例2．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒。
如果要求第三根木棒的长度是整数小颖有几种选法？
可以是多少？
例3：
已知：
△ABC中，AD是BC边上的中线
求证：
AD+BD>
（AB+AC）
（二）三角形的高、中线与角平分线
问题：
（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？
（2）图中存在哪些相等角？
注意基本图形：
双垂直图形
例4．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）
A．5B．4C．3D．2
例5．如图，⊿ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，
DF⊥CE，求∠CDF的度数。
例6．一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。
分析：
例7．⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D。
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BDC=。
（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BDC=。
（3）若∠A=76°，则∠BDC=。
（4）若∠BDC=120°，则∠A=。
（5）你能找出∠A与∠BDC之间的数量关系吗？
例8．已知:
BE,CE分别为△ABC的外角∠MBC,∠NCB的角平分线,
求:
∠E与∠A的关系
例9．已知:
BF为∠ABC的角平分线,CF为外角∠ACG的角平分线,
求:
∠F与∠A的关系
思考题：
如图：
∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；如此下去,∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；…探究∠Fn与∠A的关系（n为自然数）
例10、在△ABC中，有一点P１，当P１、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）.当△ABC内的点的个数增加时，若其它条件不度，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
△ABC内点的个数
1
2
3
…
1005
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
7
…
？
观察上述图形，结合上表，则上表中的“？
”地方应是
A.2010B.2011C.2012D.2013
【强化练习】
一．选择题
1．以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棍中的三根木棍为边，可构成三角形的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，在△ABC中，∠C＝80°，D为AC上一点，则x可能是（）
A.5B.10C.20D.25
3．在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（）对.
A.4对B.5对C.6对D.7对
（第2题）（第3题）（第4题）
4.观察图和所给表格中的数据后回答：
梯形个数
1
2
3
4
……
图形周长
5
8
11
14
……
当梯形的个数为n时，图形周长为（）
A.3nB.3n+1C.3n+2D.3n+3
5.下列说法错误的个数是（）
（1）钝角三角形三边上的高都在三角形的外部
（2）三角形中，至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角（3）三角形的一个外角等于它的两个内角的和（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角（5）三角形的三个外角（每个顶点只取一个外角）中，钝角个数至少有2个
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.若一个三角形的三个内角度数之比为3：
2：
1，则与之相邻的三个外角度数之比为（）
A.3：
2：
1B.1：
2：
3C.5：
4：
3D.3：
4：
5
7.如图，已知直线AB∥CD，当点E直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE＋∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是（ ）
A. ∠BED＝∠ABE＋∠CDE或∠BED＝∠ABE－∠CDE
B. ∠BED＝∠ABE－∠CDE
C. ∠BED＝∠CDE－∠ABE或∠BED＝∠ABE－∠CDE
D. ∠BED＝∠CDE－∠ABE
8.在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）
A．150°B．130°C．120°D．100°
9、在
ABC中，三个内角满足∠B－∠A=∠C－∠B，则∠B等于（）
A.70°B.60°C.90°D.120°
10、在锐角三角形中，最大内角的取值范围是（）
A、0°＜
＜90°B、60°＜
＜180°C、60°＜
＜90°D、60°≤
＜90°
二．填空题
11．如图，AB∥CD，∠A＝96°，∠B＝∠BCA,则∠BCD＝________
12．如图，△ABC中，∠A＝35°，∠C＝60°,BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E,则
∠BDE＝______,∠BDC=_______.
13．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是_______.
14．如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_________
15．如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC＝60°，则∠AOE＝_______
（第11题）（第12题）（第14题）（第15题）
16．用三种边长相等的正多边形铺地，已选了正方形和正五边形两种，还应选正___边形.
17.若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是.
18.等腰三角形的底边长为10cm,一腰上的中线将这个三角形分成两部分,这两部分的周长之差为2cm,则这个等腰三角形的腰长为_____________________.
19.将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和___________.
20.如下图是用棋子摆成的“上”字：
第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；
（2）第n个“上”字需用枚棋子.
三．解答题
21．如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△ABC的角平分线,AD、CE交于F点.当∠BAC=80°,∠B=40°时,
求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数.
22.探究规律：
如图已知直线
∥
，A、B为直线
上的两点，C、P为直线
上的两点.
（1）请写出图中面积相等的各对三角形：
_____________.
（2）如果A、B、C为三个定点，点P在
上移动，那么无论P点移动到任何位置总有：
的面积与△ABC的面积相等；理由是：
23.如图，已知：
D,E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE,AD若S
=24cm
求△DEC的面积.
24.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:
（1）△ABC的面积；
（2）CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm时，试求出DF的长.
25．如图，已知：
在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形，求∠C的度数.
26．
（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？
为什么？
（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，
填空：
∠1＋∠2_______∠B＋∠C（填“＞”“＜”“=”），当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______（3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，则x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为______________________.
27．如图，长方形OABC中，O为坐标原点，A、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，5），点B在第一象限内.
（1）写出点B的坐标；
（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的周长分为3：
1两部分，求点D的坐标；（3）如果将
（2）中的线段CD向下平移2个单位，得到线段
试计算四边形
的面积.
第二部分
【知识导读】
1.全等图形：
能够完全重合的两个图形。
2.全等三角形：
能够完全重合的两个三角形。
3.对应边：
能够相互重合的顶点；
对应顶点：
相互重合的边；
对应角：
相互重合的角。
全等三角形的对应角相等，对应边相等。
注意“对应”二字。
*4.全等三角形的条件（判定）
三边对应相等SSS；
一个角和夹这个角的两边对应相等SAS；
两个角和这两个角的夹边对应相等ASA；
两个角和其中一个角的对边对应相等AAS。
【典型例题】
例1．如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.5cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．
例2．如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，
AD＝4，那么BC等于（）
A．6B．5C．4D．无法确定
例3．已知：
如图所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．
例4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若
∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．
例5．已知：
如图1－9，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：
AB∥DE．
例6．已知：
如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：
∠CAD＝∠DBC.
例7．已知：
如图，AB＝AC，BE＝CD．
求证：
∠B＝∠C．
例8．如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
例9．已知：
如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．
求证：
AD＝AC．
例10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：
EF＝AE＋BF．
（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．
①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．
例11．已知：
如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．
求证：
OB＝OC.
例12．已知：
如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．
【强化练习】
1．已知：
如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：
RM平分∠PRQ．
分析：
要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，
只要证______≌______
证明：
∵M为PQ的中点（已知），
∴______＝______
在△______和△______中，
∴______≌______（）．
∴∠PRM＝______（______）．
即RM平分∠PRQ．
2．已知：
如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：
∠A＝∠D．
分析：
要证∠A＝∠D，只要证______≌______．
证明：
∵BE＝CF（），
∴BC＝______．
在△ABC和△DEF中，
∴______≌______（）．
∴∠A＝∠D（______）．
3．如图，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB，求证：
△ABC≌△BAD．
证明：
∵CE＝DE，EA＝EB，
∴______＋______＝______＋______，
即______＝______．
在△ABC和△BAD中，
＝______（已知），
∴△ABC≌△BAD（）．
4．已知：
如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．
求证：
∠D＝∠B．
分析：
要证∠D＝∠B，只要证______≌______
证明：
在△AOD与△COB中，
∴△AOD≌△______（）．
∴∠D＝∠B（______）．
5．已知：
如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：
AD∥BC．
分析：
要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，
又需证______≌______．
证明：
∵AB∥CD（），
∴∠______＝∠______（），
在△______和△______中，
∴Δ______≌Δ______（）．
∴∠______＝∠______（）．
∴______∥______（）．
6．已知：
如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：
AM＝BN．
分析：
∵PM＝PN，∴要证AM＝BN，只要证PA＝______，
只要证______≌______．
证明：
在△______与△______中，
∴△______≌△______（）．
∴PA＝______（）．
∵PM＝PN（），
∴PM－______＝PN－______，即AM＝______．
7．已知：
如图，AC
BD．求证：
OA＝OB，OC＝OD．
分析：
要证OA＝OB，OC＝OD，只要证______≌______．
证明：
∵AC∥BD，∴∠C＝______．
在△______与△______中，
∴______≌______（）．
∴OA＝OB，OC＝OD（）．
8．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）
（3）一个锐角和斜边对应相等；（）
（4）两直角边对应相等；（）
（5）一条直角边和斜边对应相等．（）
作业练习
1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC，B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件（只需要填写一个你认为适当的条件）
2．如图，0A=0B，OC=OD，∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于
3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．
4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：
∠2：
∠3=28：
5：
3，则∠a的度数为
5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：
①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是（）
A．①②B。
②③C．①③D．①②③
7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那
么图中全等的三角形有（）对
A．5B．6C．7D．8
8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C,A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数
9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：
①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程
已知：
求证：
10.在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：
DE=AD+BE
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：
DE=AD-BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：
DE、AD、BE有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系，并加以证明
11．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH=AC，则∠ABC=
12．如图，已知AE平分∠BAC，BE上AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED=
13．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，给出三个论断：
①DE=FE；②AE=CE；③FC∥AB，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是
14．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的取值范围是
15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：
①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）
A．1B.2C．3D．4
16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AD，下列结论中正确的是（）
A．AB-AD>CB-CDB．AB-AD=CB-CD
C．AB-AD17．考查下列命题：
①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（）．
A．4个B．3个C．2个D．1个
18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且
求∠ABC+∠ADC的度数。
19．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
20．如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积
21．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：
AC=AE+CD．
升级会员 