棱柱棱锥棱台的结构特征.docx
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棱柱棱锥棱台的结构特征
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
观察下列空间几何体：
有什么共同特征？
一、空间几何体
1．概念：
如果只考虑物体的__形状__和__大小__，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的__空间图形__叫做空间几何体．
2．多面体与旋转体
（1）多面体：
由若干个__平面多边形__围成的几何体叫做多面体（如图），围成多面体的各个多边形叫做多面体的__面__；相邻两个面的__公共边__叫做多面体的棱；棱与棱的__公共点__叫做多面体的顶点．
（2）旋转体：
我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定__直线__旋转所形成的__封闭几何体__叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．
[归纳总结] 对多面体概念的理解，注意以下几个方面：
（1）多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其它曲面围成，也不是由空间多边形围成．
（2）本章所说的多边形，一般包括它内部的平面部分，故多面体是一个“封闭”的几何体．
（3）围成一个多面体至少要有四个面．
（4）规定：
在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱．
（5）一个多面体是由几个面围成，那么这个多面体称为几面体．
二、几种常见的多面体
1．棱柱
定义
一般地，有两个面互相__平行__，其余各面都是__四边形__，并且每__相邻__两个四边形的公共边都互相__平行__，由这些面所围成的__多面体__叫做棱柱
有关
概念
棱柱中，两个互相__平行__的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的__公共边__叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的__公共顶点__叫做棱柱的顶点
图形
表示法
用表示底面各顶点的__字母__表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′
分类
按底面多边形的__边数__分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
[归纳总结] 棱柱的简单性质：
（1）侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形．
（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示．
（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示．
棱柱概念的推广
（1）斜棱柱：
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．
（2）直棱柱：
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
（3）正棱柱：
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
（4）平面六面体：
底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．
（5）长方体：
底面是矩形的直棱柱叫做长方体．
（6）正方体：
棱长都相等的长方体叫做正方体．
2．棱锥
定义
一般地，有一个面是__多边形__，其余各面都是__有一个公共顶点__的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
有关
概念
多边形面叫做棱锥的底面或底；有__公共顶点__的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的__公共顶点__叫做棱锥的顶点；相邻侧面的__公共边__叫做棱锥的侧棱
图形
表示法
用表示顶点和底面各顶点的__字母__表示，如上图中的棱锥可记为棱锥__S－ABCD__
分类
按底面多边形的__边数__分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫__四面体__
[归纳总结] 棱锥的性质：
（1）侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形．
（2）底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示．
（3）过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示．
3．棱台
定义
用一个__平行于__棱锥底面的平面去截棱锥，__底面与截面__之间的部分叫做棱台
有关
概念
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的__下底面__和__上底面__；其它各面叫做棱台的__侧面__；相邻侧面的__公共边__叫做棱台的侧棱；底面与__侧面__的公共顶点叫做棱台的顶点
图形
表示法
用表示底面各顶点的__字母__表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台__ABCD－A′B′C′D′__
分类
按底面多边形的__边数__分为三棱台、四棱台、五棱台……
[归纳总结] 棱台的性质：
（1）侧棱延长后交于一点；侧面是梯形．
（2）两个底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示．
（3）过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示．
预习自测
1．下列物体不能抽象成旋转体的是（ D ）
A．篮球 B．日光灯管
C．电线杆D．国家游泳馆水立方
[解析] 水立方是多面体，不能抽象成旋转体；篮球、日光灯管、电线杆都可抽象成旋转体．
2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（ B ）
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有五个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
[解析] 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故选项B不正确．
3．棱锥的侧面和底面可以都是（ A ）
A．三角形B．四边形
C．五边形D．六边形
[解析] 三棱锥的侧面和底面均是三角形，故选A．
4．四棱柱有__4__条侧棱，__8__个顶点.
[解析] 四棱柱有4条侧棱，8个顶点．
命题方向1 ⇨棱柱的结构特征
典例1下列关于棱柱的说法：
（1）所有的面都是平行四边形；
（2）每一个面都不会是三角形；
（3）两底面平行，并且各侧棱也平行；
（4）被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是__（3）（4）__．
[思路分析] 首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他性质．
[解析]
（1）错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
（2）错误，棱柱的底面可以是三角形；
（3）正确，由棱柱的定义易知；
（4）正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱
所以说法正确的序号是（3）（4）．
『规律方法』
（1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．
（2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
〔跟踪练习1〕
下列说法正确的是（ B ）
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．棱柱的棱都平行
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
[解析] 由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边（也是棱）不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．
命题方向2 ⇨棱锥、棱台的结构特征
典例2下列关于棱锥、棱台的说法：
（1）棱台的侧面一定不会是平行四边形；
（2）棱锥的侧面只能是三角形；
（3）由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
（4）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是__
（1）
（2）（3）__．
[思路分析] 根据棱锥、棱台的结构特征进行判断．
[解析]
（1）正确，棱台的侧面都是梯形．
（2）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．
（3）正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．
（4）错误，如（右）图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
『规律方法』 关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
（2）直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
〔跟踪练习2〕
判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？
[解析] 图①、②、③都不是棱台．因为图①和图③都不是由棱锥所截得的，故图①、③都不是棱台，虽然图②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．
对棱柱、棱锥、棱台的概念理解不透
典例3有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体是否一定是棱柱？
[错解] 一定是棱柱．
[错因分析] 棱柱的定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱．题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体可能不是棱柱．
[正解] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体满足题中条件，但都不是棱柱．
〔跟踪练习3〕
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，对吗？
[错解] 对
[辨析] 判断几何体的形状，一定要紧扣几何体的定义，在棱锥的定义中，“有一个公共顶点”的条件不可缺少．
[答案] 错误．棱锥的正确定义是“有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．由这些面所围成的几何体叫做棱锥．”
空间想象能力与几何体的侧面展开
空间想象能力，立体几何学习的一个核心任务就是培养空间想象能力，学习过程中可通过以下方式提升空间想象能力．
（1）借助周围空间中的几何体和动手制作直观教具，作为直观支柱帮助建立空间观念；
（2）加强作图和识图能力培养；（3）加强几何语言与图形、文字语言的转换训练；（4）注意平面几何知识与立体几何知识的沟通与区分；（5）注重训练推理语言的规范性；（6）借助可能的多媒体展示，培养直观想象能力．
典例4如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：
（1）都是多面体；
（2）①中的折痕是平行线，是棱柱；
②中折痕交于一点，是棱锥；
③中侧面是梯形，是棱台．
[解析] ①五棱柱；②五棱锥；③三棱台．如图所示．
『规律方法』 立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间想象能力的有效途径，解此类问题可以结合常见几何体的定义与结构特征，进行空间想象，或亲自动手制作平面展开图进行实践．
〔跟踪练习4〕
纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，如下图1，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，如图2.则标“△”的面的方位是（ B ）
A．南 B．北
C．西 D．下
[解析] 将所给图形还原为正方体，如图3所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让左面向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．
课堂练习
1．棱柱的侧棱（ C ）
A．相交于一点B．平行但不相等
C．平行且相等D．可能平行也可能相交于一点
[解析] 棱柱的侧棱互相平行且相等，故选C．
2．有两个面平行的多面体不可能是（ B ）
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台D．长方体
[解析] 棱锥的任意两个面都相交，不可能有两个面平行，所以不可能是棱锥．
3．（2016～2017·邯郸高一检测）某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图），则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（ A ）
4．一个棱台至少有__5__个面，面数最少的棱台有__6__个顶点，有__9__条棱.
[解析] 面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
5.（2016～2017·天津高一检测）一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是（ D ）
A．等腰三角形B．等腰梯形
C．五边形D．正六边形
A级 基础巩固
一、选择题
1．下面多面体中，是棱柱的有（ D ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．
2．下列说法正确的是（ D ）
A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B．多面体至少有3个面
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
[解析] 选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．
3．下列说法中正确的是（ B ）
A．所有的棱柱都有一个底面B．棱柱的顶点至少有6个
C．棱柱的侧棱至少有4条D．棱柱的棱至少有4条
[解析] 棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3，则在棱柱中，三棱柱的顶点数至少是6，三棱柱的侧棱数至少是3，三棱柱的棱数至少是9，所以C、D项不正确，B项正确．
4．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（ D ）
[解析] A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D．
5．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是（ B ）
A．①是棱柱B．②不是棱锥
C．③不是棱锥D．④是棱台
[解析] ①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故选B．
6．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（ C ）
A．四边形B．三角形
C．三角形或四边形D．不可能为四边形
[解析] 按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
二、填空题
7．八棱锥的侧面个数是__8__.
[解析] 八棱锥有8个侧面．
8．下列说法正确的是__①④__.
①一个棱锥至少有四个面；
②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
③五棱锥只有五条棱；
④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
[解析] ①正确．②不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等．也可以不等．③不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．
三、解答题
9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？
有几个面、几个顶点、几条棱？
[解析] 这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
B级 素养提升
一、选择题
1．下面说法正确的是（ C ）
A．棱锥的侧面不一定是三角形
B．棱柱的各侧棱长不一定相等
C．棱台的各侧棱延长必交于一点
D．用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台
[解析] 棱台的各侧棱延长后必交于一点，故选C．
2．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为（ C ）
A．1B．2
C．3D．4
[解析] 如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1．
3．（2016·日照高一检测）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ A ）
A．棱柱B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定
[解析] 倾斜后水槽中的水形成的几何体是棱柱．
二、填空题
4．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有__10___条.
[解析] 在上底面选一个顶点，同时在下底选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．
5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是__①③④⑤__（写出所有正确结论的编号）.
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
[解析] 在如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面．
即正方形或长方形，∴①正确，②错误．
棱锥A－BDA1符合③，∴③正确；
棱锥A1－BDC1符合④，∴④正确；
棱锥A－A1B1C1符合⑤，∴⑤正确．
C级 能力拔高
1．一个几何体的表面展开平面图如图.
（1）该几何体是哪种几何体；
（2）该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？
与“你”字面相对的是哪个面？
[解析]
（1）该几何体是四棱台；
（2）与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．
2．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形.
[解析] 图1是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．
图2是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．
其图形如图所示．
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