北师大版高中数学选修11学案第一章 1 命 题.docx

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北师大版高中数学选修11学案第一章1命题

学习目标

　1.理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断．

知识点一　命题的概念

思考1　给出下列语句：

①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；

②3＋6＝7；

③偶函数的图像关于y轴对称；

④5能被4整除．

请你找出上述语句的特点．

梳理　

（1）定义

可以__________、用文字或符号表述的语句叫作命题．

（2）分类

①真命题：

__________的语句叫作真命题；

②假命题：

__________的语句叫作假命题．

知识点二　命题的形式

思考1　你能把“内错角相等”写成“若…，则…”的形式吗？

思考2　“内错角相等”是命题吗？

如果是命题，是真命题还是假命题？

梳理　命题的形式：

“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.

由p能推出q，则为真命题．能举一反例即可确定为假命题．

知识点三　四种命题的概念

思考　给出以下四个命题：

（1）当x＝2时，x2－3x＋2＝0；

（2）若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

（3）若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

（4）若x2－3x＋2≠0，则x≠2.

你能说出命题

（1）与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？

梳理　一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作__________．

如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作__________．

如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作______________．

把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

知识点四　四种命题的关系及其真假判断

思考1　原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？

原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？

原命题的逆命题与其否命题呢？

思考2　如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？

它的否命题呢？

它的逆否命题呢？

梳理　

（1）四种命题的相互关系

（2）在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是__________．

（3）两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性__________．

类型一　命题的概念

例1　下列语句：

（1）

是无限循环小数；

（2）x2－3x＋2＝0；（3）当x＝4时，2x>0；（4）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

（5）一个数不是合数就是素数；（6）作△ABC≌△A′B′C′；（7）二次函数的图像太美了！

（8）4是集合{1,2,3}中的元素．

其中是命题的是________．（填序号）

反思与感悟　一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．

其流程图如图：

跟踪训练1　下列语句中，是命题的为________．

①红豆生南国；

②作射线AB；

③中国领土不可侵犯！

④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.

类型二　四种命题及其相互关系

命题角度1　四种命题的概念

例2　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

（1）若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；

（3）若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；

（4）在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.

反思与感悟　四种命题的转换方法

（1）交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．

跟踪训练2　命题“若函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是（　　）

A．若loga2<0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数

B．若loga2≥0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数

C．若loga2<0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数

D．若loga2≥0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数

命题角度2　四种命题的相互关系

例3　若命题p：

“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是（　　）

A．互为逆命题B．互为否命题

C．互为逆否命题D．同一命题

反思与感悟　

（1）判断四种命题之间四种关系的两种方法

①利用四种命题的定义判断；

②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．

（2）要判断四种命题的真假：

首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

跟踪训练3　有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

②一个实数不是正数就是负数；

③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；

④“同位角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是________．

类型三　等价命题的应用

例4　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

引申探究

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，则a<

”的逆否命题的真假．

反思与感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．

跟踪训练4　证明：

若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

1．下列语句是命题的是（　　）

A．2014是一个大数

B．若两条直线平行，则这两条直线没有公共点

C．对数函数是增函数吗

D．a≤15

2．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（　　）

A．两个平面

B．一条直线

C．垂直

D．两个平面垂直于同一条直线

3．命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是（　　）

A．若f（x）是偶函数，则f（－x）是偶函数

B．若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数

C．若f（－x）是奇函数，则f（x）是奇函数

D．若f（－x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数

4．命题“若a>b，则ac2>bc2（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）

A．0B．2C．3D．4

5．给出以下命题：

①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

其中为真命题的是________．

1．可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变．

3．写四种命题时，可以按下列步骤进行：

（1）找出命题的条件p和结论q；

（2）写出条件p的否定和结论q的否定；

（3）按照四种命题的结构写出所有命题．

4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　上述语句有两个特点：

①都是陈述句；②能够判断真假．

梳理　

（1）判断真假　

（2）①判断为真　②判断为假

知识点二

思考1　若两个角为内错角，则这两个角相等．

思考2　是命题，是假命题．

知识点三

思考　命题

（1）的条件和结论与命题

（2）的条件和结论恰好互换了．命题

（1）的条件与结论恰好是命题（3）条件的否定和结论的否定．命题

（1）的条件和结论恰好是命题（4）结论的否定和条件的否定．

梳理　互逆命题　互否命题　互为逆否命题

知识点四

思考1　互逆、互否、互为逆否．

思考2　原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．

梳理　

（1）逆否　互逆　

（2）逆否命题　（3）没有关系

题型探究

例1　

（1）（3）（5）（8）

解析　本题主要考查命题的判断，判断依据：

一是陈述句；二是看能否判断真假．

（1）是命题，能判断真假；

（2）不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；（3）是命题；（4）不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；（5）是命题；（6）不是命题；（7）不是命题；（8）是命题．故答案为

（1）（3）（5）（8）．

跟踪训练1　①④

解析　②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题．

例2　解　

（1）逆命题：

若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．

否命题：

若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．

逆否命题：

若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．

（2）逆命题：

若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．

否命题：

若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．

逆否命题：

若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题．

（3）逆命题：

若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题．

否命题：

若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题．

逆否命题：

若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题．

（4）逆命题：

在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题．

否命题：

在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题．

逆否命题：

在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．

跟踪训练2　B　[直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．]

例3　B　[已知命题p：

若x＋y＝0，则x，y互为相反数．

命题p的否命题q为：

若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，

命题q的逆命题r为：

若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，

∴r是p的逆否命题，

∴r是p的逆命题的否命题，故选B.]

跟踪训练3　1

解析　①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．

②实数0既不是正数，也不是负数，

所以原命题是假命题．

③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，

解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，

而x＝4>－3不是不等式的解，

故是假命题．

④“相等的角是同位角”，是假命题．

例4　解　方法一　原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：

抛物线y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，

令x2＋（2a＋1）x＋a2＋2＝0，

则Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7.

因为a<1，所以4a－7<0，

即关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．

方法二　利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．

因为关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，

即4a－7≥0，解得a≥

≥1，

所以原命题为真，故其逆否命题为真．

引申探究　

解　先判断原命题的真假如下：

因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，

所以Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）

＝4a－7<0，

所以a<

.

所以原命题是真命题．

因为互为逆否命题的两个命题同真同假，

所以原命题的逆否命题为真命题．

跟踪训练4　证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1

＝（2b＋1）2－4b2－2（2b＋1）＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1

＝0.

∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．

当堂训练

1．B　2.D　3.B　4.B　5.①③