因式分解练习题加答案200道.docx
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因式分解练习题加答案200道
因式分解3a3b2c－6a2b2c2＋9ab2c3＝3ab^2c（a^2-2ac+3c^2）
3.因式分解xy＋6－2x－3y＝（x-3）（y-2）
4.因式分解x2（x－y）＋y2（y－x）＝（x+y）（x-y）^2
5.因式分解2x2－（a－2b）x－ab＝（2x-a）（x+b）
6.因式分解a4－9a2b2＝a^2（a+3b）（a-3b）
7.若已知x3＋3x2－4含有x－1的因式，试分解x3＋3x2－4＝（x-1）（x+2）^2
8.因式分解ab（x2－y2）＋xy（a2－b2）＝（ay+bx）（ax-by）
9.因式分解（x＋y）（a－b－c）＋（x－y）（b＋c－a）＝2y（a-b-c）
10.因式分解a2－a－b2－b＝（a+b）（a-b-1）
11.因式分解（3a－b）2－4（3a－b）（a＋3b）＋4（a＋3b）2＝[3a-b-2（a+3b）]^2=（a-7b）^2
12.因式分解（a＋3）2－6（a＋3）＝（a+3）（a-3）
13.因式分解（x＋1）2（x＋2）－（x＋1）（x＋2）2＝-（x+1）（x+2）
abc＋ab－4a＝a（bc+b-4）
（2）16x2－81＝（4x+9）（4x-9）
（3）9x2－30x＋25＝（3x-5）^2
（4）x2－7x－30＝（x-10）（x+3）
35.因式分解x2－25＝（x+5）（x-5）
36.因式分解x2－20x＋100＝（x-10）^2
37.因式分解x2＋4x＋3＝（x+1）（x+3）
38.因式分解4x2－12x＋5＝（2x-1）（2x-5）
39.因式分解下列各式：
（1）3ax2－6ax＝3ax（x-2）
（2）x（x＋2）－x＝x（x+1）
（3）x2－4x－ax＋4a＝（x-4）（x-a）
（4）25x2－49＝（5x-9）（5x+9）
（5）36x2－60x＋25＝（6x-5）^2
（6）4x2＋12x＋9＝（2x+3）^2
（7）x2－9x＋18＝（x-3）（x-6）
（8）2x2－5x－3＝（x-3）（2x+1）
（9）12x2－50x＋8＝2（6x-1）（x-4）
40.因式分解（x＋2）（x－3）＋（x＋2）（x＋4）＝（x+2）（2x-1）
41.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝（x+1）（2ax-3）
42.因式分解9x2－66x＋121＝（3x-11）^2
43.因式分解8－2x2＝2（2+x）（2-x）
44.因式分解x2－x＋14＝整数内无法分解
45.因式分解9x2－30x＋25＝（3x-5）^2
46.因式分解－20x2＋9x＋20＝（-4x+5）（5x+4）
47.因式分解12x2－29x＋15＝（4x-3）（3x-5）
48.因式分解36x2＋39x＋9＝3（3x+1）（4x+3）
49.因式分解21x2－31x－22＝（21x+11）（x-2）
50.因式分解9x4－35x2－4＝（9x^2+1）（x+2）（x-2）
51.因式分解（2x＋1）（x＋1）＋（2x＋1）（x－3）＝2（x-1）（2x+1）
52.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝（x+1）（2ax-3）
53.因式分解x（y＋2）－x－y－1＝（x-1）（y+1）
54.因式分解（x2－3x）＋（x－3）2＝（x-3）（2x-3）
55.因式分解9x2－66x＋121＝（3x-11）^2
56.因式分解8－2x2＝2（2-x）（2+x）
57.因式分解x4－1＝（x-1）（x+1）（x^2+1）
58.因式分解x2＋4x－xy－2y＋4＝（x+2）（x-y+2）
59.因式分解4x2－12x＋5＝（2x-1）（2x-5）
60.因式分解21x2－31x－22＝（21x+11）（x-2）
61.因式分解4x2＋4xy＋y2－4x－2y－3＝（2x+y-3）（2x+y+1）
62.因式分解9x5－35x3－4x＝x（9x^2+1）（x+2）（x-2）
63.因式分解下列各式：
（1）3x2－6x＝3x（x-2）
（2）49x2－25＝（7x+5）（7x-5）
（3）6x2－13x＋5＝（2x-1）（3x-5）
（4）x2＋2－3x＝（x-1）（x-2）
（5）12x2－23x－24＝（3x-8）（4x+3）
（6）（x＋6）（x－6）－（x－6）＝（x-6）（x+5）
（7）3（x＋2）（x－5）－（x＋2）（x－3）＝2（x-6）（x+2）
（8）9x2＋42x＋49＝（3x+7）^2。
1．若（2x）n81=（4x2+9）（2x+3）（2x3），那么n的值是（B）
A．2B．4C．6D．8
2．若9x212xy+m是两数和的平方式，那么m的值是（B）
A．2y2B．4y2C．±4y2D．±16y2
3．把多项式a42a2b2+b4因式分解的结果为（D）
A．a2（a22b2）+b4B．（a2b2）2
C．（ab）4D．（a+b）2（ab）2
4．把（a+b）24（a2b2）+4（ab）2分解因式为（C）
A．（3ab）2B．（3b+a）2
C．（3ba）2D．（3a+b）2
6．已知x，y为任意有理数，记M=x2+y2，N=2xy，则M与N的大小关系为（B）
A．M>NB．M≥NC．M≤ND．不能确定
7．对于任何整数m，多项式（4m+5）29都能（A）
A．被8整除B．被m整除
C．被（m1）整除D．被（2n1）整除
9．下列变形中，是正确的因式分解的是（D）
A．n2=（+n）（n）
B．x210=x291=（x+3）（x3）1
C．x4x2=（x2+x）（x2x）
D．（x+a）2（xa）2=4ax
10．多项式（x+yz）（xy+z）（y+zx）（zxy）的公因式是（A）
A．x+yzB．xy+zC．y+zxD．不存在
11．已知x为任意有理数，则多项式x1x2的值（）
A．一定为负数
B．不可能为正数
C．一定为正数
D．可能为正数或负数或零
二、解答题：
分解因式：
（1）（ab+b）2（a+b）2
（2）（a2x2）24ax（xa）2
（3）7xn+114xn+7xn1（n为不小于1的整数）
答案：
一、选择题：
1．B说明：
右边进行整式乘法后得16x481=（2x）481，所以n应为4，答案为B．
2．B说明：
因为9x212xy+m是两数和的平方式，所以可设9x212xy+m=（ax+by）2，则有9x212xy+m=a2x2+2abxy+b2y2，即a2=9，2ab=12，b2y2=m；得到a=3，b=2；或a=3，b=2；此时b2=4，因此，m=b2y2=4y2，答案为B．
3．D说明：
先运用完全平方公式，a42a2b2+b4=（a2b2）2，再运用两数和的平方公式，两数分别是a2、b2，则有（a2b2）2=（a+b）2（ab）2，在这里，注意因式分解要分解到不能分解为止；答案为D．
4．C说明：
（a+b）24（a2b2）+4（ab）2=（a+b）22（a+b）[2（ab）]+[2（ab）]2=[a+b2（ab）]2=（3ba）2；所以答案为C．
6．B说明：
因为MN=x2+y22xy=（xy）2≥0，所以M≥N．
7．A说明：
（4m+5）29=（4m+5+3）（4m+53）=（4m+8）（4m+2）=8（m+2）（2m+1）．
9．D说明：
选项A，=，则n2=（+n）（n），所以A错；选项B的右边不是乘积的形式；选项C右边（x2+x）（x2x）可继续分解为x2（x+1）（x1）；所以答案为D．
10．A说明：
本题的关键是符号的变化：
zxy=（x+yz），而xy+z≠y+zx，同时xy+z≠（y+zx），所以公因式为x+yz．
11．B说明：
x1x2=（1x+x2）=（1x）2≤0，即多项式x1x2的值为非正数，正确答案应该是B．
二、解答题：
（1）答案：
a（b1）（ab+2b+a）
说明：
（ab+b）2（a+b）2=（ab+b+a+b）（ab+bab）=（ab+2b+a）（aba）=a（b1）（ab+2b+a）．
（2）答案：
（xa）4
说明：
（a2x2）24ax（xa）2
=[（a+x）（ax）]24ax（xa）2
=（a+x）2（ax）24ax（xa）2
=（xa）2[（a+x）24ax]
=（xa）2（a2+2ax+x24ax）
=（xa）2（xa）2=（xa）4．
（3）答案：
7xn1（x1）2
说明：
原式=7xn1x27xn12x+7xn1=7xn1（x22x+1）=7xn1（x1）2．
因式分解之十字相乘法专项练习题
（1）a2－7a+6；
（2）8x2+6x－35；
（3）18x2－21x+5；（4）20－9y－20y2；
（5）2x2+3x+1；（6）2y2+y－6；
（7）6x2－13x+6；（8）3a2－7a－6；
（9）6x2－11x+3；（10）4m2+8m+3；
（11）10x2－21x+2；（12）8m2－22m+15；
（13）4n2+4n－15；（14）6a2+a－35；
（15）5x2－8x－13；（16）4x2+15x+9；
（17）15x2+x－2；（18）6y2+19y+10；
（19）2（a+b）2+（a+b）（a－b）－6（a－b）2；（20）7（x－1）2+4（x－1）－20；
（1）（a-6）（a-1），
（2）（2x+5）（4x-7）
（3）（3x-1）（6x-5），（4）-（4y-5）（5y+4）
（5）（x+1）（2x+1），（6）（y+2）（2y-3）
（7）（2x-3）（3x-2），（8）（a-3）（3a+2）
（9）（2x-3）（3x-1），（10）（2m+1）（2m+3）
（11）（x-2）（10x-1），（12）（2m-3）（4m-5）
（13）（2n+5）（2n-3），（14）（2a+5）（3a-7）
（15）（x+1）（5x-13），（16）（x+3）（4x+3）
（17）（3x-1）（5x=2），（18）（2y+5）（3y+2）
（19）（3a-b）（5b-a），（20）（x+1）（7x-17）
例1分解因式
思路1因为
所以设原式的分解式是
然后展开，利用多项式的恒等，求出m,n,的值。
解法1因为
所以可设
比较系数，得
由①、②解得
把
代入③式也成立。
∴
思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。
解法2因为
所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令
得
令
得
解①、②得
或
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
说明：
本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
例2分解因式
思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设
由恒等式性质有：
由①、③解得
代入②中，②式成立。
∴
说明若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
例3在关于x的二次三项式中，当
时，其值为0；当
时，其值为0；当
时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。
可考虑利用恒待式的性质。
解法1设关于x的二次三项式为
把已知条件分别代入，得
解得
故所求的二次三项为
思路2根据已知
时，其值0这一条件可设二次三项式为
然后再求出a的值。
解法2由已知条件知当
时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为
把
代入上式，得
解得
故所求的二次三项式为
即
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。
例4已知多项式
的系数都是整数。
若
是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明：
设
（m,n,r都是整数）。
比较系数，得
因为
是奇数，则
与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令
，得
②
由
是奇数，得
是奇数。
而m为奇数，故
是偶数，所以
是偶数。
这样②的左边是奇数，右边是偶数。
这是不可能的。
因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明：
所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。
例5已知
能被
整除，求证：
思路：
可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明：
设
展开，比较系数，得
由①、②，得
，
代入③、④得：
，
∴
例6若a是自然数，且
的值是一个质数，求这个质数。
思路：
因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。
进而解决问题。
解：
由待定系数法可解得
由于a是自然数，且
是一个质数，
∴
解得
当
时，
不是质数。
当
时，
是质数。
∴
=11.
1、分解因式
_______.
2、若多项式
能被
整除，则n=_______
.2、-4。
提示：
设原式
=
比较系数，得
由①、②解得
代入③得
3、二次三项式当
时其值为-3，当
时其值为2，当
时其值为5，这个二次三项式是_______.
4、m,n是什么数时，多项式
能被
整除
5、多项式
能分解为两个一次因式的积，则k=_____.
6、若多项式
能被
整除，则
_______.
7、若多项式
当
2时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0。
8、求证：
不能分解为两个一次因式的积。
参考答案或提示：
1.
提示：
设原式
比较两边系数，得
由①、②解得
将
代入③式成立。
∴原式
3、
提示：
设二次三项式为
把已知条件代入，得
解得
∴所求二次三项式为
4.
设
比较系数，得
解得
∴当m=-11，n=4已知多项式能被
整除。
提示：
设原式
.
比较系数，得
解得
提示：
设原式
比较系数，得
解得
∴
.
提示：
设原式
比较系数，得
解得c=3.
∴当x=3时，多项式的值也是0.
8.设原式
且
展开后比较系数，得
由④、⑤得
代入③，再由①、③得
将上述
入②得
.而这与③矛盾，即方程组无解。
故命题得证。
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