房山区高三一模数学试题及答案理科.docx
《房山区高三一模数学试题及答案理科.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《房山区高三一模数学试题及答案理科.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
房山区高三一模数学试题及答案理科
北京市房山区2020年高三第一次模拟试题
高三数学（理科）
考
生
须知
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间为120分钟。
2.第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。
3.考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。
第I卷选择题（共40分）
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。
1.已知集合
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
2.如果
，
那么“
∥
”是“
”的（）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
3.如图，
是圆
的切线，切点为
，
交圆
于
两点，
，则
=（）
（A）
（B）
（C）
（D）
4.在平面直角坐标系
中，点
的直角坐标为
.若以原点
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点
的极坐标可以是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.执行如图所示的程序框图，则输出的
的值为（）
（A）5
（B）6
（C）7是
（D）8否
6.已知函数
，则对任意
，若
，下列不等式成立的是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
7.直线
与圆
相交于
两点，若
，则
的取值范围是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
8.如图，边长为1的正方形
的顶点
分别在
轴、
轴正半轴上移动，则
的最大
值是（）
（A）
（B）
（C）
（D）4
第II卷非选择题（共110分）
二、填空题：
本大题共6小题,每小题5分,共30分。
把答案填在答题卡上的指定位置。
9.
是虚数单位，则
__.
10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.
11．已知函数
（
>0,
）的图象如图所示，则
__，
=__.
12.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有种.
13.设
是定义在
上不为零的函数，对任意
，都有
，若
，则数列
的前
项和的取值范围是.
14.
是抛物线
的焦点，过焦点
且倾斜角为
的直线交抛物线于
两点，设
，则：
①若
且
，则
的值为
；②
（用
和
表示）.
三、解答题：
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15．（本小题共13分）
已知
的三个内角
，
，
所对的边分别是
，
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的面积.
16.（本小题共13分）
今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
高一年级
高二年级
高三年级
10人
6人
4人
（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.
17.（本小题共14分）
在直三棱柱
中，
=2,
.点
分别是
的中点，
是棱
上的动点.
（I）求证：
平面
；
（II）若
//平面
，试确定
点的位置，并给出证明；
（III）求二面角
的余弦值.
18．（本小题共13分）
已知函数
．
（I）当
时，求函数
的单调递减区间；
（II）求函数
的极值；
（III）若函数
在区间
上恰有两个零点，求
的取值范围．
19.（本小题共14分）
已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，一个顶点为
，离心率为
．
（I）求椭圆
的方程；
（II）设直线
与椭圆相交于不同的两点
．当
时，求
的取值范围．
20．（本小题共13分）
在直角坐标平面上有一点列
，对一切正整数
，点
位于函数
的图象上，且
的横坐标构成以
为首项，
为公差的等差数列
．
（I）求点
的坐标；
（II）设抛物线列
中的每一条的对称轴都垂直于
轴，第
条抛物线
的顶点为
，且过点
，记与抛物线
相切于
的直线的斜率为
，求：
；
（III）设
，等差数列
的任一项
，其中
是
中的最大数，
，求
的通项公式．
北京市房山区2020高三第一次模拟试题参考答案
高三数学（理科）
一、选择题（每题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
A
C
D
B
A
二、填空题（每题5分，共30分）
9．
;10.
;11.
;12.120；13.
;
14.①
；②
或
三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。
共80分）
15．（本小题共13分）
解：
（I）解
……………………5分
（II）由（I）知
，
……………………7分
∴
∴
……………………10分
∴
……………………13分
16．（本小题共13分）
解：
（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件
，则
答：
若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为
.………………………4分
（II）解法1：
的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为
.所以………………………6分
;
;
;
;
.………………………11分
随机变量
的分布列为：
0
1
2
3
4
………………………12分
所以
……………………13分
解法2：
由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为
.…………………5分
则随机变量
服从参数为4，
的二项分布，即
～
.……………7分
随机变量
的分布列为：
0
1
2
3
4
所以
…………………13分
17．（本小题共14分）
（I）证明：
∵在直三棱柱
中，
，点
是
的中点，
∴
…………………………1分
∴
⊥平面
………………………2分
平面
∴
，即
…………………3分
又
∴
平面
…………………………………4分
（II）当
是棱
的中点时，
//平面
.……………………………5分
证明如下:
连结
取
的中点H，连接
则
为
的中位线
∴
∥
，
…………………6分
∵由已知条件，
为正方形
∴
∥
，
∵
为
的中点，
∴
……………………7分
∴
∥
，且
∴四边形
为平行四边形
∴
∥
又∵
……………………8分
∴
//平面
……………………9分
（III）∵直三棱柱
且
依题意，如图：
以
为原点建立空间直角坐标系
，……………………10分
则
，
设平面
的法向量
，
则
即
，
令
，有
……………………12分
又
平面
的法向量为
，
=
=
，……………………13分
设二面角
的平面角为
，且
为锐角
．……………………14分
18．（本小题共13分）
解：
（I）依题意，函数
的定义域为
，
当
时，
，
……………………2分
由
得
，即
解得
或
，
又
，
的单调递减区间为
．……………………4分
（II）
，
（1）
时，
恒成立
在
上单调递增，无极值.……………………6分
（2）
时，由于
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
从而
．……………………9分
（III）由（II）问显然可知，
当
时，
在区间
上为增函数，
在区间
不可能恰有两个零点．……………………10分
当
时，由（II）问知
，
又
，
为
的一个零点．……………………11分
若
在
恰有两个零点，只需
即
……………………13分
（注明：
如有其它解法，酌情给分）
19．（本小题共14分）
解：
（I）依题意可设椭圆方程为
，则离心率为
故
，而
，解得
，……………………4分
故所求椭圆的方程为
.……………………5分
（II）设
，P为弦MN的中点，
由
得
，
直线与椭圆相交，
，①…………7分
，从而
，
（1）当
时
（
不满足题目条件）
∵
，则
，即
，②…………………………9分
把②代入①得
，解得
，…………………………10分
由②得
，解得
．故
………………………11分
（2）当
时
∵直线
是平行于
轴的一条直线，
∴
…………………………13分
综上，求得
的取值范围是
．…………………………14分
20．（本小题共13分）
解：
（I）
…………………………2分
…………………………3分
（II）
的对称轴垂直于
轴，且顶点为
.
设
的方程为：
…………………………5分
把
代入上式，得
，
的方程为：
.…………………………7分
当
时，
=
…………………………9分
（III）
，
T中最大数
.…………………………10分
设
公差为
，则
，由此得
升级会员 