指数函数对数函数幂函数图像与性质.docx

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指数函数对数函数幂函数图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

根式的概念

符号表示

备注

如果xna,那么x叫做a的n次方根

n1且nN

当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数

na

零的n次方根是零

当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数

na（a0）

负数没有偶次方根

2）．两个重要公式

a

n为奇数

①nan

a（a0）

|a|

n为偶数

a（a0）

②（na）n

a（注意a必须使

na有意义）。

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂

m

:

annam（a0,m、nN,且n1）。

②正数的负分数指数幂

mn11

:

anm（a0,m、nN,且n1）mnmana

③0的正分数指数幂等于

0,0的负分数指数幂没有意义

注：

分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

1aras=ar+s（a>0,r、s∈Q）。

2（ar）s=ars（a>0,r、s∈Q）。

3（ab）r=arbs（a>0,b>0,r∈Q）。

.

3．指数函数的图象与性质

y=ax

a>1

0

图象

定义域

R

值域

（0，+）

性质

（1）过定点（0，1）

（2）当x>0时，y>1。

（2）当x>0时，0

x<0时,0

x<0时,y>1

（3）在（-，+）上是增函数

（3）在（-，+）上是减函数

注：

如图所示，是指数函数

（1）y=ax,

（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：

在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果axN（a0且a1），那么数x叫做以a为底，N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式

特点

记法

一般对数

底数为aa0,且a1

logaN

常用对数

底数为10

lgN

自然对数

底数为e

lnN

2、对数的性质与运算法则

1alogNN

1）对数的性质（a0,且a1）：

①loga10，②logaa1，③alogaN，④logaaNN。

2）对数的重要公式：

②logablog1ba。

3）对数的运算法则：

3、对数函数的图象与性质

a1

0a

1

图

象

性质

（1）定义域：

（0,+

）

（2）值域：

R

（3）当x=1时，y=0

即过定点（1，0）

（4）当0x1时，

y（,0）；

（4）当

x1时，y（,0）；

当x1时，y（0,

）

当0

x1时，y（0,）

（5）在（0,+）上为增函数

（5）在（0,+）上为减函数

注：

确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系

提示：

作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

4、反函数

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数

1、幂函数的定义

形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数注：

幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

1注：

在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，yx2，y=x-1方法：

可画出x=x0；

1

当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，yx2，y=x-1；

1

当0

3、幂函数的性质

y=x

y=x2

y=x3

1yx2

y=x-1

定义域

R

R

R

[0，）

x|xR且x0

值域

R

[0，）

R

[0，）

y|yR且y0

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

增

x∈[0，）时，增；x∈（,0]时，减

增

增

x∈（0,+）时，减；

x∈（-,0）时，减

定点

（1，1）

三：

例题诠释，举一反三知识点1：

指数幂的化简与求值例1.（2007育才A）

2211

[（33）3（54）0.5（0.008）3（0.02）2（0.32）2]0.06250.25

1）计算：

89；

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

变式：

（2010华附A）若直线y

2a与函数y|ax

1|（a

0且a1）的图象有两个公共

点，则

a的取值范围是.

知识点

3：

指数函数的性质

2x

b

例3.（

2010省实B）已知定义域为

R的函数f（x）

x1

是奇函数。

2

（Ⅰ）

求b的值；

（Ⅱ）

判断函数fx的单调性。

（Ⅲ）

若对任意的tR，不等式

22

f（t22t）f（2t2

k）

0恒成立，求k的取值范围．

（12）a

b<0。

③0

④b

⑤a=b.其中不可能成立的关系式有（）

x

ea

变式：

（2010东莞B）设a>0,f（x）=x是R上的偶函数

ae

（1）求a的值；

（2）求证：

f（x）在（0，+∞）上是增函数.

知识点4：

对数式的化简与求值

例4.（2010云浮A）计算：

（1）log23（23）

2）2（lg2）2+lg2·lg5+（lg2）2lg21。

（3）1lg32-4lg8+lg245.

2493变式：

（2010惠州A）化简求值.

（1）log27+log212-1log242-1。

482

（2）（lg2）2+lg2·lg50+lg25。

（3）

（log32+log92）·（log43+log83）.知识点5：

对数函数的性质例5.（2011深圳A）对于0a1，给出下列四个不等式：

变式：

（2010广雅B）已知函数f（x）=log2（x2-ax-a）在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.

知识点6：

幂函数的图象及应用

例7.（2009佛山B）已知点（2，2）在幂函数f（x）的图象上，点2，1，在幂函数g（x）的图

4

象上．问当x为何值时有：

（１）f（x）g（x）；（２）f（x）g（x）；（３）f（x）g（x）．

2

变式：

（2009揭阳B）已知幂函数f（x）=xm2m3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上

是单调减函数.

（1）求函数f（x）。

（2）讨论F（x）=af（x）b的奇偶性.

xf（x）

四：

方向预测、胜利在望

1x

1．（A）函数f（x）lg的定义域为（）x4

A．（1，4）B．［1，4）C．（－∞，1）∪（4，＋∞）D．（－∞，1］∪（4，＋∞）

2.（A）以下四个数中的最大者是（）

2

（A）（ln2）2

（B）ln（ln2）（C）ln2（D）ln2

3（B）设a>1，函数f（x）=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为1,则a=（）

2

（A）2

（B）2（C）22（D）4

4.

5.

A）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0

6

f（5）,bf

（2）,c

A）abc

x1

2ex1,x

2

log3（x

B）设f（x）=

3

2

（B）

2,

f（52）,则（

a

1）,x

2,

x1时，f（x）lgx.设

C）cba（D）ca

则不等式f（x）＞2的解集为（

（A）

（C）

A）设

1，

1，P

6．

Ａ．RQP

2）

2）log23，Ｂ．

+∞）

7．

8．

3，

10，+∞）Qlog32，PRQ

（D）

R

Ｃ．

（B）（10，

1，2）

log2（log32），则QR

PＤ．

+∞）

（A）已知log1blog1alog1c，则（）22

bac

A．2b2a2cB．

B）下列函数中既是奇函数，

2

2a2b

又是区间

2cC．

1,1

2a

2c2b

上单调递减的是（

D．

2c2a

）

2b

A）f（x）sinx

（B）f（x）x1

1

（C）f（x）（axax）（D）f（x）

2

9.（A）函数ylog1（3x2）的定义域是：

（）

A[1,）B（32,）C[23,1]D（32,1]

2

ln

2

10.（A）已知函数ylog1x与y

4

kx的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k（）

A．

1

4

B．

1

4

C．

1

2

1

D．

2

11．

（B）

若函数

f（x）

xa

b

1（a

0且a

1）的图象经过第

有（

）

A．

0a

1且b

0

B

．a

1且b

0

C．

0a

1且b

0

D

．a

1且b

0

12．（B）若函数f（x）

三、四象限，则一定

logax（0a1）在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=

（）

2211

A.B.C.D.

4242

13.（A）已知0

A）loga（xy）0

B）0loga（xy）1

C）1loga（xy）2

D）loga（xy）2

14.（A）已知f（x6）

4

（A）

3

15．（B）函数y＝lg|x|A．是偶函数，在区间C．是奇函数，在区间

log2x，那么f（8）等于（）

B）8

C）18

D）

16.（A）函数y

）

（－∞，0）上单调递增

（0，＋∞）上单调递增

B．是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减

D．是奇函数，在区间（0，＋∞）上单调递减

lg（4x）的定义域是.

x3

17．（B）函数ya1x（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线

11

mxny10（mn0）上，则的最小值为．

mn

ex,x0.1

18．（A）设g（x）则g（g（））

lnx,x0.2

19．（B）若函数f（x）=2x2axa1的定义域为R，则a的取值范围为

22

20．（B）若函数f（x）loga（xx22a2）是奇函数，则a=．

11x

21.（B）已知函数f（x）log2，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调

x21x

性.

参考答案：

三：

例题诠释，举一反三

①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；

②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数；

③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数；

④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.

四：

方向预测、胜利在望

1—5ADDDC；6

—10AADDA；

11

—15CADDB.

16.

（-,3）（3,4）

17.4

18.1

2

19.[-1,0]

2

20.

2

x0

由11

21．

[解]x须满足1x

x0得

1x1,

01

x

1x

所以函数f（x）的定义域为（－

1，0）

∪（0，1）.

因为函数f（x）的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有

11x11x

f（x）log2（log2）

x1xx1x

研究f（x）在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈

得f（x1）f（x2）>0，即f（x）在（0，1）内单调递减，由于f（x）是奇函数，所以f（x）在（－1，0）内单调递减