函数的单调性学案.docx

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函数的单调性学案

函数的单调性学案

2.1.3　函数的单调性

自主学习

学习目标

1．理解单调性的定义．

2．运用单调性的定义判断函数的单调性．

自学导引

1．增函数与减函数

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的________________，改变量Δx＝x2－x1>0，则当____________________时，就称函数y＝f（x）在区间M上是增函数（如图甲），当____________________时，那么就称函数y＝f（x）在区间M上是减函数（如图乙）．

2．单调性与单调区间

如果一个函数在某个区间M上是________或是________，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为________________．

3．a>0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的单调递增区间为__________．

4．k>0时，y＝kx＋b在R上是________函数．

5．函数y＝

（k>0）的单调递减区间为________________．

对点讲练

知识点一　利用图象求单调区间

例1求下列函数的单调区间．

（1）f（x）＝3|x|；　

（2）f（x）＝|x2＋2x－3|.

规律方法　函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f（x）有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．

变式迁移1写出函数f（x）＝

＋1（a≠0）的单调区间．

知识点二　利用定义证明函数的单调性

例2证明：

函数f（x）＝x＋

在（0,1）上是减函数．

规律方法　证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为

（1）取值（注意x1、x2的任意性）；

（2）作差变形（目的是便于判断符号）；（3）判断差的符号；（4）写出结论．

变式迁移2利用单调性的定义证明函数y＝x－

在（0，＋∞）上是增函数．

知识点三　函数单调性的应用

例3已知函数f（x）＝

（x∈[2，＋∞）），

（1）求f（x）的最小值；

（2）若f（x）>a恒成立，求a的取值范围．

规律方法　运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．另外f（x）>a恒成立，等价于f（x）min>a，f（x）

变式迁移3求函数f（x）＝

在区间[2,5]上的最大值与最小值；若f（x）

1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．

2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f（x）＝

在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，但不能说函数f（x）＝

在定义域上是减函数．

3．求单调区间的方法：

（1）图象法；

（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性．

4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：

取值——作差变形——定号——判断．

若f（x）>0，则判断f（x）的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”.

课时作业

一、选择题

1．下列说法中正确的有（　　）

①若x1，x2∈I，当x1

②函数y＝x2在R上是增函数；

③函数y＝－

在定义域上是增函数；

④y＝

的单调区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

2．设（a，b），（c，d）都是函数f（x）的单调增区间，且x1∈（a，b），x2∈（c，d），x1

A．f（x1）f（x2）

C．f（x1）＝f（x2）D．不能确定

3．下列函数在区间（2，＋∞）上为减函数的为（　　）

A．y＝2x－7B．y＝－

C．y＝－x2＋4x＋1D．y＝x2－4x－3

4．若函数f（x）＝x2＋2（a－2）x＋2在区间[4，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤－2B．a≥－2C．a≥－6D．a≤－6

5．设函数f（x）是（－∞，＋∞）上的减函数，则（　　）

A．f（a）>f（2a）B．f（a2）

C．f（a2＋a）

二、填空题

6．已知函数f（x）为区间[－1,1]上的增函数，则满足f（x）

的实数x的取值范围为________．

7．函数f（x）＝2x2－3|x|的单调递减区间是____________________________________．

8．若函数y＝ax与y＝－

在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上是单调______函数．

三、解答题

9．证明：

函数y＝

在[2,4]上是减函数，并求f（x）在[2,4]上的最值．

10．设函数f（x）＝

（a>b>0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．

【探究驿站】

11．已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），当x>0时，f（x）>0，试判断f（x）在（0，＋∞）上的单调性．

2．1.3　函数的单调性答案

自学导引

1．任意两个值x1，x2　Δy＝f（x2）－f（x1）>0　Δy＝f（x2）－f（x1）<0　①f（x1）

②增函数　③f（x1）>f（x2）　④减函数

2．增函数　减函数　单调区间

3.

4．增　5.（－∞，0）和（0，＋∞）

对点讲练

例1解　

（1）f（x）＝3|x|

＝

图象如图所示．

f（x）在（－∞，0]上是减函数，

在[0，＋∞）上是增函数．

（2）令g（x）＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4.

先作出g（x）的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f（x）＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．

由图象易得：

函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞）；函数的递减区间是（－∞，－3]，[－1,1]．

变式迁移1　解　f（x）＝

当a>0时，如图①所示，

∴单调递增区间为（0，＋∞），递减区间为（－∞，0）．

当a<0时，如图②所示，

∴单调递增区间为（－∞，0），递减区间为（0，＋∞）．

　　　①　　　　　　　　　　　②

例2证明　设0

则Δx＝x1－x2<0

Δy＝f（x1）－f（x2）＝

－

＝（x1－x2）＋

＝（x1－x2）＋

＝

，

∵00.

∴Δy＝f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）．

∴f（x）＝x＋

在（0,1）上是减函数．

变式迁移2　证明　任取x1，x2∈（0，＋∞），设x1

f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）－

＋

＝（x1－x2）（1＋

）

∵0

>0，

∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

例3解　

（1）任取x1，x2∈[2，＋∞），

且x1

＋2

则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）

∵x1

又∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－

>0

∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

故f（x）在[2，＋∞）上是增函数．

∴当x＝2时，f（x）有最小值，即f

（2）＝

.

（2）∵f（x）最小值为f

（2）＝

，

∴f（x）>a恒成立，只须f（x）min>a，即a<

.

变式迁移3　解　任取2≤x1

则f（x1）＝

，f（x2）＝

，

f（x2）－f（x1）＝

－

＝

，

∵2≤x10，x1－1>0.

∴f（x2）－f（x1）<0.∴f（x2）

∴f（x）＝

在区间[2,5]上是减函数．

∴f（x）max＝f

（2）＝

＝2.f（x）min＝f（5）＝

＝

.

f（x）f（x）max，即a>2.

课时作业

1．A　[函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而①不对；②y＝x2在x≥0时是增函数，x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性；③y＝－

在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f（－3）>f（5）；④y＝

的单调递减区间不是（－∞，0）∪（0，＋∞），而是（－∞，0）和（0，＋∞），注意写法．]

2．D　[根据单调性定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量，才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小．]

3．C　[由图象知C符合．]

4．B　[对称轴x＝2－a≤4，得a≥－2.]

5．D　[由a2＋1－a＝

2＋

，得a2＋1>a，

又∵f（x）是R上的减函数，∴f（a2＋1）

6．－1≤x<

解析　由题设得

，即－1≤x<

.

7.

和

8．递减

解析　由已知得a<0，b<0，

y＝ax2＋bx对称轴为x＝－

<0，开口向下，

∴y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上是单调递减函数．

9．证明　设x1>x2≥2，则Δx＝x1－x2>0

Δy＝y1－y2＝

－

＝

，

∵x1>x2≥2，∴x2－x1<0，x1＋1>0，x2＋1>0，

∴

<0.

即y1－y2<0，

∴y1

∴y＝

在[2,4]上是减函数，

∴f（x）max＝f

（2）＝

，f（x）min＝f（4）＝

.

10．解　在定义域内任取x1，x2，且x1

f（x2）－f（x1）＝

－

＝

＝

∵a>b>0，∴b－a<0，且x2－x1>0.

只有当x1

当x1

f（x1）－f（x2）>0，则f（x1）>f（x2）．

∴y＝f（x）在（－∞，－b）上是单调减函数，在（－b，＋∞）上也是单调减函数．

函数的单调减区间是（－∞，－b）和（－b，＋∞）．

11．解　f（x）在（0，＋∞）上为增函数．

证明如下：

∵x，y∈R，∴不妨取y＝Δx，Δx>0，

∵f（x＋y）＝f（x）＋f（y），

∴f（x＋Δx）＝f（x）＋f（Δx），

∴f（x＋Δx）－f（x）＝f（Δx）．

∵Δx>0，∴f（Δx）>0，

∴f（x＋Δx）－f（x）>0，f（x＋Δx）>f（x），

∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数．