多元函数微积分复习试题docx.docx

1、多元函数微积分复习试题docx多元函数微积分复习题一、单项选择题1函数f x, y在点00 处连续是函数在该点可微分的( B )x, y(A)充分而不必要条件 ;(B)必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .2 设函数 f x, y 在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .3函数 f x, y 在点 x0 , y0 处偏导数存在是函数在该点可微分的( B ).(A)充分而不必要条件 ;(B)必要而不充分条件 ;(C

2、)必要而且充分条件 ;(D)既不必要也不充分条件 .4 对于二元函数 zf (x, y) ,下列结论正确的是 (C ).A. 若 limA ,则必有 limf (x, y)A 且有 lim f (x, y)A;xx0xxy y00yy0B. 若在 ( x0 , y0 ) 处 z 和 z 都存在 ,则在点 (x0 , y0 ) 处 zf ( x, y) 可微 ;xyC. 若在 ( x0 , y0 ) 处 z 和z 存在且连续 , 则在点 ( x0 , y0 ) 处 zf (x, y) 可微 ;xy2z2z2z2 zD. 若2和2 都存在 ,则.2y2 .xyx5二元函数 z f (x, y) 在

3、点 ( x0 , y0 ) 处满足关系 ( C ).A.可微 ( 指全微分存在 ) 可导 ( 指偏导数存在 ) 连续 ;B.可微 可导 连续 ;C.可微 可导 , 或可微 连续 , 但可导不一定连续 ;D.可导 连续 , 但可导不一定可微 .r3,1,2 ,r1，则r r（ A）6. 向量 ab 1, 2,a gb(A)3(B)3(C)2(D)25已知三点 M（1， 2， 1），A（2，1，1），B（2，1， 2） ，则 MA? AB =（ C）(A)-1；(B)1；(C)0；(D)2；6已知三点 M（0，1，1）， A（ 2， 2， 1），B（2，1，3） ，则 | MAAB |=（ B）(

4、A)2;(B)2 2 ;(C)2;(D)-2;7 设 D 为园域 x2y22ax(a0) ,化积分F (x, y)d 为二次积分的正确方法D是_D_.A.2 adxaB.22a2 a x20f ( x, y)dydxf (x, y)dya00C.a2 acosf (cos ,sin)dda0D.2d2a cosf (cos, sin)d023ln x8设 Idx10f (x, y)dy , 改变积分次序 , 则 I _. BA.ln3eyB.ln330dy0f (x, y)dx0dye yf ( x, y)dxC.ln3dy3f ( x, y)dxD.3dyln xf ( x, y)dx001

5、09 二次积分2 dcos, sin) d可以写成 _. Df ( cos00A.1yy2f (x, y)dxB.1dy1y2dyf ( x, y) dx0 0 0 0C.11D.1x x2dxf ( x, y)dydxf (x, y)dy000010 设是由曲面 x2y 22z 及 z2 所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分If ( x, y, z) dxdy dz表示为三次积分， I_.C2A212 f (cos,sin , z) dzdd000222df (cos ,sin, z)dzB.d2000C 222f (cos,sin, z)dzdd2002D 222cos,sin ,

6、z ) dzddf (00011设 L 为 x0y 面内直线段，其方程为L : x a, c y d ，则 P x, y dx（ C）L（ A） a（B） c（ C） 0（D） d12设 L 为 x0y 面内直线段，其方程为 L : ya, c x d ，则 P x, y dy（ C）L（ A） a（B） c（ C） 0（D） d13设有级数n 1un, 则 lim unn0 是级数收敛的（D）(A) 充分条件；(B)充分必要条件；(C) 既不充分也不必要条件；(D)必要条件 ;14幂级数nx n 的收径半径 R =（ D）n 1(A) 3(B) 0(C) 2(D) 115幂级数1 xn 的收

7、敛半径 Rn 1n(A) 1(B) 0(C) 2(D) 316 若幂级数an x n 的收敛半径为 R ，则an xn 2 的收敛半径为n0n 0(A)R(B)R2(C)R(D)无法求得17.若 lim un0, 则级数 un ()Dnn1A.收敛且和为B.收敛但和不一定为C. 发散D.可能收敛也可能发散18. 若un 为正项级数 ,则( B )n 1A. 若 lim un0 , 则un 收敛 B.若un 收敛 ,则un2 收敛nn 1n 1n 1C. 若un2 , 则un 也收敛D.若un 发散 ,则 lim un 0n 1n 1n 1n19. 设幂级数 Cn x n 在点 x 3处收敛 ,

8、 则该级数在点 x 1 处( A )n1A.绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D.敛散性不定20. 级数sin nx,则该级数 (B )( x 0)n 1n!A.是发散级数B.是绝对收敛级数C.是条件收敛级数D.可能收敛也可能发散（ A ）（ A ）二、填空题1设 f ( x, y) sin x ( y 1)ln( x2 y 2 ) ，则 f x (0,1) _1_.2设 f x, y cos x y 1 ln x 2 y2 ，则 f x ( 0,1) =_0_.3二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是f x, y dxdy f cos , sin d dD D4三重积分的变量从直角坐

9、标变换为柱面坐标的公式是f x, y, z dxdydz f cos , sin , z d d dz5 柱面坐标下的体积元素 dv d d d z6 设积分区域 D : x2y 2a2 ,且dxdy9,则 a3。D7 设 D 由曲线a sin,a 所围成 ,则dxdy3a2D48 设积分区域 D 为 1x2y24 ,2dxdy6D9设 fx, y在0 ， 11x dx3 ，上连续，如果f0则11x f y dy =_9_.dxf0010设 L 为连接 (1, 0) 与(0, 1) 两点的直线段，则x y ds2 .L11 设 L 为连接 (1, 0) 与(0, 1) 两点的直线段，则 x y

10、 ds _ . 0L12等比级数aq n(a0) 当q 1时，等比级数aq n收敛 .n 1n 113 当 _1_时， p级数1p 是收敛的 .n 1n14当 _时, 级数n1n 11是绝对收敛的 .11n p15 若 f ( x, y)xyx ,则 fx (2,1)_.1 ,y216若 f ( x, y)xy3( x1)arccos y2, 则 f y (1,y)_.3y 22x17 设 uz x y ,则 du_.z x y y ln xdxx ln zdyxy dzz18设 zyln x ,则2 z_.ln y(ln y1) yln xx2x219. 积分22y2dy 的值等于 _.14

11、) ,dxe(1e0x220. 设 D 为园域 x2y2a2 ,若x2y2dxdy8,则 a_.2D21. 设 I2dxdydz,其中: x2y2z2a2 ,z0 ,则 I_.4a33三、计算题1. 求过点 2, 0,1 且与平面 2x 5 y 4z 8 0 平行的平面方程 .解: 已知平面的法向量 n=（2，-5 ，4），所求平面的方程为2 （x +2 ）-5 （y -0 ）+4（z -1 ）=0即2 x -75y +4z = 02求经过两点 M1（ 1， 2 ，2）和 M2（ 3， 0， 1）的直线方程。.解: M 1M 2= (4, 2 ,1 )所求直线方程为x 1 y2Z 24213

12、求过点 ( 0, -3, 2)且以 n =( 3, -2, 1 )为法线向量的平面方程 .解: 所求的平面方程为3 x 02y31 z 2 0即 3x2 yz804设 z fxy, y2 z，其中 f 具有二阶连续偏导数，求x y解:z,yf1x2 zzf1 y xf11 f12x yyy f1xy5设 ln x 2 y2 arctan y , 求 dyxdx解: 方程两边对 x 求导得111xy yx 2y 22 x 2y 22 x 2 y y2x 2y1x由此得yxyxy2z6 设 z f xy, y ，其中 f 具有二阶连续偏阶导数，求 。解:zyf u ,x2 zzxyf uyf uy

13、2 fu ux2x xx7设xzlnzy,求z .x解:方程 xln zln y 两边同时对 x 求导得zzz x1z ,xz2zxzzzx x z2 z8 设 z f ax, by ，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求x y解:zaf1x2 zaf1abf12x yy9设sin yexxy20,求dy .dx解 : 方程两边对 x 同时求导得cos y yexy 22xyy0由此得yexy 22xycosy10计算二重积分 3x 2 y dxdy , 其中 D 是由直线 x 0, y 0, x y 2D所围成的闭区域。解: 3x 2 y dxdy2= 2x011改变二次积分 I22 x2y

14、dy2y22xdx3x3xy0dx000x 22 x 32202x24 dx4x30322 ydyy2 f x, y dx 的积分次序。0解:积分区域为D :0y2,y 2x2 yD 也可表示为D :0x4,xyx2I4xdx xf x, y dy0212 计算二重积分 3x 2 y dxdy , 其中 D 是由直线 x 0, y 0, y x 1D所围成的闭区域。解:3x 2 y dxdyD=14 x2013改变二次积分 I101dx3x 2 y dy3xy y2 0x 1dx0x 105x1 dx161yx, y dx 的积分次序。dyf00解:积分区域为D :0y1,0xyD 也可表示为

15、D :0x1,xy 1有1yx, ydx1dx1x, y dy0dy f0f0x14计算二重积分3x2 y dxdy 其中 D: 0x1,0y 1.D解:3x 2 y dxdy113x2 y dy13xyy 21dx000 dx0D13 x215 .=x3x 1 dx020215改变二次积分 I11f xy dx 的积分次序。1dyy2,解:积分区域为D :1y1,y 2x 1D 也可表示为D :0x1,xyx1xx, y dyIdxf0x16 利用格林公式计算曲线积分I =(2xy4)dx(5 y 3x 6)dy,L其中 L 为三顶点分别为 (0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界 .解:由格林公式I = (5 y3x6)(2x y 4)dxdyDxy=4dxdy =413 2D2= 1217利用格林公式计算曲线积分?L( y)d