,f3（x）,f4（x）上方,所以最终走在最前面的是甲.
答案:
③④⑤
三、解答题（每小题10分,共20分）
10.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h（米）与生长时间t（年）的相关数据,选择h=mt+b与h=loga（t+1）来刻画h与t的关系,你认为哪个符合?
并预测第8年的松树高度.
t（年）
1
2
3
4
5
6
h（米）
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
【解析】据表中数据作出散点图如图.
由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.
不妨将（2,1）代入到h=loga（t+1）中,
得1=loga3,解得a=3.
故可用函数h=log3（t+1）来拟合这个实际问题.
当t
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