弹性力学大作业计算报告.docx
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弹性力学大作业计算报告
弹性力学大作业
报
告
书
学生姓名：
指导老师：
所属单位：
专题调研或社会调查课题名称：
求固支无肋板与加肋板最低阶自然频率
山东大学
二○一二年五月
求夹支圆板最低自然频率分析报告
摘要：
通过能量法和Ansys软件来求一周边夹支圆板的最小自然频率，将这两种方法所得结果与精确解对比，观察误差情况。
随后对圆板加肋，同样用能量法和Ansys软件分析此种情况下的最小自然频率。
通过这种计算，熟悉弹性力学的解题步骤，熟悉matlab和Ansys的功能。
关键词：
能量法，Ansys
1.问题描述
设有圆形薄板，半径为a，边界夹支，如图1所示，作轴对称自由振动。
求最低阶自然频率。
沿直径方向加筋，求最低阶自然频率。
图1：
半径为a的夹支圆形薄板
2.能量法求圆板的近似解
2.1求解无肋板的最低阶自然频率
2.1.1建立坐标系与模型
该问题为轴对称问题，如果选取极坐标ρ，ψ，因轴对称则振形函数及其他各项表达式将只与r有关。
可以简化计算。
所以建立模型如下：
图2：
半径为a的夹支无肋板模型
2.1.2边界条件
位移边界条件：
轴对称条件：
力边界条件没有
2.1.3振形函数
设振型型函数为
显然满足边界条件。
2.1.4代入方程求解
由里茨的理论取
其中
是满足边界条件的设定函数，
是互不依赖的待定系数。
取
得
有
要想求得最低阶自然频率，需要满足方程
那么需要求求最大势能与动能的偏微分
先对
求偏导
同理可得
由此可以得到一般性公式：
代入
式：
可得
其中
假设
，解得
即可得到
2.1.5Matlab编程及求解
用MATlab进行编程。
然后从对n从1开始取数，运行程序，得出结果如下：
表一无肋板阵型函数n取不同值时的
（rad/s）
n的取值最低阶的频率精确解误差
1
10.3280
10.22
1.056%
2
10.2170
10.22
0.029%
3
10.2158
10.22
0.041%
4
10.2158
10.22
0.041%
5
10.2158
10.22
0.041%
2.2求解加肋板的最低阶自然频率
2.2.1建立坐标系
沿直径方向加筋，该问题仍然为为轴对称问题，取极坐标ρ，ψ，振形函数及各表达式将只与r有关。
可以简化计算。
建立模型如下：
图3：
半径为a的夹支加肋板模型
2.2.2边界条件
梁和板具有相同的边界条件，所以有
位移边界条件：
轴对称条件：
力边界条件没有
2.2.3振形函数
设梁和板的振型函数都为
显然满足边界条件。
2.2.4代入方程
同无肋板要求一样，按无肋板的步骤，我们可以得到
最大动能和最大势能变为：
最终推出一般形式
由
得：
又因为
，只需求出
即可
2.2.5Matlab编程及求解
求解：
对n从1开始取数，运行该程序，得出结果如下：
表二加肋板阵型函数n取不同值时的
（rad/s）
n的取值最低阶的
1
9.5203
2
9.3984
3
9.3953
4
9.3951
5
9.3950
6
9.3950
至此，用能量法求解就结束了
3.Ansys建模求解
3.1求解无肋板最低阶自然频率
3.1.1建模
利用shell63号单元建模，将圆的周边全部约束住，模拟出固支的情景，随后用模态处理得到其最低自然频率，我们给出参数如下：
模型如下:
图4无肋板Ansys模型
3.1.2计算结果
表三Ansys求解结果
第一次划分网格第一次细化网格第二次细化网格第三次细化网格
最低阶自然频率
248.91
249.08
249.13
249.14
随着网格的细化，最低阶自然频率趋向于一个定值。
大约为249.14
3.2加肋板的最低阶自然频率
3.2.1建模
利用shell63号单元建板模型，将圆的周边全部约束住，模拟出固支的情景，用Beam3建梁模型，在求解过程中，我们发现，如果不将线和面进行处理的话，得到的最低阶自然频率是不准备的，因为梁和板之间相当于没有影响。
为了模拟真实场景，我们需要用到NumberiingCtrls>>MergeItems命令，将线和面进行耦合。
随后用模态处理即可得到其最低自然频率。
我们给出参数如下：
模型如下：
图5加肋板Ansys模型
3.2.2计算结果
表四Ansys求解结果
第一次划分网格第一次细化网格第二次细化网格第三次细化网格
最低阶自然频率
228.69
228.84
228.88
228.89
同样，随着网格的细化，最低阶自然频率趋向于一个定值228.89
4.结果分析
4.1无肋板结果分析
表五无肋板求解结果分析
精确解能量法近似解Ansys解
最低阶自然频率
249.246
249.148
249.14
与精确解误差
0
0.039%
0.043%
由以上求解可知，能量法得到最低阶自然频率为
，而精确解答为
，所求解非常接近精确解，其误差仅有0.04%左右。
因此所取振型函数求解四边夹支的圆板最低阶自然频率非常理想，可以得到满意的解答。
而Ansys的结果同样很令人满意，随着网格的细分，Ansys的解逐步趋近于精确解，虽然最后并没有收敛于精确解，但是其误差也是很小的，能够在工程实际上运用。
4.2加肋板结果分析
表六加肋板求解结果分析
能量法近似解Ansys解误差
最低阶自然频率
229.126
228.89
0.103%
由于没有精确解，所以只能将能量法近似解和Ansys解进行横向比较，我们不难发现，这两个解是趋于一致的，所以我们可以得到结论，在固支圆板上沿横向加一根梁，这将会减小最低阶的自然频率。
5.结论
在研究过程中，我们发现沿直径加一根梁会减小圆板的最低阶自然频率，同时我们知道了无论是能量法还是Ansys法都可以得到让人满意的结果，和精确解差距不大，而在没有精确解的情况，如果能够将这两种方法一起应用，可以验证得到的解是否成立。
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