19届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量87立体几何中的向量方法一证明平行与垂直学案理.docx

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19届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量87立体几何中的向量方法一证明平行与垂直学案理

§8.7　立体几何中的向量方法

（一）——证明平行与垂直

最新考纲

考情考向分析

1.理解直线的方向向量及平面的法向量．

2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．

3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

利用空间向量证明空间中的位置关系是近几年高考重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向量及空间直线、平面之间位置关系的向量表示等内容．以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现.

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

（1）直线的方向向量：

在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

（2）平面的法向量可利用方程组求出：

设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

2．用向量证明空间中的平行关系

（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2（或l1与l2重合）⇔v1∥v2.

（2）设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

（3）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，

则l∥α或lα⇔v⊥u.

（4）设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.

3．用向量证明空间中的垂直关系

（1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.

（2）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.

（3）设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）直线的方向向量是唯一确定的．（　×　）

（2）平面的单位法向量是唯一确定的．（　×　）

（3）若两平面的法向量平行，则两平面平行．（　√　）

（4）若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．（　√　）

（5）若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．（　×　）

（6）若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．（　×　）

题组二　教材改编

2．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝（－2,2,5），当v＝（3，－2,2）时，α与β的位置关系为__________；当v＝（4，－4，－10）时，α与β的位置关系为________．

答案　α⊥β　α∥β

解析　当v＝（3，－2,2）时，

u·v＝（－2,2,5）·（3，－2,2）＝0⇒α⊥β.

当v＝（4，－4，－10）时，v＝－2u⇒α∥β.

3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．

答案　垂直

解析　以A为原点，分别以

，

，

所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

设正方体的棱长为1，则A（0,0,0），M

，

O

，N

，

·

＝

·

＝0，

∴ON与AM垂直．

题组三　易错自纠

4．已知A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,1），则下列向量是平面ABC法向量的是（　　）

A．（－1,1,1）B．（1，－1,1）

C.

D.

答案　C

解析　设n＝（x，y，z）为平面ABC的法向量，

则

化简得

∴x＝y＝z.故选C.

5．直线l的方向向量a＝（1，－3,5），平面α的法向量n＝（－1,3，－5），则有（　　）

A．l∥αB．l⊥α

C．l与α斜交D．lα或l∥α

答案　B

解析　由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α，故选B.

6．已知平面α，β的法向量分别为n1＝（2,3,5），n2＝（－3,1，－4），则（　　）

A．α∥βB．α⊥β

C．α，β相交但不垂直D．以上均不对

答案　C

解析　∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×（－3）＋3×1＋5×（－4）＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直．

题型一　利用空间向量证明平行问题

典例（2018·大理月考）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：

PB∥平面EFG.

证明　∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，

∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,0,0），B（2，0,0），C（2,2,0），

D（0,2,0），P（0，0,2），E（0,0,1），

F（0,1,1），G（1，2,0）．

∴

＝（2,0，－2），

＝（0，－1,0），

＝（1,1，－1），

设

＝s

＋t

，

即（2,0，－2）＝s（0，－1,0）＋t（1,1，－1），

∴

解得s＝t＝2，∴

＝2

＋2

，

又∵

与

不共线，∴

，

与

共面．

∵PB⊈平面EFG，∴PB∥平面EFG.

引申探究

若本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.

证明　∵

＝（0,1,0），

＝（0,2,0），

∴

＝2

，∴BC∥EF.

又∵EF⊈平面PBC，BC平面PBC，∴EF∥平面PBC，

同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.

又EF∩GF＝F，EF，GF平面EFG，

∴平面EFG∥平面PBC.

思维升华

（1）恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．

（2）证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

跟踪训练如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2

，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.

证明：

PQ∥平面BCD.

证明　方法一　如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在直线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

由题意知，A（0，

，2），

B（0，－

，0），D（0，

，0）．

设点C的坐标为（x0，y0,0）．

因为

＝3

，

所以Q

.

因为M为AD的中点，

故M（0，

，1）．

又P为BM的中点，故P

，

所以

＝

.

又平面BCD的一个法向量为a＝（0,0,1），故

·a＝0.

又PQ⊈平面BCD，所以PQ∥平面BCD.

方法二　在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同方法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为（x0，y0,0）．

因为

＝

，设点F的坐标为（x，y,0），则

（x－x0，y－y0,0）＝

（－x0，

－y0,0），

所以

所以

＝

.

又由方法一知

＝

，

所以

＝

，所以PQ∥OF.

又PQ⊈平面BCD，OF平面BCD，

所以PQ∥平面BCD.

题型二　利用空间向量证明垂直问题

命题点1　证线面垂直

典例如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱）ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：

AB1⊥平面A1BD.

证明　方法一　设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λ

＋μ

.

令

＝a，

＝b，

＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，

则

＝a＋c，

＝

a＋b，

＝a－c，

m＝λ

＋μ

＝

a＋μb＋λc，

·m＝（a－c）·

＝4

－2μ－4λ＝0.故

⊥m，结论得证．

方法二　取BC的中点O，连接AO.

因为△ABC为正三角形，

所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，

所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B（1,0,0），D（－1,1,0），A1（0,2，

），

A（0,0，

），B1（1,2,0）．

设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），

＝（－1,2，

），

＝（－2,1,0）．

因为n⊥

，n⊥

，

故

即

令x＝1，则y＝2，z＝－

，

故n＝（1,2，－

）为平面A1BD的一个法向量，

而

＝（1,2，－

），所以

＝n，所以

∥n，

故AB1⊥平面A1BD.

命题点2　证面面垂直

典例（2017·武汉月考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

AD，设E，F分别为PC，BD的中点．

（1）求证：

EF∥平面PAD；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PDC.

证明　

（1）如图，取AD的中点O，连接OP，OF.

因为PA＝PD，所以PO⊥AD.

因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.

又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.

因为PA＝PD＝

AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝

.

以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A

，F

，D

，

P

，B

，C

.

因为E为PC的中点，所以E

.

易知平面PAD的一个法向量为

＝

，

因为

＝

，

且

·

＝

·

＝0，

又因为EF⊈平面PAD，所以EF∥平面PAD.

（2）因为

＝

，

＝（0，－a,0），

所以

·

＝

·（0，－a,0）＝0，

所以

⊥

，所以PA⊥CD.

又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD平面PDC，

所以PA⊥平面PDC.

又PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.

思维升华证明垂直问题的方法

（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

（2）其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：

①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

跟踪训练如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：

（1）PA⊥BD；

（2）平面PAD⊥平面PAB.

证明　

（1）取BC的中点O，连接PO，

∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，

平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO平面PBC，

∴PO⊥底面ABCD.

以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．