（D）o2（cos21sin2t）dt
2
增大的方向，贝ULxydy
cost.sintsint.sint、“
]dt
2
y）dxxydy，其中0为坐标原点，A的坐标为（1,1）
2.0A
为抛物线段yx2
xy2dx=（）
五、计算lxy2dyx2ydx,L是从A（1,0）沿y•1x2到B（-1,0）的圆弧。
22
六、计算xydx,L为圆周xy2ax（a>0）取逆时针方向。
七、设方向依oy轴负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量
为m的质点沿抛物线1x
九、把lx2ydxxdy（L为y
y2，从点A（1，0）移到B（0，1）时力场所做的功。
3
X上从A（-1，-1）至^B（1，1）的弧段）化为对弧长的曲线积分。
、判断题
1•闭区域D的边界按逆时针即为正向。
2.设P、Q在闭区域D上满足格林公式的条件，L是D的外正
QP
（————）dxdy。
PdxQdy
dxyL
向边界曲线，则
3.对单一积分[Pdx或[Qdy不能用格林公式。
4.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,P（x,y）,Q（x,y）
上有一阶连续偏导数，则
（a）
PQ
:
:
PdxQdy（）dxdy
Ldxy
（b）
PQ
QdyP（x,y）dx（）dxdy
dxy
（c）
Q（x,y）dy
—dxdy
x
填空题
3.设有二元函数i（x,y）,已知u（1,1）=0，且du=（2xcosy-ysinx）dx+（2ycosx-xsiny）dy,则
且u（x,y）=
三、选择题
1.设函数（x）连续（x>0，对x>0的任意闭曲线:
有.：
c4x3ydx
xf（x）dy0
且f
（1）=2,则f（x）=（）
（A）4x312x224x
24
3
（B）4x
2rx
12x24x2410e
（C）x3
（D）
x31
x
2.设F（x,y）可微，如果曲线积分F（x,y）（xdxydy）与路径无关，贝F（x,y）应满足（）
C
（A）yFy（x,y）xFx（x,y）（BFy（x,y）Fx（x,y）
（CyFyy（x,y）xFxx（x,y）（DxFy（x,y）yFx（x,y）
2.设函数f（x）连续可微且f（0）=-2,曲线积分
则=（）
为（）
（A）a=1,b=-1,u（x,y）=―
xy
（B）a=-1,b=1,u（x,y）=—2—
xy
（B）a=-1,b=-1,u（x,y）=（x2y2）2
x
（D）a=-1,b=-1,u（x,y）=—
x
5.L是圆域Dx2
2
y2x的正向圆周,
33
则（xy）dx（xy）dy
（A）2
3
（B）0（C）—
（D2
四、求变力F{3xy,2yx}将质点沿椭圆4x2y24的正向转动一周所做的功。
五、利用格林公式计算。
1.；xy2dxxy2dy,C为正向圆周x2y2R2
2.（exsinymy）dx（excosym）dy
L为点A（a,0）到点0,0）的上半圆周＜2y2ax（a0）
六、计算I■:
xdy于,c为正向圆周（2y2R2（R1）
Cxy
（2,3）22
七、验证曲线积分（2xcosyy2sinx）dx（2ycosyx2siny）dy与路径无关，并求其值。
（0,0）
八、选取n,使（x刃严$y）dy在XOY平面上除去X的负半轴和原点以外的开区G内的某个函数U（x,y）的全微分,
xy）
并求u（x,y）.
A=ds
1（fx）2
2
（fy）dxdy，这与用
二重积分求面积不一样。
二、填空题
D
1.设
是圆锥面Z
x2
22y被圆柱面x
2
y
2ax所截的下部分，则
2.设
是球面：
x2
2
y
z22az，则曲面积分
222
（xyz）ds=
三、选择题
1.设
为Z2x2
2
y
在XY平面上方的曲面，则
ds=（）
（
2
2
一、判断
1.二重积分也可看成是在平面片D上的第一类曲面积分。
2.设连续曲面片:
Zf（x,y）,（x,y）D，则的面积为
1
（xy
yzzx）ds=
（A）
（C）
■1
0
2
（2
0'
4r2rdr
（B）
r2）.14r2rdr
（D）
.14r2rdr
0
-“2j2
14rrdr
（A）
xds
（B）
x（x,y,z）ds
（C）
x2ds
（D）
22
（yz）（x,y,z）ds
.设
为球面x2
22yz
2
R，则=（）
（A）4
2
R（B）
4R5
R4
（C）-
2
（D）
4R
5
2.设有一分布非均匀的曲面
，其面密度为
3
0
0
（x,y,z），则曲面对X轴的转动惯量为（）
四、计算下列第一型曲面积分。
]
1.
（z2x
4
y）ds，其中
3
x
为平面一
2
1在第一卦限的部分。
2.
（xy
z）ds,为球面
R2上（zh且0ha）的部分。
3.
—2——ds,是柱面x2y2R2于平面Z=0和Z=h（h>0）之间的部分。
xyz
4.八（x2y2）ds,为锥面Zx2y2与平面Z=1所围成的区域的边界曲面。
五、求球面Zzx2y2在柱面x2y2ax内部的表面积。
22
xy
六、求旋转抛物面Z被平面Z=2所截的部分的质心坐标，假设其上各点的面密度为该点到Z
2
轴的距离的平方。
§0.5对坐标的曲面积分
一、判断题
1.设为x2y2z2R2在第一卦限部分，则的面积为
A=-[1Z；
z/dxdy
*22「
1XyXzdydz1
22
yxyzdzdx]
3Dxy
Dyz
Dzx
其中Dxy,
Dyz,Dzx分别为在各坐标面上投影区域。
（）
2.因为xdydx
XCOS
」ds
ds—,（
V3
为x+y+z=1上侧），所以
xdxdy为第一类曲线积分。
—4
3.「zdxdy一
3
a3,为
222
xyz
a2的外侧。
（）
二、填空题
1.zdxdy
xdydz
ydzdx=
为柱面x2
22
ya被平面Z=1和Z=4
所截得的在第一卦限内的部分。
2.设为平面3x+2y+23z=6在第一卦限的部分的上侧，将RdxdyPdydzQdzdx化为对
面积的曲面积分的结果为
。
、选择题
1.设流速场v{0,0,1}，则流过球面xyza的流量值-（）
（A）0（B）4R2
43
（C）—R3（D）1
3
2.设曲面为Z-0,:
x1,1
y1,方向向下，D为平面区域：
x1,y1，贝Udxdy-（
）
（a）1（B）dxdy
（C）-dxdy
（D）
0
22
3.设为Z-0（xy
R2）的上，则
（x2
2
y）dxdy-（
）
（A）
R2dxdy
x2y2R2
R4
（B）
R2dxdy
x2y2R2
2R3
（D）dr3dr
00
四、计算下列第二型曲面积分。
1.zdxdyxdydz,是平面x+y+z=2在第一卦限部分的外侧。
2.
222
（xyz）dydz2xydzdxzdxdy,柱面x
y21被平面z=i和z=0所截得部分的外
侧。
Z
eF22
3.©dxdy,为锥面Z^xy平面z=1和z=2所围成的立体表面的外侧。
Jx2y2
五、求流速场vxi
y2k穿过曲面zx2
y2与平面z=1所围成的立体表面的流量。
六、已知f（x,y,z）连续,
计算［f（x,y,z）
是平面x+y+z=1在第四卦限部分的外侧,
x]dydz[2f（x,y,z）y]dxdz[f（x,y,z）z]dxdy
一、断题
1•设
是球面x2
y2z2R2的外侧，
.为法矢的方向角。
V是所围成的立体，则
3
:
二（xcos
3
ycos
z3cos）ds=（3x2
v
3y23z2）dv4R5
（）
1
2.空间立体的体积V[xdydzydzdxzdxdy]这是为的边界曲面之外侧。
（）
3.梯度和旋度为
Z,散度是向量。
（）
二、填空题
1设空间区域
是由曲面zaxy与平面z=0围成，其中a为正整数，记
的表面外侧
为s,的体积为
222
v,^Vxyzdydzxydxdzz（1xyz）dxdy。
S
2设Aexyicos（xy）jcos（xz2）R则divA=。
222
3设uln（xyz，贝ydiv（gradu）（1,1,1）=
rot（gradu）（计）=。
、选择题
2222
1.设f（u）具有连续导数，是曲面yxz与y8xz所围成立体表面之外侧，则（）
1x1x
f（）dydzf（）dzdxzdxdy=（）
y
yx
y
（A）
16（B）
-16
（C）
-8
（D）
因f（u）未知，故无法确定。
2.设
为球面x2
22yz
R2的外侧,
则
o
1
3（xdydz
ydzdxzdxdy）+（）
（x2
22yz
）2
（A）
0（B）4
（C）4R2
（D）
单R3
3
3.设
是球面x2
22yz
a2的外侧,
则
zdzdy=（）
（A）
0（B）
43
a
3
（C）4a3
1
（D）-
2
a4
、计算
（xyz）dydz（y
zx）dzdx
2zdxdy,是z1
x2y2
被z=0所截部分的外侧。
五、计算：
x3dydz[-f（y）y3]dzdx[丄f（'）zzyz
x2y2z2R2的外侧。
六、算下列曲面积分。
222
1.（yz）dydz（zx）dxdz（xy）dxdy,为zxy（0zh）的下侧。
转而成的旋转曲面，它的法向量与y轴的正向的夹角恒大于-o
2
22
3.（2xz）dydzzdxdy,S为zxy（0z1）其法向量与轴正向的夹角为锐角。
七、求A（x2yz）i（y22x）j（z2xy）k的散度和旋度。
八、利用斯托克斯公式计算下列曲线积分。
2222
1.•：
•ydxzdyxdz，其中为圆周xyzR,x+y+z=a,从X轴正向看去，这圆周是逆时针方向。
九、流体在空间流动，流体的密度u处处相同（设u=1）已知流速Vxz2iyx2jzy2k，求流体在
单位时间内流过曲面：
x2y2z22z的流量（流向外侧）和沿曲线L:
x2y2z22z,
z=1的环流量（从z轴正向看去是逆时针方向。
）
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