多元函数微积分复习试题docx.docx
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多元函数微积分复习题
一、单项选择题
1．函数
fx,y
在点
0
0处连续是函数在该点可微分的
（B）
x
y
（A）
充分而不必要条件;（B）
必要而不充分条件;
（C）必要而且充分条件;（D）既不必要也不充分条件.
2．设函数fx,y在点x0,y0处连续是函数在该点可偏导的（D）
（A）充分而不必要条件;（B）必要而不充分条件;
（C）必要而且充分条件;（D）既不必要也不充分条件.
3．函数fx,y在点x0,y0处偏导数存在是函数在该点可微分的
（B）.
（A）
充分而不必要条件;
（B）
必要而不充分条件;
（C）
必要而且充分条件;
（D）
既不必要也不充分条件.
4．对于二元函数z
f（x,y）,
下列结论正确的是（
C）.
A.若lim
A,
则必有lim
f（x,y）
A且有limf（x,y）
A;
x
x0
x
x
yy
0
0
y
y0
B.若在（x0,y0）处z和z都存在,
则在点（x0,y0）处z
f（x,y）可微;
x
y
C.若在（x0,y0）处z和
z存在且连续,则在点（x0,y0）处z
f（x,y）可微;
x
y
2
z
2
z
2
z
2z
D.若
2
和
2都存在,
则.
2
y
2.
x
y
x
5．二元函数zf（x,y）在点（x0,y0）处满足关系（C）.
A.可微（指全微分存在）可导（指偏导数存在）连续;
B.可微可导连续;
C.可微可导,或可微连续,但可导不一定连续;
D.可导连续,但可导不一定可微.
r
3,
1,
2,
r
1
，则
rr
（A
）
6.向量a
b1,2,
agb
（A）
3
（B）
3
（C）
2
（D）
2
5．已知三点M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2），则MA?
AB=
（C
）
（A）
-1
；
（B）
1
；
（C）
0
；
（D）
2
；
6．已知三点M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3），则|MA
AB|=（B
）
（A）
2;
（B）
22;
（C）
2
;
（D）-2;
7．设D为园域x2
y2
2ax
（a
0）,
化积分
F（x,y）d为二次积分的正确方法
D
是_____D____.
A.
2a
dx
a
B.
2
2a
2ax2
0
f（x,y）dy
dx
f（x,y）dy
a
0
0
C.
a
2acos
f（
cos,
sin
）
d
d
a
0
D.
2
d
2acos
f（
cos
sin
）
d
0
2
3
lnx
8．设I
dx
1
0
f（x,y）dy,改变积分次序,则I______.B
A.
ln3
ey
B.
ln3
3
0
dy
0
f（x,y）dx
0
dy
ey
f（x,y）dx
C.
ln3
dy
3
f（x,y）dx
D.
3
dy
lnx
f（x,y）dx
0
0
1
0
9．二次积分
2d
cos
sin
）d
可以写成___________.D
f（cos
0
0
A.
1
y
y2
f（x,y）dx
B.
1
dy
1
y2
dy
f（x,y）dx
0000
C.
1
1
D.
1
xx2
dx
f（x,y）dy
dx
f（x,y）dy
0
0
0
0
10．设
是由曲面x2
y2
2z及z
2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分
I
f（x,y,z）dxdydz表示为三次积分，I
________.C
2
A
．
2
1
2f（
cos
sin,z）dz
d
d
0
0
0
2
2
2
d
f（
cos,
sin
z）
dz
B.
d
2
0
0
0
C．
2
2
2
f（
cos
sin
z）
dz
d
d
2
0
0
2
D．
2
2
2
cos
sin,z）dz
d
d
f（
0
0
0
11．设L为x0y面内直线段，其方程为
L:
xa,cyd，
则Px,ydx
（C
）
L
（A）a
（B）c
（C）0
（D）d
12．设L为x0y面内直线段，其方程为L:
y
a,cxd，则Px,ydy
（C
）
L
（A）a
（B）c
（C）0
（D）d
13．设有级数
n1
un
则limun
n
0是级数收敛的
（
D
）
（A）充分条件；
（B）
充分必要条件；
（C）既不充分也不必要条件；
（D）
必要条件;
14．幂级数
nxn的收径半径R=
（D
）
n1
（A）3
（B）0
（C）2
（D）1
15．幂级数
1xn的收敛半径R
n1
n
（A）1
（B）0
（C）2
（D）3
16．若幂级数
anxn的收敛半径为R，则
anxn2的收敛半径为
n
0
n0
（A）
R
（B）
R2
（C）
R
（D）
无法求得
17.若limu
n
0
则级数un（）D
n
n1
A.收敛且和为B.收敛但和不一定为
C.发散D.可能收敛也可能发散
18.若
un为正项级数,
则（B）
n1
A.若limun
0,则
un收敛B.
若
un收敛,
则
un2收敛
n
n1
n1
n1
C.若
un2,则
un也收敛D.
若
un发散,
则limun0
n1
n1
n1
n
19.设幂级数Cnxn在点x3处收敛,则该级数在点x1处（A）
n1
A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定
20.级数
sinnx
则该级数（
B）
（x0）
n1
n!
A.
是发散级数
B.
是绝对收敛级数
C.
是条件收敛级数
D.
可能收敛也可能发散
（A）
（A）
二、填空题
1．设f（x,y）sinx（y1）ln（x2y2），则fx（0,1）___1___.
2．设fx,ycosxy1lnx2y2，则fx'（0,1）=____0______.
3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是
fx,ydxdyfcos,sindd
DD
4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是
fx,y,zdxdydzfcos,sin,zdddz
5．柱面坐标下的体积元素dvdddz
6．设积分区域D:
x2
y2
a2,
且
dxdy
9
则a
3
。
D
7．设D由曲线
asin
a所围成,
则
dxdy
3
a2
D
4
8．设积分区域D为1
x2
y2
4,
2dxdy
6
D
9．设f
x,y
在[0，1]
1
xdx
3，
上连续，如果
f
0
则
1
1
xfydy=_____9________.
dx
f
0
0
10．设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，则
xyds
2.
L
11．设L为连接（1,0）与（0,1）两点的直线段，
则xyds___________.0
L
12．等比级数
aqn
（a
0）当
q1
时，等比级数
aqn
收敛.
n1
n1
13．当__1__时，p
级数
1p是收敛的.
n1
n
14．当_________时,级数
n
1
n1
1
是绝对收敛的.
1
1
np
15．若f（x,y）
xy
x,
则fx（2,1）
_________.
1,
y
2
16．若f（x,y）
xy3
（x
1）arccosy2
则fy（1,y）
_________.
3y2
2x
17．设u
zxy,
则du
_________.
zxyylnxdx
xlnzdy
xydz
z
18．设z
ylnx,
则
2z
__________.
lny（lny
1）ylnx
x2
x2
19.积分
2
2
y2
dy的值等于_________.
1
4
）,
dx
e
（1
e
0
x
2
20.设D为园域x2
y2
a2,
若
x2
y2
dxdy
8
则a
_______.
2
D
21.设I2dxdydz,
其中
:
x2
y2
z2
a2,
z
0,
则I
_______.
4
a3
3
三、计算题
1.求过点2,0,1且与平面2x5y4z80平行的平面方程.
解:
已知平面的法向量n=（2，-5，4），所求平面的方程为
2（x+2）-5（y-0）+4（z-1）=0
即2x-75y+4z=0
2．求经过两点M1（1，2，2）和M2（3，0，1）的直线方程。
.解:
M1M2
=（4,2,1）
所求直线方程为
x1y
2
Z2
4
2
1
3．求过点（0,-3,2）
且以n=（3,-2,1）
为法线向量的平面方程.
解:
所求的平面方程为
3x0
2
y
3
1z20
即3x
2y
z
8
0
4．设zf
xy,y
2z
，其中f具有二阶连续偏导数，求
xy
解:
z
yf1
x
2z
z
f1yxf11f12
xy
y
yf1
xy
5．设lnx2y2arctany,求dy
xdx
解:
方程两边对x求导得
1
1
1
xyy
x2
y2
2x2
y2
2x2yy
2
x2
y
1
x
由此得
y
x
y
x
y
2
z
6．设zfxy,y，其中f具有二阶连续偏阶导数，求。
解:
z
yfu,
x
2z
z
x
yfu
y
fu
y2fuu
x2
xx
x
7．设
x
z
ln
z
y
求
z.
x
解:
方程x
lnz
lny两边同时对x求导得
z
z
zx
1
z,
x
z2
z
x
zzz
xxz
2z
8．设zfax,by，其中f具有连续的二阶偏导数，求
xy
解:
z
af1
x
2z
af1
abf12
xy
y
9．设
siny
ex
xy2
0,求
dy.
dx
解:
方程两边对x同时求导得
cosyy
ex
y2
2xyy
0
由此得
y
ex
y2
2xy
cosy
10．计算二重积分3x2ydxdy,其中D是由直线x0,y0,xy2
D
所围成的闭区域。
解:
3x2ydxdy
2
=2x
0
11．改变二次积分I
2
2x
2ydy
2
y
2
2
x
dx
3x
3xy
0
dx
0
0
0
x22x3
2
20
2x2
4dx
4x
3
0
3
2
2y
dy
y
2fx,ydx的积分次序。
0
解:
积分区域为
D:
0
y
2,
y2
x
2y
D也可表示为
D:
0
x
4,
x
y
x
2
I
4
x
dxx
fx,ydy
0
2
12．计算二重积分3x2ydxdy,其中D是由直线x0,y0,yx1
D
所围成的闭区域。
解:
3x2ydxdy
D
=
1
4x2
0
13．改变二次积分I
1
0
1
dx
3x2ydy3xyy20x1dx
0
x1
0
5x
1dx
1
6
1
y
x,ydx的积分次序。
dy
f
0
0
解:
积分区域为
D:
0
y
1,
0
x
y
D也可表示为
D:
0
x
1,
x
y1
有
1
y
x,y
dx
1
dx
1
x,ydy
0
dyf
0
f
0
x
14．计算二重积分
3x
2ydxdy其中D:
0
x
1,0
y1.
D
解:
3x2ydxdy
1
1
3x
2ydy
1
3xy
y2
1
dx
0
0
0dx
0
D
1
3x2
1
5.
=
x
3x1dx
0
2
0
2
15．改变二次积分I
1
1
fx
ydx的积分次序。
1
dy
y
2
解:
积分区域为
D:
1
y
1,
y2
x1
D也可表示为
D:
0
x
1,
x
y
x
1
x
x,ydy
Idx
f
0
x
16．利用格林公式计算曲线积分
I=
（2x
y
4）dx
（5y3x6）dy,
L
其中L为三顶点分别为（0,0）,（3,0）,（3,2）
的三角形正向边界.
解:
由格林公式
I=
[（5y
3x
6）
（2xy4）]dxdy
D
x
y
=
4
dxdy=
4
1
32
D
2
=12
17．利用格林公式计算曲线积分
?
L
（y）d
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