第二章 函数概念与基本初等函数第二章 21.docx

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第二章函数概念与基本初等函数第二章21

§2.1　函数及其表示

最新考纲

考情考向分析

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.

以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.

1．函数的基本概念

（1）函数的定义

设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f（x），x∈A.

（2）函数的定义域、值域

函数y＝f（x），x∈A中，自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y|y＝f（x），x∈A}叫做这个函数的值域．

（3）确定一个函数的两个要素：

定义域和对应法则．

2．设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f（x）．于是y＝f（x），x称作y的原象．映射f也可记为：

f：

A→B，x→f（x）．其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象f（x）构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f（A）．

3．函数解析式的求法

求函数解析式常用方法：

待定系数法、换元法、配凑法、消去法．

4．函数的表示法

（1）函数的常用表示方法：

列表法、图象法、解析法．

（2）分段函数：

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．

概念方法微思考

请你概括一下求函数定义域的类型．

提示　

（1）分式型；

（2）根式型；（3）对数式型；（4）指数函数、对数函数型；（5）三角函数型．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）对于函数f：

A→B，其值域就是集合B.（　×　）

（2）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．（　×　）

（3）函数f（x）的图象与直线x＝1最多有一个交点．（　√　）

（4）若A＝R，B＝{x|x>0}，f：

x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．（　×　）

（5）分段函数是由两个或几个函数组成的．（　×　）

题组二　教材改编

2．函数f（x）＝

的定义域是________．

答案　（－∞，1）∪（1,4]

3．函数y＝f（x）的图象如图所示，那么，f（x）的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．

答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2）∪（4,5]

题组三　易错自纠

4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．（填序号）

①f：

x→y＝

x；②f：

x→y＝

x；③f：

x→y＝

x；④f：

x→y＝

.

答案　③

解析　对于③，因为当x＝4时，y＝

×4＝

∉Q，所以③不是从P到Q的函数．

5．已知f（

）＝x－1，则f（x）＝____________.

答案　x2－1（x≥0）

解析　令t＝

，则t≥0，x＝t2，所以f（t）＝t2－1（t≥0），即f（x）＝x2－1（x≥0）．

6．设函数f（x）＝

则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为___________．

答案　（－∞，－2]∪[0,10]

解析　∵f（x）是分段函数，∴f（x）≥1应分段求解．当x<1时，f（x）≥1⇒（x＋1）2≥1⇒x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x<1.当x≥1时，f（x）≥1⇒4－

≥1，即

≤3，∴1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈（－∞，－2]∪[0,10].

题型一　函数的定义域

命题点1　求函数的定义域

例1　

（1）（2018·江苏）函数f（x）＝

的定义域为________．

答案　{x|x≥2}

解析　由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，

满足x>0，

所以函数f（x）＝

的定义域为{x|x≥2}．

（2）函数f（x）＝

ln

＋

的定义域为________________．

答案　[－4,0）∪（0,1）

解析　由

解得－4≤x<0或0

（3）若函数y＝f（x）的定义域是[0,2020]，则函数g（x）＝

的定义域是（　　）

A．[－1,2019]B．[－1,1）∪（1,2019]

C．[0,2020]D．[－1,1）∪（1,2020]

答案　B

解析　使函数f（x＋1）有意义，则0≤x＋1≤2020，解得－1≤x≤2019，故函数f（x＋1）的定义域为[－1，2019]．所以函数g（x）有意义的条件是

解得－1≤x<1或1

2019.故函数g（x）的定义域为[－1,1）∪（1,2019]．

引申探究

本例（3）中，若将“函数y＝f（x）的定义域为[0,2020]”，改为“函数f（x－1）的定义域为

[0,2020]”，则函数g（x）＝

的定义域为________．

答案　[－2,1）∪（1,2018]

解析　由函数f（x－1）的定义域为[0,2020]，

得函数y＝f（x）的定义域为[－1,2019]，

令

　则－2≤x≤2018且x≠1.

所以函数g（x）的定义域为[－2,1）∪（1,2018]．

命题点2　已知定义域求参数的值或范围

例2　

（1）若函数f（x）＝

的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．

答案　－

解析　函数f（x）的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，

所以

解得

所以a＋b＝－

－3＝－

.

（2）设f（x）的定义域为[0,1]，要使函数f（x－a）＋f（x＋a）有定义，则a的取值范围为____________．

答案　

解析　函数f（x－a）＋f（x＋a）的定义域为[a,1＋a]∩[－a,1－a]，当a≥0时，应有a≤1－a，即0≤a≤

；当a<0时，应有－a≤1＋a，即－

≤a<0.所以a的取值范围是

.

思维升华

（1）求给定函数的定义域往往转化为解不等式（组）的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．

（2）求抽象函数的定义域

①若y＝f（x）的定义域为（a，b），则解不等式a

②若y＝f（g（x））的定义域为（a，b），则求出g（x）在（a，b）上的值域即得f（x）的定义域．

（3）已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．

跟踪训练1

（1）若函数y＝f（x）的定义域为[0,2]，则函数g（x）＝

的定义域是（　　）

A．[0,1）B．[0,1]

C．[0,1）∪（1,4]D．（0,1）

答案　A

解析　函数y＝f（x）的定义域是[0,2]，要使函数g（x）有意义，可得

解得0≤x<1，故选A.

（2）函数y＝ln

＋

的定义域为________．

答案　（0,1]

解析　函数的定义域满足

解得

∴0

（3）记函数f（x）＝

的定义域为A，g（x）＝lg[（x－a－1）（2a－x）]（a<1）的定义域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围为________________．

答案　（－∞，－2]∪

解析　由已知得A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|（x－a－1）（x－2a）<0}，由a<1得a＋1>2a，∴B＝{x|2a

≤a<1.∴a的取值范围为a≤－2或

≤a<1.

题型二　求函数的解析式

1．若f

＝

，则当x≠0，且x≠1时，f（x）等于（　　）

A.

B.

C.

D.

－1

答案　B

解析　f（x）＝

＝

（x≠0且x≠1）．

2．已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（x＋1）－f（x）＝x－1，则f（x）＝________.

答案　

x2－

x＋2

解析　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

由f（0）＝2，得c＝2，

f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，

∴

即

∴f（x）＝

x2－

x＋2.

3．定义在（－1,1）内的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）＝________________.

答案　

lg（x＋1）＋

lg（1－x）（－1

解析　当x∈（－1,1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）．①

将x换成－x，则－x换成x，得

2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）．②

由①②消去f（－x）得，f（x）＝

lg（x＋1）＋

lg（1－x）（－1

思维升华函数解析式的求法

（1）待定系数法：

若已知函数的类型，可用待定系数法；

（2）换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

（3）配凑法：

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的解析式；

（4）消去法：

已知f（x）与f

或f（－x）之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）．

题型三　常见函数的值域

求下列函数的值域：

（1）y＝3x2－x＋2，x∈[1,3]；

（2）y＝

；

（3）y＝x＋4

；

（4）y＝

.

解　

（1）（配方法）

因为y＝3x2－x＋2＝3

2＋

，

所以函数y＝3x2－x＋2在[1,3]上单调递增．

当x＝1时，原函数取得最小值4；

当x＝3时，原函数取得最大值26.

所以函数y＝3x2－x＋2（x∈[1,3]）的值域为[4,26]．

（2）（分离常数法）

y＝

＝

＝3＋

，

因为

≠0，所以3＋

≠3，

所以函数y＝

的值域为{y|y≠3}．

（3）（换元法）

设t＝

，t≥0，则x＝1－t2，

所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－（t－2）2＋5（t≥0），所以y≤5，

所以原函数的值域为（－∞，5]．

（4）（均值不等式法）

y＝

＝

＝x＋

＝x－

＋

＋

，

因为x>

，所以x－

>0，

所以x－

＋

≥2

＝

，

当且仅当x－

＝

，即x＝

时取等号．

所以y≥

＋

，即原函数的值域为

.

思维升华配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用均值不等式求解．

题型四　分段函数

命题点1　求分段函数的函数值

例3

（1）已知f（x）＝

且f（0）＝2，f（－1）＝3，则f（f（－3））等于（　　）

A．－2B．2C．3D．－3

答案　B

解析　由题意得f（0）＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；

f（－1）＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝

.

故f